反対側のリング

数学、特に抽象代数学において、環の逆は、同じ元と加法を持ち、乗算の順序が逆である別の環である。より明確には、環( R , +, ⋅ )の逆は、任意のa、bに対してa ∗ b = b ⋅ aで定義される乗法 ∗ を持つ環( R , +, ∗ )である。^{[1] [2]逆環は、}双加群の一般化である多加群を定義するために使用できる。また、多加群は左加群と右加群の関係を明確にするのにも役立つ（§ 特性 を参照）。

モノイド、群、環、代数はすべて、単一の対象を持つ圏として見ることができます。反対圏の構築は、反対群、反対環など を一般化します。

自己同型と反自己同型との関係

このセクションでは、一部の単項演算との混同を避けるために、反対の環における乗算の記号がアスタリスクからダイヤモンドに変更されています。

環は、その反対の環と同型であるとき自己反対環と呼ばれます。 ^{[3] [4] [a]}この名前は、が本質的に⁠ ⁠と同じであることを示しています。 ${\displaystyle R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle R}$

すべての可換環は自己反意環である。

反同型性を定義しよう

⁠ ⁠${\displaystyle \iota :(R,\diamond )\to (R,\cdot )}$ 、ここで⁠ ⁠。^[b]${\displaystyle \iota (a)=a}$ ${\displaystyle a\in R}$

これは確かに反同型です。なぜなら⁠ ⁠${\displaystyle \iota (a\diamond b)=a\diamond b=b\cdot a=\iota (b)\cdot \iota (a)}$ だからです。反同型は、半群、モノイド、群、環、乱数、代数に対して一般に定義できます。環（および乱数）の場合、一般同値性が得られます。 ${\displaystyle \iota }$

環^[c]が自己反同型となるのは、それが少なくとも1つの反自己同型を持つ場合のみである。

証明: ⁠ ⁠${\displaystyle \Rightarrow }$ : を自己反対とする。が同型ならば、⁠ ⁠は反同型と同型の合成であるため、 から自身への反同型であり、したがって反自己同型である。 ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle f:(R,\cdot )\to (R,\diamond )}$ ${\displaystyle \iota \circ f}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

⁠ ⁠${\displaystyle \Leftarrow }$ :が反自己同型ならば、 は2つの反同型の合成として同型となる。したがって、は自己反対である。 ${\displaystyle g:(R,\cdot )\to (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (\iota ^{-1}\circ g):(R,\cdot )\to (R,\diamond )}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

そして

が自己反対であり、自己同型群が有限である場合、反自己同型の数は自己同型の数と等しくなります。 ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R,\cdot )}$

証明: 仮定と上記の同値性により、反自己同型が存在する。そのうちの1つを選び、それを⁠ ⁠${\displaystyle q}$ と表記すると、 ⁠ ⁠を ⁠ ⁠する写像⁠ ⁠${\displaystyle h\mapsto q\circ h}$ は明らかに単射であると同時に、ある自己同型⁠ ⁠に対する各反自己同型が成り立つ ことから、射影的でもある。${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R,\cdot )}$ ${\displaystyle g=q\circ (q^{-1}\circ g)=q\circ h}$ ${\displaystyle h}$

同様の仮定の下で、 からへの同型写像の数は⁠ ⁠の反自己同型写像​​の数に等しいことも同様の方法で証明できます。 ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (R,\diamond )}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$

もしある反自己同型が自己同型でもあるならば、各${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a,b\in (R,\cdot )}$

${\displaystyle g(a\cdot b)=g(b)\cdot g(a)=g(b\cdot a)}$

はすべての⁠ ⁠ と⁠ ⁠に対して全単射なので、環は可換であり、すべての反自己同型は自己同型である。対偶により、環が非可換（かつ自己反対）である場合、いかなる反自己同型も自己同型ではない。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

すべての自己同型とすべての反自己同型からなる群を で表す。上記の説明は、環（またはrng）が非可換かつ自己反対である場合、 ⁠ ⁠ となることを意味する。もし環が可換または非自己反対である場合、⁠ ⁠となる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \vert G\vert =2\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert }$ ${\displaystyle \vert G\vert =\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert }$

例

最小の非可換環（単位元を持つ）

そのような環のうち最小のものは 8 個の元を持ち、同型を除いて位数 8 の単位元を持つ 11 個の環の中で唯一の非可換環である。 ^[5]これは加法群⁠ ⁠を持つ。^{[3] : 76}は、常にそうであるように⁠ ⁠と反同型であるが、 ⁠ ⁠とも同型である。以下は⁠ ⁠ , ^[d]における加算と乗算の表と、転置された表である反対の環における乗算である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{3}}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

