通常の円錐

代数幾何学において、スキームのサブスキームの法円錐は、微分幾何学における法線束または管状近傍に類似したスキームです。

意味

埋め込みi : X → Yの正規錐C _X Yは、イデアル層Iによって定義され、相対的な Specとして定義されます。${\displaystyle C_{X/Y}}$ $${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}\right).}$$

埋め込みiが正規な場合、法線円錐は法線束であり、 X上のベクトル束は層I / I ²の双対に対応します。

Xが点である場合、それへの法錐と法束は、それぞれ接錐と接空間（ザリスキ接空間）とも呼ばれる。Y = Spec Rがアフィンである場合、定義は、 X = Spec R / Iへの法錐が、RのIに関する付随する次数環の Spec であることを意味する。

Yが積X × Xであり、埋め込みiが対角埋め込みである場合、 YにおけるXへの法線バンドルはXへの接線バンドルです。

通常の円錐（あるいはその射影的な同類）は、 の爆発の結果として現れる。正確には、 を YのXに沿った 爆発としよう。すると、定義により、例外的な因子は の射影円錐である逆像 である。したがって、 $${\displaystyle \pi :\operatorname {Bl} _{X}Y=\operatorname {Proj} _{Y}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}\right)\to Y}$$ ${\displaystyle E=\pi ^{-1}(X)}$ ${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$ $${\displaystyle E=\mathbb {P} (C_{X}Y).}$$

正規束の大域的切断は、XにおけるYの埋め込まれた微小変形を分類する。Y × _k Dの閉じた部分集合（双対数の環D上で平坦で、Xを特殊ファイバーとする）とH ⁰ ( X , N _X Y )との間には自然な一対一性がある。^[1]

プロパティ

正則埋め込みの合成

が正則埋め込みである場合、 は正則埋め込みであり、X上にベクトル束の自然な完全列が存在する：^[2]${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z}$ ${\displaystyle j\circ i}$ $${\displaystyle 0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0.}$$

が余次元の正則埋め込みで、が余次元の正則埋め込みである場合、^[2] 特に、が滑らかな射である場合、対角埋め込み（r折り）への法バンドルは、相対接バンドルのr − 1 個のコピーの直和です。 ${\displaystyle Y_{i}\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\textstyle W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X}$ $${\displaystyle \sum c_{i}}$$ $${\displaystyle N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}.}$$ ${\displaystyle X\to S}$ $${\displaystyle \Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X}$$ ${\displaystyle T_{X/S}}$

が閉じた浸漬であり、が平坦射であって となる場合、^{[3] [引用が必要]}${\displaystyle X\hookrightarrow X'}$ ${\displaystyle Y'\to Y}$ ${\displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}$ $${\displaystyle C_{X'/Y'}=C_{X/Y}\times _{X}X'.}$$

が滑らかな射影で が正則な埋め込みである場合、 X上にベクトル束の自然な完全列が存在する: ^{[4] (これは}余接層 の完全列の特別な場合である)。 ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$ $${\displaystyle 0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0}$$

デカルト正方形

垂直マップを持つスキームの直交座標の場合、通常の円錐の閉じた埋め込みが存在します。 $${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ $${\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow f^{*}C_{X/Y}}$$

コンポーネントの寸法

を体上の有限型のスキームと閉じた部分スキームとします。 が純粋次元 r の場合、つまり、すべての既約成分が次元rである場合、も純粋次元rです。^{[5] （これは、法円錐への #変形 の結果として見ることができます。）この特性は、}交差理論への応用の鍵となります。ある周囲空間での閉部分スキームのペアが与えられ、スキーム理論的交差がさまざまな次元の既約成分を持ち、 の位置に微妙に依存しますが、 への法円錐は純粋次元です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{W/X}}$ ${\displaystyle V,X}$ ${\displaystyle V\cap X}$ ${\displaystyle V,X}$ ${\displaystyle V\cap X}$

例

を実効カルティエ因子とする。その正規束（あるいはそれと同値な正規錐）は^{[6]である。}${\displaystyle D\hookrightarrow X}$ $${\displaystyle N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}.}$$

非正規埋め込み

非正規な埋め込み^{[7] :4–5} を考える と、まず次を観察することで法線円錐を計算できます。 補助変数を作成して 関係を得る と、 これを使用して法線円錐を相対スペクトルとして表すことができます。 はアフィンな ので、相対スペクトルをアフィンスキームとして書き出すだけで、法線円錐が得られます。 $${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)\to \mathbb {A} ^{3}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=(xz,yz)\\I^{2}&=(x^{2}z^{2},xyz^{2},y^{2}z^{2})\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a=xz}$ ${\displaystyle b=yz}$ $${\displaystyle ya-xb=0.}$$ $${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b]}{(ya-xb)}}\right)}$$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$ $${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z][a,b]}{(xz,yz,ya-xb)}}\right)}$$

