1人の報告者グループ

数学の分野である群論において、一関係子群とは、単一の定義関係を持つ群の表示によって与えられる群である。一関係子群は、有限に表示した群の多くの明示的な例を提供することで、幾何学的群論において重要な役割を果たしている。

正式な定義

1関係子群とは、次のような形式の群表現を許容する 群Gである。

${\displaystyle G=\langle X\mid r=1\,\rangle }$

1

ここで、Xは集合（一般には無限大の可能性がある）であり、は自由に循環的に簡約された語です。 ${\displaystyle r\in F(X)}$

Yがrに現れるすべての文字の集合であるとする と、${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X'=X\setminus Y}$

${\displaystyle G=\langle Y\mid r=1\,\rangle \ast F(X').}$

そのため、( 1 )のXは通常、1関係子群を議論する場合には有限であると仮定され、その場合( 1 )はより明示的に次のように書き直すことができる。

${\displaystyle G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}\mid r=1\,\rangle ,}$

2

ここで、ある整数${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$

自由法

Gを上記の表現( 1 )で与えられた1関係子群とする。rは F(X) の自由かつ巡回的に縮約された語であることを思い出す。rにまたはが現れる文字をとする。とする。この部分群はGのマグヌス部分群と呼ばれる。 ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{-1}}$ ${\displaystyle X_{1}\subseteq X\setminus \{y\}}$ ${\displaystyle H=\langle X_{1}\rangle \leq G}$

1930年のヴィルヘルム・マグヌスの有名な定理[ ^1]（Freiheitssatz）は、この状況ではHはによって自由に生成される${\displaystyle X_{1}}$ 、つまり、となると述べています。その他の証明については^{[2] [3]}も参照してください。 ${\displaystyle H=F(X_{1})}$

1つの関係子グループの特性

ここでは、有限生成集合と非自明な自由に巡回的に簡約された定義関係を持つ表現( 2 )によって1関係群Gが与えられると仮定する。 ${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle 1\neq r\in F(X)}$

• 1-関係群Gが捩れなしとなるのは、が適切な冪でないときのみです。${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

• あらゆる1関係群G は実質的に捩れがない、つまり有限指数の捩れがない部分群を許容する。^[4]

• 1つのリレータによるプレゼンテーションは図式的に非球面です。^[5]

• が真冪でない場合には、表現( 2 )の表現複体Pは有限のアイレンバーグ・マクレーン複体である。^[6]${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle K(G,1)}$

• が真冪でない場合、1関係群Gはコホモロジー次元 を持ちます。${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \leq 2}$

• 1関係群Gが自由であるためには原始元が必要である。この場合Gはランクn  −1から自由である^。[7]${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

• の作用下で元が最小の長さであるとし、任意の または に対して が r に現れると仮定する。すると、群Gは自由分解不可能となる 。^[8]${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (F_{n})}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{-1}}$

• が真冪でない場合には、一関係群G は局所的に指示可能である、すなわち、Gの任意の非自明な有限生成部分群は、への群準同型性を許容する。^[9]${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• あらゆる1関係子群Gはアルゴリズム的に決定可能な単語問題を持つ。^[10]

• Gが1関係群でありマグヌス部分群である場合、 GにおけるHの部分群所属問題は決定可能である。^[10]${\displaystyle H\leq G}$

• 1 つの関係子を持つグループに解決可能な共役問題が存在するかどうかは不明です。

• 同型性問題が1 つの関係子群のクラスに対して決定可能かどうかは不明です。

• 表現( 2 )によって与えられた1関係子群Gは、原始元でない限りランクnを持つ（つまり、 n個未満の元では生成できない） 。 ^[11] ${\displaystyle r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

• Gを( 2 )式で表される1関係子群とする。Gの中心は自明である。Gが非可換群で非自明な中心を持つ場合、Gの中心は無限巡回群となる。[ ^12]${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle Z(G)=\{1\}}$ ${\displaystyle n=2}$

• とする。これに応じて、 rとsのF ( X )における正規閉包をそれぞれとおく。このとき、F ( X )において、またはが共役であることは、かつその場合に限る。 ^{[13] [14]}${\displaystyle r,s\in F(X)}$ ${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle N_{1}=\langle \langle r\rangle \rangle _{F(X)}}$ ${\displaystyle N_{2}=\langle \langle s\rangle \rangle _{F(X)}}$ ${\displaystyle N_{1}=N_{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s^{-1}}$

