整閉領域

可換代数において、整閉領域Aとは、その分数体における整閉がA自身である整域のことである。これを具体的に記述すると、x が A の分数体の元であり、その元が A に係数を持つ単項多項式の根である場合、x 自身も A の元であることを意味する。よく研究されている多くの領域は整閉であり、これは以下のクラス包含の連鎖によって示される。

乱数⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃ GCD 域⊃一意因数分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数的に閉体

具体的な例としては、ユークリッド整域である整数環Zが挙げられる。また、 すべての正則局所環は整閉環である。

すべての素イデアルにおける局所化が整閉領域である環は正規環である。

基本的なプロパティ

A を分数体Kを持つ整閉領域とし、LをKの体拡大とする。このとき、x ∈ LがA上整列となるための必要十分条件は、 x ∈ LがK上代数的であり、かつK上のその最小多項式がAに係数を持つ場合である。[ 1 ] 特に、これはA上整列のLの任意の元が、 K [ X ]で既約なA [ X ]の単項多項式の根であることを意味する。

A が体 Kに含まれる整域である場合、KにおけるAの整閉包（すなわち、 Kの元のうちA上整であるもの全体の集合）を考えることができる。この整閉包は整閉域である。

整閉領域は、ゴーイングダウン定理の仮説においても役割を果たします。この定理は、 A ⊆ B が領域の整拡大であり、 Aが整閉領域である場合、拡大A ⊆ Bに対してゴーイングダウン性が成立することを述べています。

例

以下は整閉領域です。

  • 主イデアル領域（特に整数と任意の体）。
  • 一意の因数分解領域(特に、体上、整数上、または任意の一意の因数分解領域上の任意の多項式環)。
  • GCD領域(特に、任意のベズー領域または評価領域)。
  • デデキント領域。
  • 体上の対称代数(すべての対称代数は体上の複数変数の多項式環に同型であるため)。
  • を特性2でない体とし、その上の多項式環とする。が の平方非定数多項式であるとき、は整閉領域である。[ 2 ]特に、が のとき、 は整閉領域である。[ 3 ]け{\displaystyle k}S＝け[×1、…、×n]{\displaystyle S=k[x_{1},\dots,x_{n}]}f{\displaystyle f}S{\displaystyle S}S[y]/（y2−f）{\displaystyle S[y]/(y^{2}-f)}け[×0、…、×r]/（×02+⋯+×r2）{\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{r}]/(x_{0}^{2}+\dots +x_{r}^{2})}r≥2{\displaystyle r\geq 2}

非例を挙げると、[ 4 ] k を体とし、 をt 2とt 3によって生成される部分代数とする。このときAは整閉体ではない。つまり、分数体 を持ち、変数Xのモニック多項式の根tは分数体には含まれるがAには含まれない。これは平面曲線が原点に特異点を持つという事実と関係している。 あ＝け[t2、t3]⊂け[t]{\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset k[t]}け（t）{\displaystyle k(t)}X2−t2{\displaystyle X^{2}-t^{2}}はい2＝X3{\displaystyle Y^{2}=X^{3}}

整閉でない別の領域は です。その分数体には元 が含まれますが、これはAには存在しませんが、モニック多項式 を満たします。 あ＝Z[5]{\displaystyle A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}\,]}5+12{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}X2−X−1＝0{\displaystyle X^{2}-X-1=0}

ネーター整閉領域

次元 1 のネーター局所領域Aの場合、以下は同値です。

  • Aは整閉である。
  • Aの最大イデアルは主イデアルです。
  • Aは離散評価環です( Aはデデキント環であることと同義です)。
  • Aは通常のローカル リングです。

A をネーター整域とする。A が整閉であるための必要十分条件は、(i) Aが高さ 1 の素イデアル上のすべての局所化の共通部分であり、(ii)高さ 1 の素イデアルにおける局所化が離散付値環であることである。 あp{\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}p{\displaystyle {\mathfrak {p}}}あp{\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}p{\displaystyle {\mathfrak {p}}}

ネーター環は、整閉領域である場合に限り、 クルル領域となります。

非ノイザン設定では、次のようになります: 整域は、それを含むすべての付値環の交差である場合に限り、整閉です。

通常のリング

セール、グロタンディーク、松村らは、正規環を素イデアルへの局所化が整閉領域となる環と定義している。このような環は必然的に被約環であり[ 5 ]、これが定義に含まれることもある。一般に、A が最大イデアルへの局所化がすべて領域となるネーター環であれば、 Aは領域の有限積となる。[ 6 ]特に、Aがネーター正規環であれば、積の領域は整閉領域となる。[ 7 ]逆に、整閉領域の有限積は正規である。特に、がネーター正規かつ連結であれば、Aは整閉領域となる。（滑らかな多様体を参照） スペック⁡（あ）{\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}

A をネーター環とする。すると（セールの条件）Aが正規環であるための必要十分条件は、次の条件を満たすことである：任意の素イデアルに対して、 p{\displaystyle {\mathfrak {p}}}

  1. の高さが の場合、 は正則です(つまり、は離散評価環です)。p{\displaystyle {\mathfrak {p}}}≤1{\displaystyle \leq 1}あp{\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}あp{\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}
  2. に高さがあれば、深さはあります。[ 8 ]p{\displaystyle {\mathfrak {p}}}≥2{\displaystyle \geq 2}あp{\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}≥2{\displaystyle \geq 2}

