軌道ポートレート

数学において、軌道ポートレートは、 1 次元の複素二次写像の挙動を理解するために複雑な力学で使用される組み合わせツールです。

簡単に言えば、次のようになります。

• 光線がその軌道上の点に着地する外角のリスト
• 上記のリストを示すグラフ

意味

二次写像が与えられると

${\displaystyle f_{c}:z\mapsto z^{2}+c.}$

複素平面からそれ自身へ

${\displaystyle f_{c}:\mathbb {\mathbb {C} } \to \mathbb {\mathbb {C} } }$

およびの反発または放物線状の周期軌道 があり、（下付き文字は 1 + を法として）となるように、は対応する外部光線が に到達する角度の集合とします。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{z_{1},\ldots z_{n}\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(z_{j})=z_{j+1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$

そして、その集合は周期軌道の軌道図と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

すべてのセットには同じ数の要素が含まれている必要があり、これは肖像画の 価数と呼ばれます。${\displaystyle A_{j}}$

例

周期3の軌道に着陸する外部光線を持つジュリア集合

周期2の放物線軌道を持つジュリア集合。対応する軌道図は、特性弧I = (22/63, 25/63) と、軌道点あたりの価数v = 3の光線を持つ。

放物線軌道または反発軌道のポートレート

価数2

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)\right\rbrace }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {3}{7}},{\frac {4}{7}}\right),\left({\frac {6}{7}},{\frac {1}{7}}\right),\left({\frac {5}{7}},{\frac {2}{7}}\right)\right\rbrace }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {4}{9}},{\frac {5}{9}}\right),\left({\frac {8}{9}},{\frac {1}{9}}\right),\left({\frac {7}{9}},{\frac {2}{9}}\right)\right\rbrace }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {11}{31}},{\frac {12}{31}}\right),\left({\frac {22}{31}},{\frac {24}{31}}\right),\left({\frac {13}{31}},{\frac {17}{31}}\right),\left({\frac {26}{31}},{\frac {3}{31}}\right),\left({\frac {21}{31}},{\frac {6}{31}}\right)\right\rbrace }$

価数3

原子価は 3 なので、光線は各軌道点に着地します。

周期3の3本の外部光線：固定点に着地する${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\frac {1}{7}},{\mathcal {R}}_{\frac {2}{7}},{\mathcal {R}}_{\frac {4}{7}}\,}$ ${\displaystyle z=\alpha _{c}\,}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}},{\frac {4}{7}}\right)\right\rbrace }$

c= -0.03111+0.79111*iの複素二次多項式の場合、放物線周期3の軌道の図は次のようになる： ^[1]

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {74}{511}},{\frac {81}{511}},{\frac {137}{511}}\right),\left({\frac {148}{511}},{\frac {162}{511}},{\frac {274}{511}}\right),\left({\frac {296}{511}},{\frac {324}{511}},{\frac {37}{511}}\right)\right\rbrace }$

上記の角度の光線は、その軌道上の点に到達します。パラメータcは、マンデルブロ集合の周期9の双曲成分の中心です。

放物線状ジュリア集合の場合、c = -1.125 + 0.21650635094611*i となる。これはマンデルブロ集合の周期2成分と周期6成分の間の根点である。価電子が3である周期2軌道の軌道図は以下の通りである：^[2]

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {22}{63}},{\frac {25}{63}},{\frac {37}{63}}\right),\left({\frac {11}{63}},{\frac {44}{63}},{\frac {50}{63}}\right)\right\rbrace }$

価数4

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{15}},{\frac {2}{15}},{\frac {4}{15}},{\frac {8}{15}}\right)\right\rbrace }$

正式な軌道肖像画

すべての軌道ポートレートには次のプロパティがあります。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

• それぞれは有限のサブセットである${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }}$
• 円上の倍写像はからへの一対一写像を与え、角度の巡回順序を保存します。[ ^3]${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle A_{j+1}}$
• すべての集合におけるすべての角度は、円の倍写像の下で周期的であり、すべての角度の周期は正確に同じです。この周期は の倍数でなければならないため、周期は の形になります。ここでは回帰光線周期と呼ばれます。${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle rn}$ ${\displaystyle r}$
• セットはペアごとにリンクされていません。つまり、セットの任意のペアが指定されると、2 つの互いに素な区間が存在し、各区間にセットの 1 つが含まれます。${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }}$

上記の4つの性質を満たす円の部分集合の集合は、形式的軌道ポートレートと呼ばれます。ジョン・ミルナーの定理によれば、あらゆる形式的軌道ポートレートは、ある二次複素1次元写像の周期軌道の実際の軌道ポートレートによって実現されます。軌道ポートレートは、外接光線とその着地点が平面上でどのように写像されるかに関する動的な情報を含んでいますが、形式的軌道ポートレートは単なる組み合わせ論的なオブジェクトです。ミルナーの定理は、実際には両者の間に区別がないことを述べています。 ${\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{n}\}}$

些細な軌道のポートレート

すべての集合が単一の要素しか持たないような軌道ポートレートは、軌道ポートレート を除いて、自明であると呼ばれます。別の定義では、軌道ポートレートが最大であれば非自明であり、この場合、それはそれを厳密に含む軌道ポートレートが存在しない（すなわち、 となるような軌道ポートレートが存在しない）ことを意味します。この写像 のすべての外部光線が着地し、それらはすべてジュリア集合の異なる点に着地するので、すべての自明な形式的軌道ポートレートは写像 の何らかの軌道 の軌道ポートレートとして実現されることは容易にわかります。自明な軌道ポートレートはいくつかの点で病的であるため、以下では非自明な軌道ポートレートについてのみ言及します。 ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle {0}}$ ${\displaystyle \{A_{1}^{\prime },\ldots ,A_{n}^{\prime }\}}$ ${\displaystyle A_{j}\subsetneq A_{j}^{\prime }}$ ${\displaystyle f_{0}(z)=z^{2}}$

