非アーベルホッジ対応

代数幾何学と微分幾何学において、非可換ホッジ対応またはコーレット・シンプソン対応（ケビン・コーレットとカルロス・シンプソンにちなんで命名）は、ヒッグス束と、滑らかな射影複素代数多様体、またはコンパクトなケーラー多様体の基本群の表現との間の対応である。

この定理は、安定ベクトル束とコンパクトリーマン面の基本群のユニタリ表現との間の対応を定義するナラシムハン・セシャドリ定理の広範な一般化とみなすことができます。実際、ナラシムハン・セシャドリ定理は、ヒッグス場をゼロに設定することにより、非可換ホッジ対応の特別なケースとして得ることができます。

歴史

1965 年、 MS NarasimhanとCS Seshadriによって、コンパクト リーマン面上の安定ベクトル束が基本群の既約射影ユニタリ表現に対応することが証明されました。^[1]この定理は、1983 年のSimon Donaldsonの研究で新しい観点から表現され、安定ベクトル束がヤン – ミルズ接続に対応し、そのホロノミーがNarasimhan と Seshadri の基本群の表現を与えることが示されました。^[2] Narasimhan–Seshadri の定理は、コンパクト リーマン面の場合からコンパクト ケーラー多様体の設定へと、代数曲面の場合は Donaldson によって一般化され、一般にはKaren UhlenbeckとShing-Tung Yauによって一般化されました。^{[3] [4]}安定ベクトル束とエルミート ヤン – ミルズ接続間のこの対応は、小林 – ヒッチン対応として知られています。

ナラシムハン・セシャドリ定理は、基本群のユニタリ表現に関する定理である。ナイジェル・ヒッチンは、基本群の複素表現に対応する代数的対象としてヒッグス束の概念を導入した（実際、「ヒッグス束」という用語は、ヒッチンの研究後にカルロス・シンプソンによって導入された）。非可換ホッジ定理の最初の例は、ヒッチンによって証明された。彼は、コンパクト・リーマン面上の階数2のヒッグス束の場合を考察した。^{[5]ヒッチンは、多安定ヒッグス束が}ヒッチン方程式の解に対応することを示した。ヒッチン方程式は、ヤン・ミルズ方程式を2次元に次元縮小することによって得られる微分方程式系である。ドナルドソンは、この場合、ヒッチン方程式の解が基本群の表現に対応することを示した。^[6]

ヒッチンとドナルドソンによるコンパクト・リーマン面上の階数2のヒッグス束に関する結果は、カルロス・シンプソンとケビン・コーレットによって大きく一般化された。多安定ヒッグス束がヒッチン方程式の解に対応するという主張は、シンプソンによって証明された。^{[7] [8]}ヒッチン方程式の解と基本群の表現との対応は、コーレットによって示された。^[9]

定義

このセクションでは、非可換ホッジ定理における興味深い対象を思い出す。^{[7] [8]}

ヒッグス束

コンパクトケーラー多様体上のヒッグス束とは、 が正則ベクトル束であり、 が上の- 値正則 -形式である組であり、ヒッグス場と呼ばれる。さらに、ヒッグス場は を満たさなければならない。 ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle \Phi :E\to E\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi \wedge \Phi =0}$

ヒッグス束が（半）安定であるとは、ヒッグス場によって保存される任意の適切な非零コヒーレント部分層 に対して、次が成り立つときである。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset E}$ ${\displaystyle \Phi ({\mathcal {F}})\subset {\mathcal {F}}\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}}$

$${\displaystyle {\frac {\deg({\mathcal {F}})}{\operatorname {rank} ({\mathcal {F}})}}<{\frac {\deg(E)}{\operatorname {rank} (E)}}\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.}$$ この有理数は傾きと呼ばれ、と表記されます。上記の定義は安定ベクトル束の定義を反映しています。ヒッグス束は、同じ傾きを持つ安定ヒッグス束の直和である場合に多安定であり、したがって半安定です。 ${\displaystyle \mu (E)}$