• ホップ群ではない、したがって残差有限ではない有限生成1関係群が存在する。例えば、バウムスラッグ-ソリター群で ある。^[15]${\displaystyle B(2,3)=\langle a,b\mid b^{-1}a^{2}b=a^{3}\rangle }$

• Gを( 2 )式で表される1関係子群とする。このとき、GはTitsの代替案の次のバージョンを満たす。Gが捩れを持たない場合、Gのすべての部分群は階数2の自由群を含むか、可解となる。Gが非自明な捩れを持つ場合、Gのすべての部分群は階数2の自由群を含むか、巡回するか、無限二面体となる。^[16]

• Gを( 2 )式で与えられた1関係子群とする。すると、正規部分群は何らかの元族に対して、形の自由基底を許容する。^[17]${\displaystyle N=\langle \langle r\rangle \rangle _{F(X)}\leq F(X)}$ ${\displaystyle \{u_{i}^{-1}ru_{i}\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle \{u_{i}\in F(X)\mid i\in I\}}$

ねじれを伴う1関係子群

表現( 2 )によって与えられた1関係群Gを仮定する。ただし、は真の冪ではない（したがって、sも自由かつ巡回的に約数である）。このとき、次が成り立つ。 ${\displaystyle r=s^{m}}$ ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle 1\neq s\in F(X)}$

• Gにおいて元sはm位数 を持ち、Gにおける有限位数の元はすべてsの冪に共役である。^[18]

• Gの任意の有限部分群はGのの部分群と共役である。さらに、すべての捩れ元によって生成されるGの部分群は、Gのの共役群の自由積である。^[4]${\displaystyle \langle s\rangle }$ ${\displaystyle \langle s\rangle }$

• Gは有限指数の捩れのない正規部分群を許容する。^[4]

• ニューマンの「綴り定理」^{[19] [20]を}Gにおいてとなる自由簡約語とする。するとw には部分語vが含まれ、 vもまた またはの長さの部分語となる。これは となり、 Gの表現( 2 ) はデーン表現となることを意味する。${\displaystyle 1\neq w\in F(X)}$ ${\displaystyle w=1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle |v|=1+(m-1)|s|}$ ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle |v|>|r|/2}$

• Gは仮想コホモロジー次元を持つ 。^[21]${\displaystyle \leq 2}$

• Gは語双曲群である。^[22]

• Gは決定可能な共役性問題を持つ。^[19]

• Gはコヒーレントである、つまりGの有限生成部分群はすべて有限に提示可能である。^[23]

• 同型性問題は、有限生成の1関係群の捩れを持つ場合、その双曲性により決定可能である。^[24]

• Gは残差有限である。^[25]

• ${\displaystyle G}$ は事実上巡回自由である、すなわち有限指数の部分群を持ち、巡回商を持つ自由正規部分群が存在する。^[26]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F\triangleleft H}$ ${\displaystyle F/H}$

マグヌス・モルダヴァンスキー法

1930年代のマグナスの研究に始まり、1-関係子群に関する一般的な結果のほとんどは、定義関係子rの長さ| r |に関する帰納法によって証明されている。以下の説明は、マグナスのオリジナルのアプローチについてはリンドンとシュップ^{[27]の第II章第6節、マグナス、カラス、ソリター[28]}の第4.4節、モルダヴァンスキーによるHNN拡張版についてはリンドンとシュップ^[29]の第IV章第5節に従っている。^[30]

G を表現( 1 )で与えられた1関係子群とし、有限生成集合Xを持つものとする。また、Xからのすべての生成元は実際にrに現れるものとする。

通常は、次のように想定できます(そうでない場合、 Gは巡回的であり、 Gについて証明されているステートメントは通常は明白であるため)。 ${\displaystyle \#X\geq 2}$

考慮すべき主なケースは、Xから生成した何らかの生成子（例えば t ）が r において t の指数和が 0 となる場合です。この場合、 とします。すべての生成子について、となる点をと表します。すると、r はこれらの新しい生成子においてとなる語として書き直すことができます。 ${\displaystyle X=\{t,a,b,\dots ,z\}}$ ${\displaystyle x\in X\setminus \{t\}}$ ${\displaystyle x_{i}=t^{-i}xt^{i}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle X_{\infty }=\{(a_{i})_{i},(b_{i})_{i},\dots ,(z_{i})_{i}\}}$ ${\displaystyle |r_{0}|<|r|}$

たとえば、次の場合。 ${\displaystyle r=t^{-2}btat^{3}b^{-2}a^{2}t^{-1}at^{-1}}$ ${\displaystyle r_{0}=b_{2}a_{1}b_{-2}^{-2}a_{-2}^{2}a_{-1}}$