アークス

軌道図において、各 は円 の有限部分集合であるため、各 は円を、点 を基準とする相補弧と呼ばれる複数の互いに交わらない区間に分割します。各区間の長さは、その角度幅と呼ばれます。各 は、その点を基準とする唯一の最大の弧を持ち、これは臨界弧と呼ばれます。臨界弧の長さは常に よりも大きくなります。${\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{n}\}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

これらの弧は、 を基底とするすべての弧（臨界弧を除く）が を基底とする弧に微分同相写像し、臨界弧は を基底とするすべての弧を一度に覆うという性質を持ちます。ただし、1つの弧だけは2回覆うため、臨界弧は を基底とするすべての弧を一度に覆うことになります。臨界弧が2回覆う弧は、 の臨界値弧と呼ばれます。これは必ずしも臨界弧とは区別されません。 ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j+1}}$ ${\displaystyle z_{j+1}}$ ${\displaystyle z_{j+1}}$

の反復処理によって が無限大に脱出する場合、またはがジュリア集合に含まれる場合、 は明確に定義された外角を持ちます。この角を と呼びます。 はすべての臨界値弧に含まれます。また、の倍加写像（と）による2つの逆像は、どちらもすべての臨界弧に含まれます。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \theta _{c}}$ ${\displaystyle \theta _{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\frac {\theta _{c}}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\theta _{c}+1}{2}}}$

の全ての臨界値弧の中で、最小の臨界値弧が一つだけ存在し、これは特性弧と呼ばれ、他の全ての臨界値弧に厳密に含まれます。特性弧は軌道図の完全不変量であり、2つの軌道図が同じ特性弧を持つ 場合にのみ同一であるという意味です。${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\mathcal {P}}}$

セクター

軌道に入射する光線が円を分割するのと同様に、複素平面も分割されます。軌道上の各点において、に入射する外部光線は、平面をを基準とするセクターと呼ばれる開集合に分割します。セクターは、同じ点を基準とする補完的な弧として自然に識別されます。セクターの角度幅は、対応する補完的な弧の長さとして定義されます。対応する弧がそれぞれ臨界弧および臨界値弧である場合、セクターは臨界セクターまたは 臨界値セクターと呼ばれます。 ^[4]${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z_{j}}$

セクターには、 があらゆる点の臨界セクター内にあり、の臨界値である が臨界値セクター内にある という興味深い特性もあります。${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$

パラメータウェイク

角度 とを持つ2つのパラメータ光線が、パラメータ空間内のマンデルブロ集合の同じ点に着地する場合と、その間隔 をその特性円弧とする軌道図が存在する場合とで同じである。任意の軌道図について、をパラメータ空間における2つの外角の共通着地点とし、 の特性円弧に対応するものとする。これらの2つのパラメータ光線は、共通着地点とともに、パラメータ空間を2つの開成分に分割する。 点を含まない成分を-航跡と呼び、 と表記する。2次多項式は、のときまさに反発軌道で軌道図を実現する。 は、 約 の 単一の値に対してのみ放物軌道で実現される。${\displaystyle t_{-}}$ ${\displaystyle t_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle [t_{-},t_{+}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle c\in {\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle c=r_{\mathcal {P}}}$

原始的および衛星軌道のポートレート

ゼロ軌道ポートレートの他に、原始軌道ポートレートと衛星軌道ポートレートの2種類の軌道ポートレートがあります。 を軌道ポートレートの価数、を回帰光線周期とすると、これら2つのタイプは次のように特徴付けられます。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$

• 原始軌道ポートレートはと を持ちます。ポートレート内のすべての光線は によって自身に写像されます。それぞれは角度のペアであり、それぞれが倍加写像の異なる軌道上にあります。この場合、はパラメータ空間におけるベビーマンデルブロ集合の基点です。${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle v=2}$ ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$
• 衛星軌道図には があります。この場合、すべての角度は倍加写像の下で単一の軌道を構成します。さらに、 はパラメータ空間における放物線分岐の基点です。${\displaystyle r=v\geq 2}$ ${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$

一般化

軌道肖像は、他の写像族の力学とパラメータ空間との関係を研究する上でも有用な組み合わせ論的対象であることが判明している。特に、それらは、単臨界反正則多項式の周期サイクルに着地するすべての周期力学光線のパターンを研究するために用いられてきた。^[5]

参照

• ラミネーション

参考文献

1. Flek, Ross; Keen, Linda (2010). 「二次写像の有界ファトゥ成分の境界」(PDF) . Journal of Difference Equations and Applications . 16 ( 5–6 ): 555– 572. doi :10.1080/10236190903205080. S2CID  54997658.
2. ミルナー、ジョン・W. (1999). 「周期軌道、外部光線、そしてマンデルブロ集合：解説」. arXiv : math/9905169 .
3. エフゲニー・デミドフによるカオス1Dマップ
4. エフゲニー・デミドフによる周期軌道と外部光線
5. Mukherjee, Sabyasachi (2015). 「ユニクリティカル反正則多項式の軌道ポートレート」.共形幾何学とダイナミクス. 19 (3​​): 35– 50. arXiv : 1404.7193 . doi : 10.1090/S1088-4173-2015-00276-3 .