エルミートヤン・ミルズ接続とヒッチン方程式

ヒッチン方程式の高次元への一般化は、のペアから構成される特定の接続に対するエルミート ヤン–ミルズ方程式の類似として表現できます。ヒッグス束上のエルミート計量は、チャーン接続と曲率を生じます。が正則である条件は、と表現できます。コンパクト リーマン面上のヒッチン方程式は、 定数 に対して が成り立つことを述べています。高次元では、これらの方程式は次のように一般化されます。 により上の接続を定義します。この接続は、次の場合、エルミート ヤン–ミルズ接続(計量はエルミート ヤン–ミルズ計量) と呼ばれます。 これは、コンパクト リーマン面に対するヒッチン方程式に簡約されます。接続はユニタリではないため、通常の意味でのエルミート ヤン–ミルズ接続ではなく、上記の条件は通常の HYM 条件の非ユニタリ類似であることに注意してください。 ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}\Phi =0}$ $${\displaystyle {\begin{cases}&F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=\lambda \operatorname {Id} _{E}\\&{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \lambda =-2\pi i\mu (E)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D=\nabla _{A}+\Phi +\Phi ^{*}}$ $${\displaystyle \Lambda _{\omega }F_{D}=\lambda \operatorname {Id} _{E}.}$$ ${\displaystyle D}$

基本群と調和計量の表現

基本群の表現から、平坦接続を持つベクトル束が次のように生成されます。の普遍被覆は、構造群 を持つ上の主束です。したがって、によって与えられる への付随束があります。 このベクトル束は、自然に平坦接続を備えています。が 上のエルミート計量である場合、演算子を次のように定義します。 を、それぞれタイプ と の演算子に分解します。を、 -接続が計量 を保存するようなタイプ の唯一の演算子とします。 を定義し、 と設定します。の擬曲率を と定義します。 ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}(X)\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ $${\displaystyle E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}.}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D_{h}''}$ ${\displaystyle D=\partial +{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle A'+{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Phi =(\partial -A')/2}$ ${\displaystyle D_{h}''={\bar {\partial }}+\Phi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G_{h}=(D_{h}'')^{2}}$

計量は、次の場合 調和的であると言われます。 条件は3 つの条件 と同等であることに注目してください。したがって、の場合、ペアは、ドルボ演算子によって与えられた上の正則構造を持つヒッグス束を定義します。 ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle \Lambda _{\omega }G_{h}=0.}$$ ${\displaystyle G_{h}=0}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0,{\bar {\partial }}\Phi =0,\Phi \wedge \Phi =0}$ ${\displaystyle G_{h}=0}$ ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

コーレットの結果によれば、が調和的であれば、自動的に満たされ、ヒッグス束が生じる。^[9]${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G_{h}=0}$

モジュライ空間

ヒッグス束、平坦接続、基本群の表現という3つの概念それぞれに対して、モジュライ空間を定義することができる。これには、これらのオブジェクト間の同型性の概念が必要となる。以下では、滑らかな複素ベクトル束を固定する。すべてのヒッグス束は、基礎となる滑らかなベクトル束を持つとみなされる。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

• （ヒッグス束）複素ゲージ変換 群は、ヒッグス束の集合に対して、公式 によって作用する。および がそれぞれ半安定および安定ヒッグス束の部分集合を表す場合、これらの商が幾何学的不変理論の意味で取られるモジュライ空間 が得られるので、閉包が交差する軌道は、モジュライ空間において同一視される。これらのモジュライ空間は、ドルボー モジュライ空間と呼ばれる。 と設定することにより、半安定および安定正則ベクトル束およびのモジュライ空間を部分集合として得ることに注意されたい。また、多安定ヒッグス束のモジュライ空間を定義すれば、半安定ヒッグス束のゲージ軌道のそれぞれがその閉包に多安定ヒッグス束の唯一の軌道を含むので、この空間は半安定ヒッグス束の空間と同型であることも真である。${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle g\cdot (E,\Phi )=(g\cdot E,g\Phi g^{-1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{ss}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ $${\displaystyle M_{Dol}^{ss}:={\mathcal {H}}^{ss}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{Dol}^{s}:={\mathcal {H}}^{s}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}}}$$ ${\displaystyle \Phi =0}$ ${\displaystyle N_{Dol}^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}}$ ${\displaystyle N_{Dol}^{s}\subset M_{Dol}^{s}}$ ${\displaystyle M_{Dol}^{ps}}$
• （平坦接続）群複素ゲージ変換は、滑らかなベクトル束 上の平坦接続の集合にも作用します。モジュライ空間 を定義します。ここで、 は、滑らかなベクトル束 の何らかの分割において直和として分割されない既約平坦接続からなる部分集合を表します。これらのモジュライ空間は、ド・ラーム・モジュライ空間と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle M_{dR}:={\mathcal {A}}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{dR}^{*}:={\mathcal {A}}^{*}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla =\nabla _{1}\oplus \nabla _{2}}$ ${\displaystyle E=E_{1}\oplus E_{2}}$ ${\displaystyle E}$
• (表現)の基本群の表現の集合は、一般線型群によって表現の共役によって作用される。上付き文字と、それぞれ半単純表現と既約表現からなる部分集合とを表す。次に、それぞれ半単純表現と既約表現のモジュライ空間を定義する。これらの商は、幾何学的不変量理論の意味でとられ、2つの軌道の閉包が交差する場合、それらは同一視される。これらのモジュライ空間はベッティ・モジュライ空間と呼ばれる。${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle M_{B}^{+}=\operatorname {Hom} ^{+}(\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))//G,\qquad M_{B}^{*}=\operatorname {Hom} ^{*}(\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))/G}$$

