原子力オペレーター

数学において、核作用素はアレクサンダー・グロタンディークが博士論文で導入した線型作用素の重要なクラスです。核作用素は、2つの位相ベクトル空間（TVS） の射影テンソル積と密接に結びついています。

準備と表記

全体を通して、 X、Y、Zを位相ベクトル空間（TVS）とし、L  : X → Yを線形演算子とします（特に明記しない限り連続性は仮定されません）。

• 2つの局所凸TVS XとYの射影テンソル積は で表され、この空間の完備化は で表されます。${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$
• L  : X → Yが位相準同型写像または準同型写像 であるとは、線形かつ連続であり、開写像であるとき、つまりLの像 がYによって誘導される部分空間位相を持つときである。 ${\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} L}$
  • SがXの部分空間である場合、商写像X → X / Sと標準射影S → Xは両方とも準同型である。
• 連続線型写像X → Z (連続双線型写像)の集合は、 L( X , Z ) (resp. B( X , Y ; Z )) と表記されます。ここで、Z が基礎となるスカラー場である場合は、代わりに L( X ) (resp. B( X , Y ))と表記することもできます。${\displaystyle X\times Y\to Z}$
• 任意の線型写像は次のように標準的に分解できます。ここで、 はLに関連付けられた標準的全単射と呼ばれる全単射を定義します。${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to X/\ker L\;\xrightarrow {L_{0}} \;\operatorname {Im} L\to Y}$ ${\displaystyle L_{0}\left(x+\ker L\right):=L(x)}$
• X * またはは、Xの連続双対空間を表します。 ${\displaystyle X'}$
  • 説明の明瞭性を高めるために、 の要素を記号の後にプライムを付けて表記するという一般的な規則を使用します (例:は の要素を表し、導関数ではなく、変数xと は、何らかの形で関連している必要はありません)。${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle x'}$
• ${\displaystyle X^{\#}}$ は、 Xの代数的双対空間（連続かどうかに関係なく、X上のすべての線形関数のベクトル空間）を表します。
• ヒルベルト空間からそれ自身への線型写像L  : H → H は、任意の に対してが成り立つとき、正写像と呼ばれる。この場合、Lの平方根と呼ばれる唯一の正写像r  : H → Hが存在し、 となる。^[1]${\displaystyle \langle L(x),x\rangle \geq 0}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle L=r\circ r}$
  • がヒルベルト空間間の連続線型写像であるとき、は常に正である。ここで、R  : H → Hを の正の平方根、つまりLの絶対値を表すものとする。まず、をと設定し、まで連続的に拡張して を定義し、次に をと設定し、 のすべての まで線型的に拡張してU をと定義する。この写像は および の射影等長写像である。${\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle L^{*}\circ L}$ ${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} R}$ ${\displaystyle U(x)=L(x)}$ ${\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}}}$ ${\displaystyle \ker R}$ ${\displaystyle U(x)=0}$ ${\displaystyle x\in \ker R}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L}$ ${\displaystyle L=U\circ R}$
• 線型写像がコンパクトあるいは完全連続であるとは、 Xの原点の近傍Uが存在し、 Yにおいてプレコンパクトであるときである。^[2]${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle \Lambda (U)}$

ヒルベルト空間において、正のコンパクト線型作用素、例えばL  : H → Hは、20世紀初頭にフレドホルムとF.リースによって発見された単純なスペクトル分解を持つ: ^[3]

正の数の減少する列があり、有限かそうでなければ0に収束し、H（i = 1, 2, ）の非ゼロの有限次元部分空間の列は次の性質を持つ：（1）部分空間は対直交である；（2）すべてのiとすべてのに対して、；（3）によって張られる部分空間の直交はLの核に等しい。^[3]${\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots }$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle x\in V_{i}}$ ${\displaystyle L(x)=r_{i}x}$ ${\textstyle \bigcup _{i}V_{i}}$