追加 + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 0 6 7 5 4 2 3 2 2 6 0 4 3 7 1 5 3 3 7 4 0 2 6 5 1 4 4 5 3 2 0 1 7 6 5 5 4 7 6 1 0 3 2 6 6 2 1 5 7 3 0 4 7 7 3 5 1 6 2 4 0

乗算 ${\displaystyle \cdot }$ 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 1 3 7 5 6 4 3 0 3 5 3 6 5 6 0 4 0 4 4 0 4 0 0 4 5 0 5 3 3 0 5 6 6 6 0 6 6 0 6 0 0 6 7 0 7 7 0 7 0 0 7

逆の乗算 ${\displaystyle \diamond }$ 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 1 5 4 3 6 7 3 0 3 3 3 0 3 0 0 4 0 4 7 6 4 0 6 7 5 0 5 5 5 0 5 0 0 6 0 6 6 6 0 6 0 0 7 0 7 4 0 4 6 6 7

2つの環が同型であることを証明するために、表によって与えられた 写像を取る。${\displaystyle f:R^{\text{op}}\to R}$

と間の同型性${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$

${\displaystyle x}$	0	1	2	3	4	5	6	7
${\displaystyle f(x)}$	0	1	2	4	3	7	6	5

この写像は、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠の2組の要素のみを入れ替えます。それに応じて、（引数と値）の乗算表の要素の名前を変更します。次に、行と列を並べ替えて、引数を昇順に戻します。表は⁠ ⁠の乗算表とまったく同じになります。加法群の表を同様に変更しても同じ表が得られるため、 はこの群の自己同型であり、 であるため、これは確かに環同型です。 ${\displaystyle 3\leftrightarrow 4}$ ${\displaystyle 5\leftrightarrow 7}$ ${\displaystyle \diamond }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=1}$

この写像は逆写像、すなわち⁠ ⁠${\displaystyle f\circ f={\text{id}}}$ なので=であり、 からへの同型写像でもあります。 ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$

したがって、順列は同型性を定義するように再解釈することができ、その後、同じ順列⁠ ⁠によって与えられる⁠ の反自己同型になります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:(R,\cdot )\rightarrow (R,\diamond )}$ ${\displaystyle q=\iota \circ f}$ ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle q=(3,4)(5,7)}$

環にはちょうど2つの自己同型、すなわち恒等自乗とが存在します。したがって、その完全な群は4つの元を持ち、そのうち2つは反自己同型です。1つは で、2つ目は で表され、次のように計算できます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{R}}$ ${\displaystyle p=(3,5)(4,7)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (R)=\{\operatorname {id} _{R},p\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=q\circ p=(3,4)(5,7)(3,5)(4,7)=(3,7)(4,5)}$

${\displaystyle G=\{\operatorname {id} _{R},p,q,r\}=\{\operatorname {id} _{R},(3,5)(4,7),(3,4)(5,7),(3,7)(4,5)\}}$

位数4の元が存在しないため、この群は巡回群ではなく、計算によって確認できる群（クライン群）であるはずである。この環の「対称群」は、長方形の対称群と同型である。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {K} _{4}}$

27個の元を持つ非可換環

3元体上の上三角2×2行列の環は27個の元を持ち、非可換環である。同型性を除いて一意である。つまり、単位元を持ち27個の元を持つすべての非可換環は、この環と同型である。^{[5] [6]} 『指輪物語』に挙げられている最大の非可換環は27個の元を持ち、これも同型である。この節では、『指輪物語』に記されている の元の表記法を用いる。2つの点に留意する必要がある。 によって表される元はの単位元であり、 は の単位元ではない。^{[4] : 369}の加法群は⁠ ⁠ である。^{[4] : 330}${\displaystyle {\text{F}}_{3}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 18}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{3}^{3}}$

すべての自己同型群には6 つの要素があります。 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (S)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=\operatorname {id} _{S}\\h_{2}&=(1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\h_{3}&=(1,25,13)(2,14,26)(4,19,16)(5,17,20)(7,22,10)(8,11,23)=h_{2}^{-1}=h_{2}^{2}\\h_{4}&=(4,16)(5,17)(7,22)(8,23)(13,25)(14,26)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{5}&=(1,13)(2,26)(4,19)(8,11)(10,22)(17,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{6}&=(1,25)(2,14)(5,20)(7,10)(11,23)(16,19)(3,15)(6,21)(12,24).\end{aligned}}}$

