非標準差分法
数値解析における一連の手法

非標準差分法は、離散モデルを構築することで微分方程式の数値解を求める数値解析における一般的な手法群である。このような手法の一般的な規則は正確には解明されていない。[1] [2]

概要

微分方程式（DE）の差分（FD）モデルは、導関数をFD近似に置き換えるだけで構成できます。しかし、これは単純な「翻訳」です。英語から日本語へ、単語を一対一対応させて文字通り翻訳すると、元の意味が失われることがよくあります。同様に、DEの単純なFDモデルは、元のDEとは大きく異なる可能性があります。なぜなら、FDモデルは差分方程式であり、その解はDEの解とは全く異なる場合があるからです。より技術的な定義については、Mickens 2000 [1]を参照してください。

非標準（NS）有限差分モデルは、微分方程式の自由かつより正確な「翻訳」です。例えば、DEのパラメータ（これをvとします）は、NS-FDモデルでは別の値uを取ることがあります。

例

例として波動方程式をモデル化してみましょう。

（ ∂ t 2 − v 2 ∂ × 2 ） Ψ （ × 、 t ） ＝ 0。 {\displaystyle (\partial _{t}^{2}-v^{2}\partial _{x}^{2})\Psi (x,t)=0.}

単純な有限差分モデル（現在では標準(S)FDモデルと呼ばれている）は、導関数をFD近似で近似することによって得られる。1次導関数の中心となる2次FD近似は、

f ′ （ × ） ≈ f （ × + Δ × / 2 ） − f （ × − Δ × / 2 ） Δ × 。 {\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x/2)-f(x-\Delta x/2)}{\Delta x}}.}

上記のFD近似を に適用すると、 のFD近似を導くことができる。 f ′ （ × ） {\displaystyle f'(x)} f ″ （ × ） {\displaystyle f''(x)}

f ″ （ × ） ≈ d × 2 f （ × ） Δ × 2 、 {\displaystyle f''(x)\approx {\frac {{\text{d}}_{x}^{2}f(x)}{\Delta x^{2}}},}

ここで、簡略化のために、を2回適用することで確認できるショートカットを導入しました。波動方程式の両方の導関数を近似すると、S-FDモデルが得られます。 d × f （ × ） ＝ f （ × + Δ × / 2 ） − f （ × − Δ × / 2 ） {\displaystyle {\text{d}}_{x}f(x)=f(x+\Delta x/2)-f(x-\Delta x/2)} d × 2 f （ × ） ＝ f （ × + Δ × ） + f （ × − Δ × ） − 2 f （ × ） {\displaystyle {\text{d}}_{x}{}^{2}f(x)=f(x+\Delta x)+f(x-\Delta x)-2f(x)} d × {\displaystyle {\text{d}}_{x}} f （ × ） {\displaystyle f(x)}

[ d t 2 − （ v Δ t / Δ × ） 2 d × 2 ] Ψ （ × 、 t ） ＝ 0。 {\displaystyle \left[{\text{d}}_{t}^{2}-(v\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\Psi (x,t)=0.}

波動方程式の解（ ）をS-FDモデルに代入すると、次の式が得られる。 ϕ （ × 、 t ） ＝ e 私 （ け × − ω t ） {\displaystyle \phi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}} ω / け ＝ v {\displaystyle \omega /k=v}

[ d t 2 − （ v Δ t / Δ × ） 2 d × 2 ] ϕ （ × 、 t ） ＝ ϵ 。 {\displaystyle \left[{\text{d}}_{t}^{2}-(v\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\phi (x,t)=\epsilon .}

一般に、波動方程式の FD 近似の解は、波動方程式自体と同じではないためです。 ϵ ≠ 0 {\displaystyle \epsilon \neq 0}

波動方程式と同じ解を持つNS-FDモデルを構築するには、の代わりに自由パラメータuを置き、 となるuの値を求めます。このuの値は v Δ t / Δ × {\displaystyle v\Delta t/\Delta x} ϵ ＝ 0 {\displaystyle \epsilon =0}

あなた ＝ 罪 ⁡ （ ω Δ t / 2 ） 罪 ⁡ （ け Δ × / 2 ） 。 {\displaystyle u={\frac {\sin(\omega \Delta t/2)}{\sin(k\Delta x/2)}}.}

したがって、波動方程式の正確な非標準差分モデルは

[ d t 2 − （ あなた Δ t / Δ × ） 2 d × 2 ] Ψ （ × 、 t ） ＝ 0。 {\displaystyle \left[{\text{d}}_{t}^{2}-(u\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\Psi (x,t)=0.}

2次元、3次元、マクスウェル方程式へのさらなる詳細と拡張については、Cole 2002を参照してください。 [2]

参考文献

  1. ^ ab Mickens, RE (2000).非標準差分スキームの応用. World Scientific.
  2. ^ ab JB Cole, 非標準有限差分に基づく高精度Yeeアルゴリズム：新開発と検証, IEEE Trans. on Antennas and Propagation, vol. 50, no. 9, pp. 1185-1191 (2002)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Nonstandard_finite_difference_scheme&oldid=1324212134"