この法線円錐の形状

法円錐の幾何学的形状は、 のさまざまな閉点のファイバーを見ることによってさらに詳しく調べることができます。 は幾何学的に-平面と-軸の和集合であるため、関心のある点は平面上の滑らかな点、軸上の滑らかな点、およびそれらの交点であることに注意してください。平面上の滑らかな点はどれも、およびまたはの写像によって与えられます。どの点を取るかは任意であるため、便宜上 と仮定します。したがって、点 におけるのファイバーはと同型であり、予想どおり法円錐を 1 次元の直線として与えます。軸上の点の場合、これは 写像によって与えられ、したがって点 におけるファイバーは であり、平面を与えます。原点 では、その点上の法円錐は と再び同型です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle X=H\cup L}$$ $${\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto z_{1}&y\mapsto z_{2}&z\mapsto 0\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{1}\neq 0}$ ${\displaystyle z_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle z_{1}\neq 0,z_{2}=0}$ ${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}}$ ${\displaystyle p=(z_{1},0,0)}$ $${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{p}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(z_{1}b)}}\cong \mathbb {C} [a]}$$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto 0&y\mapsto 0&z\mapsto z_{3}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle q=(0,0,z_{3})}$ $${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{q}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(0)}}\cong \mathbb {C} [a,b]}$$ ${\displaystyle r=(0,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [a,b]}$

ノード立方体

上の多項式によって与えられた節点 3 次曲線と、その節点の点に対して、円錐は同型性を持ち、通常の円錐は、その上にあるスキームよりも多くの要素を持つことを示します。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y^{2}+x^{2}(x-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle C_{X/Y}\cong {\text{Spec}}\left(\mathbb {C} [x,y]/\left(y^{2}-x^{2}\right)\right)}$$

通常の円錐への変形

を埋め込みとする。これは、次の意味で、通常の円錐（零断面として）の埋め込みに変形できる： ^{[7] ：6}ジェネリックファイバーと特殊ファイバーを含む平坦族が存在し、その 上に閉じた埋め込みの族が存在し、${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{X/Y}}$ $${\displaystyle \pi :M_{X/Y}^{o}\to \mathbb {P} ^{1}}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C_{X/Y}}$ $${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M_{X/Y}^{o}}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

1. 任意の点上の関連する埋め込みは埋め込みである${\displaystyle t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}}$ ${\displaystyle X\times \{t\}\hookrightarrow Y}$
2. 上のファイバーは、ゼロセクションによって与えられたの埋め込みです。${\displaystyle 0\in \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow C_{X/Y}}$

この構成は、交差の管状近傍において非横断的交差が行われる微分位相幾何学に類似したツールを定義します。ここで、との閉路との交差は、の交差の押し出しとの引き戻しとして表すことができます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C_{X/Y}}$

工事

これの応用例の 1 つは、チャウ環における交差積の定義です。XとV が交差Wを持つYの閉部分スキームであるとし、 Yのチャウ環におけるXとVの交差積を定義したいとします。この場合の法線錐への変形とは、YとVへのXとWの埋め込みをそれらの法線錐C _Y ( X ) とC _W ( V ) に置き換え、 C _X YにおけるXとC _W Vの積を求めることを意味します。これははるかに簡単になる場合があります。たとえば、X がYに正則に埋め込まれている場合、その法線錐はベクトル束であるため、零断面Xを持つベクトル束C _X Yの部分スキームC _W Vの交差積を求める問題になります。ただし、この交差積は、 C _W Vに Gysin 同型性を適用することによってのみ与えられます。

具体的には、正規円錐への変形はブローアップによって構成できます。正確には、 を に沿った のブローアップとします。例外的な因子は であり、これは正規円錐の射影完備化です。ここで使用される記法については、円錐（代数幾何学）§ 特性 を参照してください。正規円錐は の開部分スキームであり、に零切断として埋め込まれます。 $${\displaystyle \pi :M\to Y\times \mathbb {P} ^{1}}$$ ${\displaystyle Y\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X\times 0}$ ${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)}$ ${\displaystyle C_{X}Y}$ ${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{X}Y}$

さて、次の点に留意します。

1. 地図は、投影に従って平面になっています。${\displaystyle \rho :M\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \pi }$
2. 上の射である誘導された閉じた埋め込みが存在します。$${\displaystyle {\widetilde {i}}:X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$
3. Mはゼロから離れると自明である。つまり、自明な埋め込みに制限される。${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)}$ ${\displaystyle {\widetilde {i}}}$ $${\displaystyle X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0).}$$
4. ${\displaystyle \rho ^{-1}(0)}$ 除数はYのXに沿った拡大の和であり、有効なカルティエ除数として見なされます。$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}+{\widetilde {Y}}}$$ ${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$
5. 約数と は で交差するので、はにおいて無限大に存在します。${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$ ${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$