トポロジの表記法

• σ ( X , X ′)は、 X ′内のすべての写像が連続となるようなX上の最も粗い位相を表しまたは Xがこの位相を備えていることを表します。${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X'\right)}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
• σ ( X ′, X )はX*上の弱*位相を表しまたは この位相が備わったX ′を表す。 ${\displaystyle X_{\sigma \left(X',X\right)}}$ ${\displaystyle X'_{\sigma }}$
  • あらゆる写像はによって定義される写像を誘導することに注意してください。σ (X′, X)はX′ 上の最も粗い位相であり、このような写像はすべて連続になります。${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle X'\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda (x_{0})}$
• b(X, X′)はX上の有界収束の位相を表し、またはこの位相が備わったXを表します。${\displaystyle X_{b\left(X,X'\right)}}$ ${\displaystyle X_{b}}$
• b(X′, X)はX′上の有界収束の位相またはX′上の強い双対位相を表し、またはこの位相が備わったX ′を表します。 ${\displaystyle X_{b\left(X',X\right)}}$ ${\displaystyle X'_{b}}$
  • 通常、X * が位相ベクトル空間として考えられているが、それがどのような位相を備えているかが明らかにされていない場合、位相は b( X ′, X ) であると仮定されます。

Biの双対の部分空間としての標準テンソル積(X、はい）

XとYをベクトル空間（位相はまだ必要ありません）とし、 Bi( X , Y ) を基礎となるスカラー場上で定義され、そのスカラー場に入るすべての双線形写像の空間とします。 ${\displaystyle X\times Y}$

任意の に対して、任意のu ∈ Bi( X , Y ) に対してによって定義されるBi( X , Y ) 上の標準線形形式とします。これにより、 によって定義される標準写像が誘導されます。ここで、 は Bi( X , Y )の代数的双対を表します。 𝜒の値域をX ⊗ Y で表すと、 X ⊗ Yは𝜒とともにXとYのテンソル積を形成することが示されます(ただしx ⊗ y  := 𝜒 ( x , y ))。これにより、 XとYの標準テンソル積が得られます。 ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ ${\displaystyle \chi _{(x,y)}}$ ${\displaystyle \chi _{(x,y)}(u):=u(x,y)}$ ${\displaystyle \chi :X\times Y\to \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}$ ${\displaystyle \chi (x,y):=\chi _{(x,y)}}$ ${\displaystyle \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}$

Zが他のベクトル空間である場合、 u ↦ u ∘ 𝜒によって与えられる写像 Li( X ⊗ Y ; Z ) → Bi( X , Y ; Z )はベクトル空間の同型である。特に、これによってX ⊗ Yの代数的双対をX × Y上の双線型形式の空間と同一視することができる。^[4] さらに、XとY が局所凸位相ベクトル空間(TVS) であり、X ⊗ Yにπ -位相が与えられている場合、すべての局所凸 TVS Zに対して、この写像は連続線型写像の空間から連続双線型写像の空間へのベクトル空間同型に制限される。^[5] 特に、X ⊗ Yの連続双対はX × Y上の連続双線型形式の空間 B( X , Y ) と標準的に同一視することができる。さらに、この同一視によれば、B( X , Y )の等連続部分集合はの等連続部分集合と同じである。^[5]${\displaystyle L(X\otimes _{\pi }Y;Z)\to B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle (X\otimes _{\pi }Y)'}$

バナッハ空間間の核作用素

マップに 送ることで定義される標準的なベクトル空間埋め込みがある${\displaystyle I:X'\otimes Y\to L(X;Y)}$ ${\textstyle z:=\sum _{i}^{n}x_{i}'\otimes y_{i}}$

