二変量理論

数学において、特異多様体のチョウ群に環構造を付与するために、フルトンとマクファーソンによって双変量理論が導入されました (Fulton & MacPherson 1981)。結果として得られる環は、操作的チョウ環と呼ばれます。

技術的なレベルでは、二変理論はホモロジー理論とコホモロジー理論を組み合わせたものです。一般に、ホモロジー理論は空間の圏からアーベル群の圏への共変関 手であり、コホモロジー理論は（良い）空間の圏から環の圏への反変関手です。二変理論は共変かつ反変の関手であるため、「二変」と呼ばれます。

意味

ホモロジー理論やコホモロジー理論とは異なり、双変クラスは空間ではなくマップに対して定義されます。

を写像とする。このような写像に対して、ファイバー平方を考えることができる。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}}$

(例えば、爆発など) 直感的には、上記のようなファイバー スクエアすべてを考慮することは、マップの近似として考えることができます。 ${\displaystyle f}$

さて、の双有理クラスはファイバー平方でインデックス付けされた群準同型写像の族である。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle A_{k}Y'\to A_{kp}X'}$

特定の互換性条件を満たす。

オペレーション・チャウリング

基本的な質問は、サイクルマップがあるかどうかでした。

${\displaystyle A^{*}(X)\to \operatorname {H} ^{*}(X,\mathbb {Z} ).}$

Xが滑らかな場合、そのような写像が存在する。なぜなら、 はXの通常のChow 環だからである。(Totaro 2014) は、 X が線型多様体、つまりセル分解を許容する多様体であっても、そのような良好な特性を持つ写像は合理的に存在しないことを示した。彼はまた、ヴォエヴォドスキーのモティヴィックコホモロジー環は、特異スキームに対しては操作的 Chow 環よりも「おそらくより有用」であると指摘している (同書 § 8)。 ${\displaystyle A^{*}(X)}$

参考文献

• トタロ, バート (2014年6月1日). 「チャウ群、チャウコホモロジー、線型多様体」. Forum of Mathematics, Sigma . 2 e17. doi : 10.1017/fms.2014.15 .
• Dan EdidinとMatthew Satriano、「GIT商の交差Chowコホモロジーに向けて」
• フルトン、ウィリアム（1998）、交差理論、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98549-7、MR  1644323
• フルトン、ウィリアム、マクファーソン、ロバート (1981). 特異空間研究のための圏論的枠組み. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-2243-2。
• ヴァキルの最後の2つの講義、数学245A代数幾何学のトピック：代数幾何学における交差理論の入門

外部リンク

• nLab- 二変コホモロジー理論