は自己反対なので、6つの反自己同型も存在します。同型の一つは⁠ ⁠で、これは最初の例と同様に「The Book」の演算表を用いて、名前を変更して並べ替えることで検証できます。今回は、 の元の演算表に変更を加えます。結果は の乗算表となり、加算表は変更されません。したがって、反自己同型の一つは ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:(S,\cdot )\to (S,\diamond )}$ ${\displaystyle f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}$ ${\displaystyle S=(S,\cdot )}$ ${\displaystyle S^{\operatorname {op} }=(S,\diamond )}$

${\displaystyle q_{1}=\iota \circ f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)}$

同じ順列で与えられます。他の5つは計算可能です（乗法表記では合成記号は省略できます）。 ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=q_{1}h_{2}=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&\quad \cdot (1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\&=[(1,14,13,2,25,26)(1,13,25)(2,26,14)][(4,20,16,17,19,5)(4,16,19)(5,20,17)]\\&\quad \cdot [(7,8,10,23,22,11)(7,10,22)(8,23,11)](3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(13,26)(14,25)(4,17)(5,16)(19,20)(7,23)(8,22)(10,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(4,17)(5,16)(7,23)(8,22)(10,11)(13,26)(14,25)(19,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\q_{3}&=q_{1}h_{3}=(1,26,25,2,13,14)(4,5,19,17,16,20)(7,11,22,23,10,8)(3,15)(6,21)(12,24)=q_{1}^{-1}\\q_{4}&=q_{1}h_{4}=(1,14)(2,25)(4,17)(5,19)(7,11)(8,22)(10,23)(13,26)(16,20)\\q_{5}&=q_{1}h_{5}=(1,2)(4,5)(7,8)(10,11)(13,14)(16,17)(19,20)(22,23)(25,26)\\q_{6}&=q_{1}h_{6}=(1,26)(2,13)(4,20)(5,16)(7,23)(8,10)(11,22)(14,25)(17,19)\end{aligned}}}$

${\displaystyle G=\{h_{1},h_{2},h_{3},h_{4},h_{5},h_{6},q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},q_{5},q_{6}\}.}$

この群は位数2の元を7つ（自己同型が3つ、反自己同型が4つ）持ち、二面体群^[e]として識別できる（小群一覧を参照）。幾何学的な類推として、この環は3次元反プリズムの対称群^[f]と同型の「対称群」を持つ。これはシェーンフライス記法、あるいは3次元空間におけるヘルマン・モーガン記法の 点群である。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{6}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathrm {3d} }}$ ${\displaystyle {\overline {3}}m}$

最小の非自己対位環と単位環

9から15の位数を持つ単位環はすべて可換であり^[5]、したがって自己対反である。自己対反でない環は、位数16の環で初めて現れる。16の元（37 [8] が可換、13 ^[5]が非可換）を持つ単位環の総数50 ^{[7]のうち、4つの異なる非自己対反環が存在する[6]}。これらは互いに反対の環同士で2組のペアを形成することができ、必ず同じ加法群を持つ。なぜなら、環の反同型は加法群の同型だからである。

環のペア^{[3] : 330}と⁠ ⁠は加法群^{[3] : 262 を}持ち、もう一方のペア^{[3] : 535}と⁠ ⁠ , ^{[3] : 541}は群⁠ ⁠ . ^{[3] : 433 を}持ちます。これらの演算表は引用元に記載されているため、この記事では示していません。また、 は反対ですが同型ではないことが確認できます。と⁠ ⁠のペアについても同様ですが、 『指輪物語』に記載されている環^{[3] : 335 は}⁠ ⁠と等しくなく、同型であるだけです。 ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}=R_{1}^{\text{op}}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$ ${\displaystyle R_{4}=R_{3}^{\text{op}}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{4}}$ ${\displaystyle R_{3}^{\text{op}}=R_{4}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{2}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

残りの13 − 4 = 9個の非可換環は自己反意語である。

2つのジェネレータを使った自由代数

生成元を持つ体上の自由代数 は、語の乗算から乗算を持つ。例えば、 ${\displaystyle k\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)\cdot (xyxy+1)=&{\text{ }}2x^{2}yx^{2}yxy+2x^{2}yx\\&+3yxyxyxy+3yxy.\end{aligned}}}$

すると、逆代数の乗算は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)*(xyxy+1)&=(xyxy+1)\cdot (2x^{2}yx+3yxy)\\&=2xyxyx^{2}yx+3xyxy^{2}xy+2x^{2}yx+3yxy,\end{aligned}}}$