${\displaystyle x\mapsto \sum _{i}^{n}x_{i}'(x)y_{i}.}$

XとYがバナッハ空間であると仮定すると、写像 はノルムを持ちます(ノルムが であることを確認するには、となることに注意してください)。したがって、写像 への連続拡張があり、ここでこの写像は必ずしも単射ではないことが知られています。^[6]この写像の値域は で示され、その要素は核演算子と呼ばれます。^[7]は と TVS 同型であり、この商空間上のノルムは、誘導写像 を介しての要素に転送される場合、トレースノルムと呼ばれ、 で示されます。明示的に、^{[を明確に、または特に を明確にする必要がありますか? ]}が核演算子である場合、 となります。 ${\displaystyle I:X'_{b}\otimes _{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \leq 1}$ ${\textstyle \|I(z)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|I(z)(x)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}'(x)y_{i}\right\|\leq \sup _{\|x\|\leq 1}\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\|x\|\left\|y_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\left\|y_{i}\right\|}$ ${\displaystyle \left\|I(z)\right\|\leq \left\|z\right\|_{\pi }}$ ${\displaystyle {\hat {I}}:X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$ ${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$ ${\displaystyle \left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}}$ ${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$ ${\displaystyle {\hat {I}}:\left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}\to L^{1}(X;Y)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\operatorname {Tr} }}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {Tr} }:=\inf _{z\in {\hat {I}}^{-1}\left(T\right)}\left\|z\right\|_{\pi }}$

キャラクター設定

XとYがバナッハ空間であり、それが連続線形演算子である とします。${\displaystyle N:X\to Y}$

• 以下は同等です:
  1. ${\displaystyle N:X\to Y}$ 核です。
  2. の閉単位球には数列が存在し、の閉単位球には数列が存在し、また、 と が写像^[8]に等しいような複素数列が存在する。これはすべての に対して成り立つ。さらに、トレースノルムは、のすべての表現の集合上の数の最小値をそのような数列として表すものと等しい。^[8]${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|N\|_{\operatorname {Tr} }}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|}$ ${\displaystyle N}$
• Yが反射的であれば、Yは核であり、かつその場合のみ核となる。^[9]${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$ ${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }=\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$

プロパティ

XとYをバナッハ空間とし、を連続線形演算子とします。 ${\displaystyle N:X\to Y}$

• が核写像ならば、その転置は連続核写像（双対空間が強双対位相を持つ場合）であり、 となる。^[10]${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$ ${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$

ヒルベルト空間間の核作用素

ヒルベルト空間の核自己同型はトレースクラス演算子と呼ばれます。

XとYをヒルベルト空間とし、N :  X → Yを連続線型写像とする。R  : X → Xがの平方根であり、U :  X → Yが射影等長写像となるような写像であるとする。このとき、 Nが核写像となることと、Rが核写像となることは同値である。したがって、ヒルベルト空間間の核写像を研究するには、正の自己随伴作用素Rに注目するだけで十分である。^[11]${\displaystyle N=UR}$ ${\displaystyle N^{*}N}$ ${\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} N}$

特徴づけ

XとYをヒルベルト空間とし、N :  X → Yを絶対値がR  : X → Xである連続線型写像とする。以下は同値である。

1. N  : X → Yは核です。
2. R  : X → Xは核である。^[12]
3. R  : X → Xはコンパクトかつ有限であり、その場合。^[12]${\displaystyle \operatorname {Tr} R}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} R=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}$
   • ここで、はRのトレースであり、次のように定義されます。Rは連続コンパクト正演算子であるため、対応する非自明な有限次元かつ相互に直交するベクトル空間を持つ正の数の（おそらく有限の）シーケンスが存在し、の直交（Hにおいて）はに等しく（したがって にも）なり、すべてのkに対して、すべての に対して となります。トレースは として定義されます。${\displaystyle \operatorname {Tr} R}$ ${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\cdots }$ ${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \operatorname {span} \left(V_{1}\cup V_{2}\cup \cdots \right)}$ ${\displaystyle \ker R}$ ${\displaystyle \ker N}$ ${\displaystyle R(x)=\lambda _{k}x}$ ${\displaystyle x\in V_{k}}$ ${\textstyle \operatorname {Tr} R:=\sum _{k}\lambda _{k}\dim V_{k}}$
4. ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$ 核の場合、その場合^[9 ]${\displaystyle \|{}^{t}N\|_{\operatorname {Tr} }=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}$
5. XとYには2つの直交数列があり、また、すべてのに対してとなる数列がXに存在します。^[12]${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\textstyle N(x)=\sum _{i}\lambda _{i}\langle x,x_{i}\rangle y_{i}}$
6. N  : X → Yは積分写像である。^[13]

