退化（数学）
数学において、退化ケースとは、あるクラスの他のオブジェクトとは質的に異なる（そして通常はより単純である）ように見えるオブジェクトのクラスの極限ケースである。 [ 1 ]「退化」とは、退化ケースとなる条件である。[ 2 ]
複合オブジェクトや構造化オブジェクトの多くのクラスの定義には、暗黙的に不等式が含まれることが多い。例えば、三角形の角と辺の長さは正であると仮定する。これらの不等式のうち1つまたは複数が等式になる極限の場合を退化と呼ぶ。三角形の場合、少なくとも1つの辺の長さまたは角が0であれば、退化した三角形となる。これは線分となる。[ 3 ]
多くの場合、退化したケースは、オブジェクト（またはその一部の）の通常の次元または濃度に変化が生じる例外的なケースです。たとえば、三角形は次元 2 のオブジェクトであり、退化した三角形は直線に含まれ、[ 3 ]次元が 1 になります。これは、円の場合に似ています。円の次元は、点に退化するにつれて 2 から 0 に縮小します。[ 1 ]別の例として、パラメータに依存する方程式系の解の集合は、一般に固定の濃度と次元を持ちますが、例外的な値については、濃度や次元が異なることがあり、これを退化したケースと呼びます。このような退化したケースでは、解の集合は退化していると言われます。
複合オブジェクトの一部のクラスでは、退化のケースは、具体的に研究されている特性に依存します。特に、オブジェクトのクラスは連立方程式によって定義または特徴付けられることがよくあります。多くの場合、特定のオブジェクトのクラスは複数の異なる連立方程式によって定義され、これらの異なる連立方程式は、同じ非退化ケースを特徴付けながら、異なる退化ケースにつながることがあります。退化の概念は広く使用され、それぞれの特定の状況で（必要に応じて）定義されているにもかかわらず、退化の一般的な定義が存在しないのは、このためかもしれません。
このように、退化しているケースは、それを非ジェネリック、つまり特殊ケースにする特別な特徴を持つ。しかし、すべての非ジェネリックまたは特殊ケースが退化しているわけではない。例えば、直角三角形、二等辺三角形、正三角形は非ジェネリックかつ非退化である。実際、退化しているケースは、オブジェクト内または何らかの配置空間内の特異点に対応することが多い。例えば、円錐曲線は、特異点（例えば、点、直線、交差する直線）を持つ場合にのみ退化している。[ 4 ]
幾何学では
円錐曲線
退化した円錐曲線は、既約曲線にならない 円錐曲線セクション（2 次多項式方程式によって定義される2 次平面曲線）です。
- 点は退化した円、つまり半径0の円である。[ 1 ]
- 放物線が接平面上にある場合、直線は放物線の退化例である。逆幾何学においては、直線は無限半径を持つ円の退化例である。
- 2 本の平行線も退化した放物線を形成します。
- 線分は、半短軸が0、焦点が端点、離心が1 となる楕円の退化したケースとして考えることができます。
- 円は、離心率が0に近づき焦点が合体するので、退化した楕円と考えることができる。 [ 1 ]
- 楕円は単一の点に退化することもあります。
- 双曲線は、それらの直線を共通の漸近線として持つ双曲線族を通じて、1 点で交差する 2 本の直線に退化することができます。
三角形
退化した三角形は、線分に含まれるという意味で「平坦な」三角形です。したがって、頂点は共線上にあり[ 3 ]、面積はゼロです。3つの頂点がすべて異なる場合、0°の角が2つと180°の角が1つあります。2つの頂点が等しい場合、0°の角が1つと未定義の角が2つあります。3つの頂点がすべて等しい場合、3つの角はすべて未定義です。
矩形
長さが0の一対の対辺を持つ長方形は、面積が0の線分に縮退します。長方形の2つの対辺の両方の長さが0の場合、長方形は点に縮退し ます。
超長方形
超長方形は、長方形のn次元版です。n軸のいずれかの辺の長さが0の場合、超長方形はより低次元の超長方形に縮退し、すべての軸に沿う辺の長さが0になる点まで縮退します。
凸多角形
凸多角形が退化しているとは、少なくとも2つの連続する辺が少なくとも部分的に一致するか、少なくとも1つの辺の長さが0であるか、少なくとも1つの角度が180°である場合を指します。したがって、n辺の退化凸多角形は、n辺より少ない辺を持つ多角形のように見えます。三角形の場合、この定義は上記の定義と一致します。
凸多面体
凸多面体は、隣接する2つの面が同一平面上にあるか、2つの辺が一直線上にある場合、退化していると言えます。四面体の場合、これはすべての頂点が同一平面上にあることと等しく、体積はゼロとなります。
標準トーラス
球
球の半径がゼロになると、結果として得られる体積ゼロの退化した球は点になります。
他の
他の例については 一般的な位置を参照してください。
他の場所
- 単一の点を含む集合は退化した連続体です。
- 二角形や一角形などのオブジェクトは、多角形の退化したケースとして見ることができます。つまり、一般的な抽象数学的な意味では有効ですが、多角形の元のユークリッドの概念の一部ではありません。
- 1 つの値のみを取るランダム変数は退化した分布を持ちます。その値が実数 0 の場合、その確率密度はディラックのデルタ関数です。
- 多項式の根は、多重根である場合に退化していると言われることがあります。これは、一般にn次多項式のn個の根がすべて異なるためです。 [ 1 ]この用法は固有値問題にも適用されます。退化した固有値は、特性多項式の多重根です。
- 量子力学において、ハミルトニアン演算子の固有値の多重度は、エネルギー準位の縮退を引き起こす。通常、このような縮退は、系に何らかの根本的な対称性が存在することを示唆する。
参照
参考文献
- ^ a b c d e Weisstein, Eric W. 「Degenerate」 . mathworld.wolfram.com . 2019年11月29日閲覧。
- ^ 「DEGENERACYの定義」 www.merriam-webster.com . 2019年11月29日閲覧。
- ^ a b c「Mathwords: Degenerate」 . www.mathwords.com . 2019年11月29日閲覧。
- ^ 「Mathwords: 退化した円錐曲線」www.mathwords.com . 2019年11月29日閲覧。