等しい要素ではありません。

四元数代数

体上の四元数代数^[9]は、次の関係を持つ 3つの生成元によって定義される除算代数である。${\displaystyle H(a,b)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a,b\in F^{\times }}$ ${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle i^{2}=a,\ j^{2}=b,\ k=ij=-ji}$

すべての要素は次の形式をとる ${\displaystyle x\in H(a,b)}$

${\displaystyle x=x_{0}+x_{i}i+x_{j}j+x_{k}k}$ 、 どこ${\displaystyle x_{0},x_{i},x_{j},x_{k}\in F}$

たとえば、 の場合、は通常の四元数代数です。 ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle H(-1,-1)}$

の掛け算を と表記すると、掛け算表は次のようになる。 ${\displaystyle H(a,b)}$ ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle aj}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle -bi}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle -aj}$	${\displaystyle bi}$	${\displaystyle -ab}$

すると、掛け算で表される逆代数は表のようになる。 ${\displaystyle H(a,b)^{\text{op}}}$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle *}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -aj}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle bi}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle aj}$	${\displaystyle -bi}$	${\displaystyle -ab}$

可換環

可換環は、すべての ⁠ ⁠ に対して、⁠ ⁠においてとなるので、その反対環と同型である。それらは⁠ ⁠も等しい。なぜなら、それらの演算は等しい、すなわち⁠ ⁠であるからである。 ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ${\displaystyle (R,*)=R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x*y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (R,*)=(R,\cdot )}$ ${\displaystyle *=\cdot }$

プロパティ

• 2 つの環R ₁とR _2が同型となるのは、対応する反対の環が同型である場合に限ります。
• 環Rの反対の反対はRと同一、つまり ( R ^op ) ^op = Rです。
• 環とその反対の環は反同型である。
• 環が可換であるためには、その演算がその反対の演算と一致する必要がある。^[2]
• 環の左イデアルはその反対の環の右イデアルである。 ^[10]
• 分割環の反対の環は分割環である。^[11]
• 環上の左加群は、その反対の環上の右加群であり、その逆もまた同様である。^[12]

注記

1. 『指輪物語』に登場する自己反対の環は「自己対峙」と名付けられており、これは別の名前だが、意味は明らかである。
2. ιは集合R上の恒等写像であるが、射としては恒等ではない。なぜなら、( R , ⋅)と( R , ⋄)は（ Rが非可換ならば）2つの異なるオブジェクトであり、恒等写像はオブジェクトからそれ自身への射のみとなり得るからである。したがって、R が( R , ⋄)の略記として理解されるとき、ι をid _Rと表記することはできない。 ( R , ⋅) が可換ならば、( R , ⋄ ) = ( R , ⋅)かつι = id _{( R ,⋅)} = id _{( R ,⋄)} = id _Rとなる。
3. この同値性（および次の等式）では、環は非常に一般的なもの、つまり単位の有無、非可換または可換、有限または無限である可能性があります。
4. 演算表はソースのものと異なります。以下の変更が加えられています。加法と乗法の表において、単位元4は1に、1は4に改名され、行と列は整理され、単位元1が0の隣に配置されるようにすることで、より分かりやすくなっています。したがって、2つの環は同型です。
5. 記号 D _nは、 2 n個の要素を持つ二面体群Dih _nの略語であり、幾何学的慣例が使用されています。
6. ここでの「3-反プリズム」という名称は、一様でない、すなわち側面が正三角形でない直3角形反プリズムを指します。もし側面が正三角形であれば、反プリズムはD _3dよりも大きな対称群を持つ正八面体となります。

引用

1. ベリックとキーティング (2000)、p. 19
2. ブルバキ 1989年、101ページを参照。
3. ノーバウアー、クリストフ（2000年10月23日）「指輪物語」
4. Nöbauer, Christof (2000年10月26日). 「指輪物語 パートII」. 2007年8月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。
5. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A127708 (1 を持つ非可換環の数)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation.
6. Nöbauer, Christof (2002年4月5日). 「素数冪位群上の環の数」. 2006年10月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。
7. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A037291 (環の数1)」.整数数列オンライン百科事典. OEIS財団.
8. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A127707 (1 を持つ可換環の数)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation.
9. ミルン『類体理論』120ページ。
10. ブルバキ 1989年、103ページ。
11. ブルバキ 1989年、114ページ。
12. ブルバキ 1989年、192ページ。

参考文献

• Berrick, AJ; Keating, ME (2000). 「環と加群入門：K理論を視野に入れて」ケンブリッジ大学数学研究第65巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-63274-4。
• ブルバキ、ニコラス (1989)。代数 I。ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC  18588156.

参照

• 反対グループ
• 反対のカテゴリー