を、 ですべて与えられたの部分で構成されるアルファベットとします。ここで、は に現れるの最小および最大の下付き文字です。 ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle m(x)\leq i\leq M(x)}$ ${\displaystyle m(x),M(x)}$ ${\displaystyle x_{i}^{\pm 1}}$ ${\displaystyle r_{0}}$

マグナスは、部分群自体が1関係子表現 を持つ1関係子群であることを指摘した。 であるため、 Gに関する特定の命題を証明する際に、通常、 に帰納的仮説を適用できることに注意されたい。 ${\displaystyle L=\langle X_{0}\rangle \leq G}$ ${\displaystyle L=\langle X_{0}\mid r_{0}=1\rangle }$ ${\displaystyle |r_{0}|<|r|}$ ${\displaystyle L}$

さらに、に対してならばも1関係子群であり、 はすべての添え字を だけずらすことによってから得られる。すると、 Gにおけるの正規閉包は ${\displaystyle X_{i}=t^{-i}X_{0}t^{i}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle L_{i}=\langle X_{i}\rangle =\langle X_{i}|r_{i}=1\rangle }$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N=\langle \langle X_{0}\rangle \rangle _{G}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

${\displaystyle N=\left\langle \bigcup _{i\in \mathbb {Z} }L_{i}\right\rangle .}$

マグヌスの独自のアプローチは、 Nが実際には、適切に選ばれたマグヌス自由部分群に沿って併合された群の反復併合積であるという事実を利用した。彼の「自由定理」の証明と、一関係群に対する単語問題の解法は、このアプローチに基づいていた。 ${\displaystyle L_{i}}$

その後、モルダヴァンスキーはフレームワークを簡略化し、この場合、G自体はLのHNN 拡張であり、関連するサブグループはLのマグヌス自由サブグループであると指摘しました。

からの各ジェネレータについて、の最小値と最大値の添え字が等しい場合、この場合、誘導ステップは通常簡単に処理できます。 ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle G=L\ast \langle t\rangle }$

ここで、 からのある生成子が、少なくとも2つの異なる添字を持つ からのすべての生成子の集合を とし、 からのすべての生成子が、それぞれ最大でない添字を持つからのすべての生成子の集合を とします。（したがって、 からとからのすべての生成子は、それぞれ一意でない添字を持つ からに出現します。）すると、 と はLとの自由マグヌス部分群となります。モルダヴァンスキーは、この状況において ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle Y_{-}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle Y_{+}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle Y_{-}}$ ${\displaystyle Y_{-}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle H_{-}=\langle Y_{-}\rangle }$ ${\displaystyle H_{+}=\langle Y_{+}\rangle }$ ${\displaystyle t^{-1}H_{-}t=H_{+}}$

${\displaystyle G=\langle L,t\mid t^{-1}H_{-}t=H_{+}\rangle }$

はLの HNN 拡張です。この事実は、HNN 拡張Gの正規形法と構造代数的性質を用いて、一関係群Lに関する帰納的仮説を用いてGについて何かを証明することを可能にすることがよくあります。

マグナスの元の設定とモルダバンスキーによる簡略化の両方における一般的なケースでは、rにおいて指数の合計が 0 となるようなXからの生成子が存在しない状況を扱う必要があります。 r には、指数が非ゼロの異なる文字がそれに応じて出現するとします。によって与えられ、 Xからのその他の生成子を固定した準同型写像を考えます。すると、y上の指数の合計が 0 になるとき、写像fは群準同型写像を誘導し、これは埋め込みになります。そして、1 関係子群G' は、モルダバンスキーのアプローチを使用して扱うことができます。を 1 関係子群Lの HNN 拡張として分割すると、 Lの定義関係子は依然としてrよりも短いことが判明し、帰納的議論を進めることができます。マグナスの元のアプローチでは、このケースを扱うために埋め込みトリックの類似バージョンを使用していました。 ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle f:F(X)\to F(X)}$ ${\displaystyle f(x)=xy^{-\beta },f(y)=y^{\alpha }}$ ${\displaystyle r'=f(r)\in F(X)}$ ${\displaystyle \phi :G\to G'=\langle X\mid r'=1\rangle }$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle r_{0}}$

2生成子1反応子グループ

多くの2生成子1関係子群は半直積 として分裂することが判明した。この事実は、マグヌス・モルダヴァンスキー法を用いて1関係子群のBNS不変量を解析した際に ケン・ブラウンによって観察された。${\displaystyle G=F_{m}\rtimes \mathbb {Z} }$