声明

非可換ホッジ定理は2つの部分に分けられる。最初の部分は、コンパクト・リーマン面上の階数2のヒッグス束の場合にドナルドソンによって証明され、一般にはコーレットによって証明された。^{[6] [9]}一般に、非可換ホッジ定理は滑らかな複素射影多様体に対して成立するが、対応の一部はより一般的にコンパクト・ケーラー多様体に対しても成立する。 ${\displaystyle X}$

非アーベルホッジ定理（パート1）—基本群の表現が半単純であるための必要十分条件は、平坦ベクトル束が調和計量を許容することである。さらに、その表現が既約であるための必要十分条件は、平坦ベクトル束が既約であることである。 ${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X)\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}}$

定理の2番目の部分は、コンパクトリーマン面上の2階ヒッグス束の場合にヒッチンによって証明され、一般にはシンプソンによって証明された。^{[5] [7] [8]}

非アーベルホッジ定理（パート2）—ヒッグス束がエルミート・ヤン＝ミルズ計量を持つ場合と、それが多安定である場合とで同値である。この計量は調和計量であり、したがって、チャーン類とが零となる場合とで同値であり、基本群の半単純表現から生じる。さらに、ヒッグス束が安定となる場合と、それが既約エルミート・ヤン＝ミルズ接続を持つ場合とで同値であり、したがって、基本群の既約表現から生じる。 ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle c_{1}(E)}$ ${\displaystyle c_{2}(E)}$

これらを組み合わせると、対応は次のようになります。

非アーベルホッジ定理—ヒッグス束（位相的に自明）は、基本群の半単純表現から生じる場合と、それが多安定である場合とで同値である。さらに、ヒッグス束が既約表現から生じる場合と、それが安定である場合とで同値である。

モジュライ空間の観点から

非可換ホッジ対応は、集合の全単射を与えるだけでなく、モジュライ空間の同相写像も与える。実際、2つのヒッグス束が同型（ゲージ変換によって関連付けられるという意味で同型であり、したがってドルボモジュライ空間の同じ点に対応する）である場合、関連する表現も同型であり、ベッティモジュライ空間の同じ点を与える。モジュライ空間の観点から、非可換ホッジ定理は次のように表現できる。

非アーベルホッジ定理 (モジュライ空間版) —同相写像 に制限されるモジュライ空間の同相写像が存在します。 ${\displaystyle M_{Dol}^{ss}\cong M_{dR}\cong M_{B}^{+}}$ ${\displaystyle M_{Dol}^{s}\cong M_{dR}^{*}\cong M_{B}^{*}}$

一般に、これらのモジュライ空間は単なる位相空間ではなく、何らかの付加的な構造を持つ。例えば、ドルボモジュライ空間とベッティモジュライ空間は自然に複素代数多様体であり、滑らかな場合、ド・ラームモジュライ空間はリーマン多様体となる。これらのモジュライ空間が滑らかな共通軌跡上では、写像は微分同相写像となり、滑らかな軌跡上の複素多様体であるため、両立するリーマン構造と複素構造が得られ、したがってケーラー多様体となる。 ${\displaystyle M_{Dol}^{ss},M_{B}^{+}}$ ${\displaystyle M_{dR}}$ ${\displaystyle M_{dR}\to M_{B}^{+}}$ ${\displaystyle M_{B}^{+}}$ ${\displaystyle M_{dR}}$

同様に、滑らかな軌跡上では、写像は微分同相写像となる。しかし、ドルボー・モジュライ空間とベッティ・モジュライ空間はどちらも自然な複素構造を持つものの、同型ではない。実際、（関連する積分可能な概複素構造に対して）それらを と表記すると、 となる。特に、 によって3つ目の概複素構造を定義すると、となる。これら3つの複素構造を から得られるリーマン計量と組み合わせると、滑らかな軌跡上でモジュライ空間はハイパーケーラー多様体となる。 ${\displaystyle M_{B}^{+}\to M_{Dol}^{ss}}$ ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle IJ=-JI}$ ${\displaystyle K=IJ}$ ${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle M_{dR}}$