局所凸空間間の核作用素

U がXにおける原点の凸平衡閉近傍であり、B がYにおける凸平衡有界バナッハ円板で、 XとYがともに局所凸空間であるとする。 を、を正準射影とする。が に稠密な正準写像を持つ補助バナッハ空間と、でノルムされ、（連続）正準射影となる補助空間を定義することができる。任意の連続線型写像が与えられれば、合成によって連続線型写像 が得られる。したがって、射影が得られ、これ以降、この写像を使用して をの部分空間として識別する。^[7]${\textstyle p_{U}(x)=\inf _{r>0,x\in rU}r}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/p_{U}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}_{U}}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}:X\to {\hat {X}}_{U}}$ ${\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}_{U}}$ ${\displaystyle F_{B}=\operatorname {span} B}$ ${\textstyle p_{B}(y)=\inf _{r>0,y\in rB}r}$ ${\displaystyle \iota :F_{B}\to F}$ ${\displaystyle T:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}\circ T\circ \iota :X\to Y}$ ${\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)\to L(X;Y)}$ ${\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$

定義：XとYをハウスドルフ局所凸空間とする。Xにおける原点のすべての閉凸均衡近傍上のU値域とYにおけるすべての有界バナッハ円板上のB値域の和集合をXで表し、その元をXからYへの核写像と呼ぶ。^[7]${\textstyle L^{1}\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}$ ${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$

XとY がバナッハ空間である場合、核マッピングのこの新しい定義は、XとYがバナッハ空間 である特殊なケースに対して与えられた元の定義と一致します。

核保有の十分条件

• W、X、Y、Zをハウスドルフ局所凸空間、核写像、および連続線型写像とする。このとき、、、は核写像となり、さらにW、X、Y、Zがすべてバナッハ空間であるならば、となる。^{[14] [15]}${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle M:W\to X}$ ${\displaystyle P:Y\to Z}$ ${\displaystyle N\circ M:W\to Y}$ ${\displaystyle P\circ N:X\to Z}$ ${\displaystyle P\circ N\circ M:W\to Z}$ ${\textstyle \left\|P\circ N\circ M\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|P\right\|\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }\|\left\|M\right\|}$
• が2つのハウスドルフ局所凸空間間の核写像である場合、その転置は連続核写像である（双対空間がそれらの強双対位相を持つ場合）。^[2]${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$
  • さらにXとYがバナッハ空間ならば、. ^[9]${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$
• が2つのハウスドルフ局所凸空間間の核写像であり、がXの完備化である場合、 Nの唯一の連続拡大は核である。^[15]${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {N}}:{\hat {X}}\to Y}$

特徴づけ

XとYをハウスドルフ局所凸空間とし、を連続線形演算子とします。 ${\displaystyle N:X\to Y}$

• 以下は同等です:
  1. ${\displaystyle N:X\to Y}$ 核です。
  2. （定義） Xの原点の凸均衡近傍UとYの有界バナッハ円板Bが存在し、誘導写像は核写像であり、はの唯一の連続拡大であり、はを満たす唯一の写像であり、は自然包含であり、は標準射影である。^[6] ${\displaystyle N(U)\subseteq B}$ ${\displaystyle {\overline {N}}_{0}:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}$ ${\displaystyle {\overline {N}}_{0}}$ ${\displaystyle N_{0}:X_{U}\to Y_{B}}$ ${\displaystyle N=\operatorname {In} _{B}\circ N_{0}\circ \pi _{U}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:Y_{B}\to Y}$ ${\displaystyle \pi _{U}:X\to X/p_{U}^{-1}(0)}$
  3. バナッハ空間、および連続線型写像、、が存在し、は核、 となる。[ ^8]${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle f:X\to B_{1}}$ ${\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}$ ${\displaystyle g:B_{2}\to Y}$ ${\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}$ ${\displaystyle N=g\circ n\circ f}$
  4. には等連続な数列、有界なバナッハ円板、 Bには数列、そしてすべてのに対して、およびが写像^[8]に等しいような複素数列が存在する。${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ ${\displaystyle x\in X}$
• Xがバレル型でYが準完全な場合、Nが核となるのは、 Nが、で有界、Yで有界、の形式の表現を持つ場合のみです。^[8]${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ ${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$