項目1は明らかです（ねじれがないことを確認してください）。一般に、 が与えられた場合、 が成り立ちます。はすでに 上の有効カルティエ因子であるため、 が得られます 。項目3は、ブローダウン写像 π が中心 から離れた同型であるという事実から導き出されます。最後の2つの項目は、明示的な局所計算から明らかです。QED${\displaystyle X\subset Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Bl} _{V}X\subset \operatorname {Bl} _{V}Y}$ ${\displaystyle X\times 0}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}}$ $${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M,}$$ ${\displaystyle {\widetilde {i}}}$ ${\displaystyle X\times 0}$

さて、前の段落の最後の項目は、 Mにおけるの像がと交わらないことを示唆しています。したがって、 iはXを法円錐に ゼロ断面で埋め込む変形となります。${\displaystyle X\times 0}$ ${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$

固有の法線円錐

固有正規束

を体 上の局所的に有限型のドリーニュ・マンフォードスタックとする。をに対するXのコタンジェント複素数とするとき、の固有法線バンドル^{[8] : 27}から は上のfppf -トルソルのスタックである商スタックである。このスタック商の具体的な解釈は、スタック のエタールトポスにおける局所的な振る舞いを見ることで得られる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}:=h^{1}/h^{0}({\textbf {L}}_{X,{\text{fppf}}}^{\vee })}$$ ${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,0}}$ ${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,1}}$ ${\displaystyle X}$

固有法線束の性質

より具体的には、アフィン有限型-スキームから滑らかなアフィン有限型 -スキームへの局所的に閉じた浸漬を伴うエタール射が存在すると仮定する。この場合、本質的な法線バンドルを、法線列が右辺で正確ではないことのスタック化として理解できることを意味する。さらに、以下で議論する特殊なケースでは、商を、ある三角形化カテゴリにおける三角形としての前の列の延長として考える。これは、局所スタック商が特定のケースにおいて と解釈できるためである。${\displaystyle U\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\to M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}|_{U}=[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]}$$ $${\displaystyle {\mathcal {T}}_{U}\to {\mathcal {T}}_{M}|_{U}\to {\mathcal {N}}_{U/M}}$$ ${\displaystyle [N_{U/M}/f^{*}T_{M}]}$ $${\displaystyle B{\mathcal {T}}_{U}={\mathcal {T}}_{U}[+1]}$$

通常の円錐

への固有の法線錐はと表記され、^{[8] : 29}は法線束を法線錐 に置き換えることによって定義される。すなわち、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}}$ ${\displaystyle N_{U/M}}$ ${\displaystyle C_{U/M}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}|_{U}=[C_{U/M}/f^{*}T_{M}].}$$

例： が局所完全交差となるのは、 の場合に限ります。特に、が滑らかな場合、 は上の可換群スキームである接線束 の分類スタックです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}=BT_{X}}$ ${\displaystyle T_{X}}$ ${\displaystyle X}$

より一般的には、アルティンスタックのデリーニュ・マンフォード型（DM型）射であり、局所的に有限型であるとする。すると、は閉部分スタックとして特徴付けられ、任意のエタール写像（例えば、 ）に対して、何らかの滑らかな写像（ ）を因数分解する、すなわちプルバックが以下の式で表される。 ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}\subseteq {\mathfrak {N}}_{X/Y}}$ ${\displaystyle U\to X}$ ${\displaystyle U\to X\to Y}$ ${\displaystyle M\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y}$ $${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}|_{U}=[C_{U/M}/T_{M/Y}|_{U}].}$$

参照

• アーベル円錐
• セグレクラス
• 残差交差
• 仮想基本クラス

注記

1. Hartshorne 1977、p. Ch. III、Exercise 9.7.。
2. Fulton 1998、p. 付録B.7.4.。
3. Fulton 1998, p. 定理6.5の証明の最初の部分。
4. Fulton 1998、p. 付録B 7.1.。
5. Fulton 1998、p. 付録B. 6.6.。
6. Fulton 1998、p. 付録B.6.2.。
7. Battistella, Luca; Carocci, Francesca; Manolache, Cristina (2020-04-09). 「現役数学者のための仮想クラス」.対称性、積分性、幾何学：方法と応用. arXiv : 1804.06048 . doi : 10.3842/SIGMA.2020.026 .
8. ベーレンド、K.;ファンテキ、B. (1997-03-19)。 「固有の法線円錐」。数学の発明。128 (1): 45–88 . arXiv : alg-geom/9601010。土井：10.1007/s002220050136。ISSN  0020-9910。S2CID  18533009。

参考文献

• ベーレンド、Ｋ．ファンテキ、B. (1997-03-01)。 「固有の法線円錐」。数学の発明。128 (1): 45–88 . arXiv : alg-geom/9601010。土井：10.1007/s002220050136。ISSN  0020-9910。S2CID  18533009。
• Fulton, William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 2 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4、MR  1644323
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

外部リンク

• 通常の錐体線維