数学において、非正曲率空間は多くの文脈に現れ、双曲幾何学の一般化を形成する。リーマン多様体の範疇では、多様体の断面曲率を考慮し、この曲率があらゆる点でゼロ以下であることを要求することができる。曲率の概念は測地計量空間の範疇にまで拡張され、そこでは比較三角形を用いて空間の曲率を定量化することができる。この文脈において、非正曲率空間は（局所的に）CAT(0)空間として知られている。
リーマン面
が閉じた向き付け可能なリーマン面である場合、 、または の定数ガウス曲率を持つ完全なリーマン計量を備えることができるという均一化定理が成り立ちます。ガウス・ボネの定理の結果、定数曲率のリーマン計量を持つ曲面、つまり、非正の定数曲率の完全なリーマン計量を持つリーマン面は、種数が少なくとも である曲面に等しいと判定できます。均一化定理とガウス・ボネの定理はどちらも、境界を持つ向き付け可能なリーマン面に適用して、非正のオイラー特性を持つ曲面は、非正の曲率のリーマン計量を許容する曲面に等しいと示すことができます。したがって、そのような面の同相型のファミリーは無限に存在するが、リーマン球面は、ガウス曲率が一定である唯一の閉じた向き付け可能なリーマン面である。
上記の曲率の定義はリーマン計量の存在に依存するため、幾何学の分野に属します。しかし、ガウス・ボネの定理により、曲面の位相が、曲面に課される完全なリーマン計量に制約条件を課すことが保証されるため、非正曲率の計量空間の研究は、幾何学と位相幾何学の両方の数学的分野において極めて重要です。非正曲率の曲率面の古典的な例としては、ユークリッド平面と平坦トーラス（曲率 の場合）、双曲面と擬球（曲率 の場合）が挙げられます。このため、これらの計量、およびそれらが完全な計量として存在するリーマン面は、それぞれユークリッド面、双曲面と呼ばれます。
一般化
非正曲面リーマン面の幾何学的特徴は、非正曲面の概念をリーマン面の研究を超えて一般化するために用いられる。高次元多様体またはオービフォールドの研究では、断面曲率の概念が用いられ、与えられた点における接空間の2次元部分空間に着目する。より高次元では、モストウ＝プラサドの剛性定理により、有限面積の双曲多様体は唯一の完全双曲計量を持つことが保証されるため、この設定における双曲幾何学の研究は位相幾何学の研究と不可欠である。
任意の測地計量空間において、グロモフ双曲的空間、あるいは局所CAT(0)空間という概念は、非正曲率のリーマン面上では、測地線を辺とする三角形は細く見えるが、正曲率の設定では太く見えるという概念を一般化している。この非正曲率の概念により、非正曲率の概念はグラフに最も一般的に適用され、組合せ論や幾何学群論の分野で非常に有用である。
参照
参考文献
- バルマン、ヴェルナー(1995).非正曲率空間に関する講義. DMVセミナー25. バーゼル: ビルクハウザー出版社. pp. viii+112. ISBN 3-7643-5242-6。 MR 1377265
- マーティン・R・ブリドソン;ヘフリガー、アンドレ(1999)。非正の曲率の計量空間。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]。 Vol. 319. ベルリン: Springer-Verlag。 pp.xxii+643。ISBN 3-540-64324-9。 MR 1744486
- パパドプロス、アタナセ (2014) [2004].計量空間、凸性、非正曲率. IRMA数学・理論物理学講義第6巻. チューリッヒ: ヨーロッパ数学協会. p. 298. ISBN 978-3-03719-010-4。 MR 2132506