ヒッチン・小林対応とユニタリ表現との関係

ヒッグス場をゼロとすれば、ヒッグス束は単に正則ベクトル束となる。これは、半安定正則ベクトル束のモジュライ空間をヒッグス束のモジュライ空間に包含することを意味する。ヒッチン・小林対応は、正則ベクトル束とコンパクト・ケーラー多様体上のエルミート・ヤン＝ミルズ接続との間の対応を与え、したがって非可換ホッジ対応の特別な場合と見なすことができる。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle N_{Dol}^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}}$

基礎ベクトル束が位相的に自明な場合、エルミート・ヤン＝ミルズ接続のホロノミーは基本群のユニタリ表現 を生じさせる。このユニタリ表現に対応するベッティ・モジュライ空間の部分集合 は、半安定ベクトル束のモジュライ空間 に同型に写像される。 ${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X)\to \operatorname {U} (r)}$ ${\displaystyle N_{B}^{+}}$ ${\displaystyle N_{Dol}^{ss}}$

例

コンパクトリーマン面上のランク1ヒッグス束

基礎となるベクトル束の階数が 1 である特殊な場合は、より単純な対応が生じる。^[10]まず、適切な非零部分層が存在しないので、すべての線状束は安定である。この場合、線状束の自己準同型性は自明であるため、ヒッグス束は正則線状束と正則 -形式のペアで構成される。特に、ヒッグス場は正則線状束から分離されているため、モジュライ空間は積として分割され、1 形式は自動的に条件 を満たす。線状束のゲージ群は可換であるため、共役によりヒッグス場に対して自明に作用する。したがって、モジュライ空間は、同型性を除いてすべての正則線状束を分類するの ヤコビ多様体と、正則 -形式のベクトル空間の積として識別できる 。 ${\displaystyle (L,\Phi )}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle M_{Dol}}$ ${\displaystyle \Phi \wedge \Phi =0}$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle M_{Dol}=\operatorname {Jac} (X)\times H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$ ${\displaystyle (1,0)}$

コンパクト リーマン面上の階数 1 のヒッグス束の場合、モジュライ空間のさらなる記述が得られます。コンパクト リーマン面の基本群である面群 は、 で与えられます。 ここではリーマン面の種数です。の一般線型群への表現は、したがって、非ゼロの複素数の -組 で与えられます。 はアーベルな ので、この空間上の共役は自明であり、ベッティ モジュライ空間は です。 一方、セール双対性により、正則 -形式の空間は層コホモロジーの双対です。 ヤコビ多様体は商 によって与えられる アーベル多様体である ため、接空間 はベクトル空間 によって与えられ、余接束 を 持ちます 。 つまり、ドルボ モジュライ空間、つまり正則ヒッグス線束のモジュライ空間は、ヤコビアン、つまり正則線束のモジュライ空間への余接束に過ぎません。したがって、非可換ホッジ対応は 双正則同相写像ではない微分同相写像を与える。これら2つの空間上の自然な複素構造は異なり、関係式を満たすことが確認でき、ヤコビアンへの余接束上にハイパーケーラー構造を与える。 $${\displaystyle \pi _{1}(X)=\langle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}\mid [a_{1},b_{1}]\cdots [a_{g},b_{g}]=e\rangle }$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (1,\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle 2g}$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {C} ^{*})=(\mathbb {C} ^{*})^{2g}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle M_{B}=(\mathbb {C} ^{*})^{2g}}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ $${\displaystyle \operatorname {Jac} (X)={\frac {H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}{H^{1}(X,\mathbb {Z} )}},}$$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ $${\displaystyle T^{*}\operatorname {Jac} (X)=\operatorname {Jac} (X)\times H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})^{*}=\operatorname {Jac} (X)\times H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})=M_{Dol}.}$$ $${\displaystyle T^{*}\operatorname {Jac} (X)\cong (\mathbb {C} ^{*})^{2g}}$$ ${\displaystyle IJ=-JI}$

一般化

複素簡約代数群に対して、主 -ヒッグス束 の概念を定義することが可能です。これは、主束のカテゴリにおけるヒッグス束のバージョンです。安定主束の概念があり、安定主-ヒッグス束 を定義することができます。これらの対象に対して、非可換ホッジ定理のバージョンが成立し、主 -ヒッグス束と基本群 の への表現を関連付けます。^{[7] [8] [11]}${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

非アーベルホッジ理論

ヒッグス束と基本群の表現との対応は、一種の非可換 ホッジ定理として表現することができる。これはケーラー多様体のホッジ分解のアナロジーであるが、係数は可換群ではなく非可換群に与えられる。ここでの説明は、ウェルズの『複素多様体上の微分解析』の付録におけるオスカー・ガルシア＝プラダの議論に従っている。^[12]${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