プロパティ

以下は、核写像を拡張するための ハーン・バナッハの定理の一種です。

• がTVS埋め込みで、が核写像であるとき、となる核写像が存在する。さらに、XとYがバナッハ空間でEが等長写像であるとき、任意の に対して、となるように を選ぶことができる。^[16]${\displaystyle E:X\to Z}$ ${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}:Z\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}\circ E=N}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ ${\displaystyle \|{\tilde {N}}\|_{\operatorname {Tr} }\leq \|N\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }$
• がZで閉じたTVS埋め込みであり、 が正準射影であるとする。 のすべてのコンパクト円板がZの有界バナッハ円板の像であるとする（例えば、XとZ が両方ともフレシェ空間である場合、あるいはZ がフレシェ空間の強双対であり、Zで弱閉じている場合）。すると、すべての核写像に対してとなる核写像が存在する。 ${\displaystyle E:X\to Z}$ ${\displaystyle \pi :Z\to Z/\operatorname {Im} E}$ ${\displaystyle Z/\operatorname {Im} E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} E}$ ${\displaystyle N:Y\to Z/\operatorname {Im} E}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}:Y\to Z}$ ${\displaystyle \pi \circ {\tilde {N}}=N}$
  • さらに、XとZがバナッハ空間でEが等長写像であるとき、任意のに対して、となるように選ぶことができる。^[16]${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ ${\textstyle \left\|{\tilde {N}}\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }$

XとYをハウスドルフ局所凸空間とし、を連続線形演算子とします。 ${\displaystyle N:X\to Y}$

• どの核マップもコンパクトである。^[2]
• 上の一様収束の位相に対して、核写像は の閉包に含まれる（を の部分空間とみなす場合）。^[6]${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X'\otimes Y}$ ${\displaystyle X'\otimes Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$

参照

• 補助規範空間
• 共分散演算子 – 確率論における演算子
• 初期位相 – 特定の関数を連続させる最も粗い位相
• 帰納的テンソル積
• 入射テンソル積
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• バナッハ空間間の核作用素
• 核空間 – ヒルベルト空間とは異なる有限次元ユークリッド空間の一般化
• 射影テンソル積
• ヒルベルト空間のテンソル積 – 特別な内積を持つテンソル積空間
• 位相テンソル積 – 位相ベクトル空間のテンソル積構成
• トレースクラス – 有限トレースを定義できるコンパクトな演算子
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

参考文献

1. Trèves 2006、488ページ。
2. Trèves 2006、483ページ。
3. Trèves 2006、490ページより。
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5. Schaefer & Wolff 1999、93ページより。
6. Schaefer & Wolff 1999、98ページ。
7. Treves 2006、478–479ページ。
8. Treves 2006、481–483 ページ。
9. Trèves 2006、484ページ。
10. Treves 2006、483–484 ページ。
11. Treves 2006、488–492 ページ。
12. Treves 2006、492–494ページ。
13. Treves 2006、502–508 ページ。
14. Treves 2006、479–481 ページ。
15. Schaefer & Wolff 1999、100ページより。
16. Trèves 2006、485ページより。

参考文献

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• Nlend, H (1981).核空間と共核空間：双対性の観点から見た核空間と共核空間の入門コース. アムステルダム, ニューヨーク, ニューヨーク州: North-Holland Pub. Co. 米国およびカナダにおける総代理店、Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. OCLC  7553061。
• ピエチュ、アルブレヒト (1972)。核の局所的に凸状の空間。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• ロバートソン, AP (1973).位相ベクトル空間. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250。
• ライアン、レイモンド (2002).バナッハ空間のテンソル積入門. ロンドン、ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
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• ウォン（1979）『シュワルツ空間、核空間、テンソル積』ベルリン・ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-09513-6OCLC  5126158 。

外部リンク

• ncatlabの核空間