すなわち、Gを( 2 )式で表される1関係子群とし、をエピモーフィズムとする。すると、の自由基底を、となる基底に書き換えることができ、この生成子における Gの表現を次のように書き直すことができる。${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \phi :G\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle t,a}$ ${\displaystyle \phi (t)=1,\phi (a)=0}$

${\displaystyle G=\langle a,t\mid r=1\rangle }$

ここで、 は自由に循環的に短縮される単語です。 ${\displaystyle 1\neq r=r(a,t)\in F(a,t)}$

なので、 rにおけるtの指数和は 0 に等しい。 を再び置くと、 rを における語として書き直すことができる。に現れる生成子の最小と最大の添え字を とする。Brownは^[31]で、 が有限生成であるための必要十分条件を示し、 とが両方とも にちょうど 1 回現れること、さらにその場合群は自由であることを示した。したがって、 が有限生成核を持つエピモフィズムである場合、G はのように分解される。ここでは有限階数の自由群である。 ${\displaystyle \phi (r)=0,\phi (t)=1}$ ${\displaystyle a_{i}=t^{-i}at^{i}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {Z} }.}$ ${\displaystyle m,M}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle \ker(\phi )}$ ${\displaystyle m<M}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle a_{M}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle \ker(\phi )}$ ${\displaystyle \phi :G\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G=F_{m}\rtimes \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle F_{m}=\ker(\phi )}$

その後、ダンフィールドとサーストンは^[32]、 1関係子2生成子群が「ランダムに」選択される場合（つまり、長さnの巡回縮約語rが一様ランダムに選択される場合）、有限生成核を持つGから上へ の準 同型が存在する確率は次式を満たすことを証明した。${\displaystyle G=\langle x_{1},x_{2}\mid r=1\rangle }$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle 0.0006<p_{n}<0.975}$

十分に大きいnすべてに対して。さらに、彼らの実験データは、 の極限値がに近いことを示している。 ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle 0.94}$

1人の関係因子グループの例

• 自由アーベル群 ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\langle a,b\mid a^{-1}b^{-1}ab=1\rangle }$

• Baumslag–Solitar 群、 ここで。${\displaystyle B(m,n)=\langle a,b\mid b^{-1}a^{m}b=a^{n}\rangle }$ ${\displaystyle m,n\neq 0}$

• 互いに素な整数であるトーラス結び目群。${\displaystyle G=\langle a,b\mid a^{p}=b^{q}\rangle }$ ${\displaystyle p,q\geq 1}$

• バウムスラッグ・ゲルステン群 ${\displaystyle G=\langle a,t\mid a^{a^{t}}=a^{2}\rangle =\langle a,t\mid (t^{-1}a^{-1}t)a(t^{-1}at)=a^{2}\rangle }$

• 有向曲面群、 ここで、ここで。${\displaystyle G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{n},b_{n}\mid [a_{1},b_{1}]\dots [a_{n},b_{n}]=1\rangle }$ ${\displaystyle [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

• 非有向表面群、ここで。${\displaystyle G=\langle a_{1},\dots ,a_{n}\mid a_{1}^{2}\cdots a_{n}^{2}=1\rangle }$ ${\displaystyle n\geq 1}$

一般化と未解決の問題

• AとBが 2 つのグループであり、 がそれらの自由積 の要素である場合、1 つの関係子積を考えることができます。${\displaystyle r\in A\ast B}$ ${\displaystyle G=A\ast B/\langle \langle r\rangle \rangle =\langle A,B\mid r=1\rangle }$

• いわゆるケルヴェール予想（ケルヴェール・ローデンバッハ予想とも呼ばれる）は、Aが非自明な群であり無限巡回であるとき、すべての1関係子積が非自明であるかどうかが真かどうかを問うものである。^[33]${\displaystyle B=\langle t\rangle }$ ${\displaystyle r\in A\ast B}$ ${\displaystyle G=\langle A,t\mid r=1\rangle }$

• クリャチコはAがねじれを持たない場合のケルヴェア予想を証明した。 ^[34]

• ^{ゲルステン[22]}による予想によれば、有限生成1関係群が語双曲的であるための必要十分条件は、それがバウムスラッグ-ソリター部分群を含まないということである。

参照

• 3次元多様体
• 幾何学的位相幾何学
• 小さな相殺理論

出典

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外部リンク

• ノートルダム大学のアンドリュー・プットマンによる一関係者グループに関するノート