ホッジ分解

コンパクトケーラー多様体のホッジ分解は、複素ド・ラームコホモロジーをより微細なドルボーコホモロジーに分解する。

$${\displaystyle H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{Dol}^{p,q}(X).}$$

1次では直和となる

$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {C} )=H^{0,1}(X)\oplus H^{1,0}(X)\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\oplus H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$$

ここで、ドルボーの定理を適用して、ドルボーコホモロジーを、 上の正則 -形式の層の層コホモロジーおよび正則関数の構造層の観点で表現しました。 ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}^{1},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

非アーベルコホモロジー

層コホモロジーを構成する際、係数層は常にアーベル群の層となる。これは、アーベル群に対してすべての部分群が正規となるため、層コサイクルの層コ境界による商群は 常に明確に定義されるからである。層がアーベル群でない場合、これらの商は必ずしも明確に定義されず、したがって、以下の特殊な場合を除いて、層コホモロジー理論は存在しない。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle {\check {H}}^{k}(X,{\mathcal {F}})=Z^{k}(X,{\mathcal {F}})/B^{k}(X,{\mathcal {F}})}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• ${\displaystyle k=0}$ : 0 番目の層コホモロジー群は常に層の大域セクションの空間であるため、 が非可換であっても常に明確に定義されます。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle k=1}$ : 第 1 層コホモロジー集合は非可換層に対して明確に定義されていますが、それ自体は商群ではありません。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle k=2}$ : 特殊なケースでは、非可換層に対して 2 次層コホモロジーの類似物を、ゲルベスの理論を使用して定義できます。

非アーベルコホモロジーの重要な例は、係数層が 、つまり複素一般線型群への正則関数の層であるのときに発生します。この場合、コホモロジー集合が 上の 階数の正則ベクトル束の集合と同型を除いて一対一に対応することは、チェフコホモロジーからよく知られた事実です。階数 の明確な正則ベクトル束、つまり自明ベクトル束が存在するため、これは実際にはコホモロジーの尖端集合であることに注目してください。特殊なケースでは、一般線型群は乗法に関する非ゼロ複素数のアーベル群です。この場合、同型を除いて正則直線束の群、つまりピカール群が得られます。 ${\displaystyle {\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

非アーベルホッジ定理

第一コホモロジー群は、基本群からへの準同型群と同型である。これは、例えば、ヒューレヴィッツの定理を適用することで理解できる。したがって、上述の正則ホッジ分解は次のように表現できる。 ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {C} )\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\oplus H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1}).}$$

非可換ホッジ対応は、ホッジ定理のこの記述を非可換コホモロジーに対して次のようにアナロジー化する。ヒッグス束は、 が正則ベクトル束であり、 が正則自己準同値 -形式であるペアから構成される。この正則ベクトル束は、上述のようにの元と同一視できる。したがって、ヒッグス束は直積の元と考えることができる。 ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Phi \in H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))}$

$${\displaystyle (E,\Phi )\in {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))\oplus H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}).}$$

非可換ホッジ対応は、基本群の -表現のモジュライ空間からヒッグス束のモジュライ空間への同型を与え、したがって同型として書くことができる。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

$${\displaystyle \operatorname {Rep} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))\cong {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))\oplus H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}).}$$

これは上記の正則ホッジ分解のアナロジーとして見ることができます。表現のモジュライ空間は非可換係数を持つの第一コホモロジーの役割を果たし、コホモロジー集合は空間 の役割を果たし、群は正則(1,0)-形式 の役割を果たします。 ${\displaystyle \operatorname {Rep} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$

ここでの同型性は と書かれていますが、これは単なる類推であり、ヒッグス束のモジュライ空間は上記の直和によって文字通り与えられるわけではないため、集合の実際の同型性ではありません。 ${\displaystyle \cong }$

ホッジ構造

半安定ヒッグス束のモジュライ空間には、乗法群 の自然な作用があり、これはヒッグス場をスケーリングすることによって与えられ、に対して となる。アーベルコホモロジーの場合、このような作用はホッジ構造を生じ、これはコンパクトケーラー多様体のコホモロジーのホッジ分解の一般化である。非アーベルホッジ定理を理解する1つの方法は、モジュライ空間への作用を使用してホッジ濾過を得ることである。これは、基礎となる多様体 の新しい位相不変量につながる可能性がある。例えば、この方法では、コンパクトケーラー多様体の基本群として現れる群に関する制限が得られる。^[7]${\displaystyle M_{Dol}^{ss}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \lambda \cdot (E,\Phi )=(E,\lambda \Phi )}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle M_{B}^{+}}$ ${\displaystyle X}$

参考文献

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