項目 (i) はしばしば「余次元 1 で正則」と表現されます。注意 (i) は、付随する素数の集合に埋め込まれた素数がないことを意味し、(i) が成り立つとき、(ii) は、任意の非零因子fに対して埋め込まれた素数が存在しないことを意味します。特に、コーエン・マコーレー環は(ii) を満たします。幾何学的には、次のことが成り立ちます。Xが非特異多様体の局所完全交差である場合、 [ 9 ]例えば、X自体が非特異である場合、Xはコーエン・マコーレーです。つまり、構造層の茎はすべての素イデアル p に対してコーエン・マコーレーです。すると、次のことが言えます。Xが正規である（つまり、その構造層の茎がすべて正規である）場合、かつその場合のみ、余次元 1 で正則です。 あss（あ）{\displaystyle Ass(A)}あss（あ/fあ）{\displaystyle Ass(A/fA)}おp{\displaystyle {\mathcal {O}}_{p}}

完全に整閉された領域

A を領域とし、K をその分数体とする。K の元 x が A上でほぼ整であるとは、 Aとxによって生成されるKの部分環A [ x ] がAの分数イデアルとなる場合、つまり、すべての に対してとなる非零の存在する場合を言う。そして、Kのすべてのほぼ整元がAに含まれる場合、 A は完全に整閉であるとは言う。完全に整閉な領域は整閉である。逆に、ネーター整閉な領域は完全に整閉である。 d∈あ{\displaystyle d\in A}d×n∈あ{\displaystyle dx^{n}\in A}n≥0{\displaystyle n\geq 0}

Aが完全に整閉であると仮定する。すると、形式的冪級数環は完全に整閉となる。[ 10 ]これは、整閉領域に対しては類似が偽であるため重要である。Rを高さが少なくとも2である付値領域（これは整閉である）とする。すると は整閉ではない。[ 11 ] L をKの体拡大とする。すると、 LにおけるAの整閉は完全に整閉となる。[ 12 ]あ[[X]]{\displaystyle A[[X]]}R[[X]]{\displaystyle R[[X]]}

整域が完全に整閉であるための必要十分条件は、Aの因子のモノイドが群であることだ。[ 13 ]

建設中の「一体的に閉じた」

次の条件は、整数領域Aに対して同等です。

  1. Aは整閉である。
  2. A p （ pに関するAの局所化）は、すべての素イデアルpに対して整的に閉じている。
  3. A mは任意の最大イデアルmに対して整閉である。

1 → 2 は局所化の下での積分閉包の保存から直ちに生じます。2 → 3 は自明です。3 → 1 は局所化の下での積分閉包の保存、局所化の正確性、およびA加群Mがゼロである場合と、すべての極大イデアルに関する局所化がゼロである場合に限る という特性から生じます。

対照的に、「積分的に閉じている」は商を通過せず、Z [t]/(t 2 +4) は積分的に閉じていない。

完全に整閉な領域の局所化は必ずしも完全に整閉である必要はない。[ 14 ]

整閉領域の直接の極限は整閉領域である。

整閉領域上のモジュール

A をノイザン整閉領域と します。

AのイデアルIが除数的である場合、そしてその場合のみ、A / Iの関連するすべての素数の高さは1である。[ 15 ]

P をAの高さ 1 の素イデアル全体の成す集合とする。Tが有限生成捩れ加群ならば、次のように書ける。

χ（T）＝∑p∈P長さp⁡（T）p{\displaystyle \chi (T)=\sum _{p\in P}\operatorname {length} _{p}(T)p}、

これは形式的な和、すなわち因子として意味を成す。dの因子類を と書く。Mの最大部分加群の場合、[ 16 ]となり、（ブルバキ法では） と表記される。 c（d）{\displaystyle c(d)}F、F′{\displaystyle F,F'}c（χ（M/F））＝c（χ（M/F′））{\displaystyle c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))}c（χ（M/F））{\displaystyle c(\chi (M/F))}c（M）{\displaystyle c(M)}

参照

引用

  1. ^松村、定理9.2
  2. ^ Hartshorne 1977、第II章、演習6.4。
  3. ^ Hartshorne 1977、第II章、演習6.5。(a)
  4. ^松村より引用
  5. ^可換環Rの極大イデアルにおけるすべての局所化が被約環（例えば、領域）である場合、 Rは被約である。証明： Rにおいてxが非零であり、 x 2 =0 であるとする。消滅因子ann( x ) は何らかの極大イデアルに含まれる。ここで、 xの像はRの における局所化において非零である。なぜならある に対して を意味するからであるしかし、 はxの消滅因子ににおいて局所化されたRが被約ではないことを示しているメートル{\displaystyle {\mathfrak {m}}}メートル{\displaystyle {\mathfrak {m}}}×＝0{\displaystyle x=0}メートル{\displaystyle {\mathfrak {m}}}×s＝0{\displaystyle xs=0}s∉メートル{\displaystyle s\not \in {\mathfrak {m}}}s{\displaystyle s}メートル{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
  6. ^カプランスキー、定理168、119ページ。
  7. ^松村、1989、p. 64
  8. ^松村『可換代数』125ページ。領域の場合、この定理はKrull (1931)による。一般の場合はSerreによる。
  9. ^代数的に閉じた体上
  10. ^松村の練習。
  11. ^松村、演習10.4
  12. ^ブルバキの練習問題。
  13. ^ブルバキ 1972、第 VII 章、§ 1、n. 2、定理 1
  14. ^ブルバキの練習問題。
  15. ^ブルバキ 1972、Ch. VII、§ 1、n. 6. 提案 10.
  16. ^ブルバキ 1972、Ch. VII、§4、n. 7

参考文献

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