| 正n角形二面体の集合 | |
|---|---|
 球面上の六角形二面体の例 | |
| タイプ | 正多面体または球面タイリング |
| 顔 | 2つのn角形 |
| エッジ | n |
| 頂点 | n |
| 頂点構成 | n . n |
| ウィトフ記号 | 2 | n 2 |
| シュレーフリ記号 | { n ,2} |
| コクセター図 |     |
| 対称群 | D n h , [2, n ], (*22 n )、次数 4 n |
| 回転グループ | D n , [2, n ] + , (22 n )、次数 2 n |
| 二重多面体 | 正n角形細面体 |
二面体（にへどろ、複数形：dihedra ）は、多面体の一種で、n個の辺を共有する2つの多角形の面から構成される。3次元ユークリッド空間では、面が平坦であれば退化しているが、3次元球面空間では、平坦な面を持つ二面体はレンズと考えることができる。レンズ空間L( p , q )の基本領域はその一例である。[ 1 ]二面体は、ビヘドラ[ 2 ] 、[平坦多面体[ 3 ]、 [二重被覆多角形]とも呼ばれる。[ 3 ]
球面タイリングとして、二面体は非退化な形で存在し、球面を覆う2つのn辺を持ち、各面は半球面であり、頂点は大円上に存在します。頂点が等間隔に配置されている場合、二面体 は正則です。
n角形二面体の双対はn角形細面体であり、n個の二角形の面が 2 つの頂点を共有します。
平面多面体として
二面体は、2つの（平面の）n辺形多角形底面が「背中合わせ」に接合された縮退したプリズムと考えることができます。そのため、結果として得られるオブジェクトには奥行きがありません。多角形は合同である必要がありますが、一方が他方の鏡像となるように接合されます。これは、2つの面間の距離が0の場合にのみ適用されます。距離が0より大きい場合、面は無限多角形となります（これは、アピロゴナル・ホソヘドロンの二角形面が幅0より大きいため無限の縞模様になるのと似ています）。
二面体は、アレクサンドロフの一意性定理から生じる。この定理は、正の角度偏差の合計が4πとなる有限個の点を除き、任意の凸多面体の表面上の距離が局所ユークリッド距離であると特徴付ける。この特徴付けは二面体の表面上の距離にも当てはまるため、アレクサンドロフの定理の記述は二面体を凸多面体として扱うことを必要とする。[ 4 ]
いくつかの二面体は、他の多面体ファミリーの下限メンバーとして発生することがあります。二角形を底面とする柱は正方形二面体になり、二角形を底面とする角錐は三角形二面体になります。
正二面体（シュレーフリ記号{ n ,2}）は、2つの正多角形（それぞれシュレーフリ記号{ n }）から構成される。[ 5 ]
球体のタイルとして
球面二面体は、大円赤道上で同じn頂点セットを共有する 2 つの球面多角形で構成されます。球面二面体の各多角形は半球を埋めます。
正球面二面体は、大円赤道上に等間隔に配置された、同じn頂点セットを共有する 2 つの正球面多角形で構成されます。
正多面体{2,2}は自己双対であり、直面体と二面体の両方である。
| 空間 | 球状 | ユークリッド | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| タイル名 | 一角二面体 | 対角二面体 | 三角二面体 | 正方形二面体 | 五角形二面体 | ... | 非楕円二面体 |
| タイル画像 |  |  |  |  |  | ... |  |
| シュレーフリ記号 | {1,2} | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | ... | {∞,2} |
| コクセター図 |  | |  |  |  | ... |  |
| 顔 | 2 {1} | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | ... | 2 {∞} |
| エッジと頂点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | ∞ |
| 頂点構成。 | 1.1 | 2.2 | 3.3 | 4.4 | 5.5 | ... | ∞.∞ |
非楕円二面体
nが無限大に近づくと、n角形二面体は2 次元のモザイクとして非角形二面体になります。
二トープ
正ダイトープは、シュレーフリ記号{ p ,..., q , r ,2}で表されるn次元の二面体である。正ダイトープは2つの面{ p ,..., q , r }を持ち、それらはすべての稜線{ p ,..., q }を共有する。[ 6 ]
参照
参考文献
- ^ Gausmann, Evelise; Roland Lehoucq; Jean-Pierre Luminet; Jean-Philippe Uzan; Jeffrey Weeks (2001). 「球面空間におけるトポロジカルレンズ効果」.古典重力と量子重力. 18 (23): 5155– 5186. arXiv : gr-qc/0106033 . Bibcode : 2001CQGra..18.5155G . doi : 10.1088/0264-9381/18/23/311 . S2CID 34259877 .
- ^ Kántor, S. (2003), "On the volume of unbounded polyhedra in the hyperbolic space" (PDF) , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 145– 154, MR 1990989 , archived from the original (PDF) on 2017-02-15 , retrieved 2017-02-14 。
- ^ a b O'Rourke, Joseph (2010),プラトン立体の平坦なジッパー展開対, arXiv : 1010.2450 , Bibcode : 2010arXiv1010.2450O
- ^ O'Rourke, Joseph (2010),アレクサンドロフの定理から導かれる平坦多面体について, arXiv : 1007.2016 , Bibcode : 2010arXiv1007.2016O
- ^ Coxeter, HSM (1973年1月)、『Regular Polytopes (第3版)』、Dover Publications Inc.、p. 12、ISBN 0-486-61480-8
- ^マクマレン、ピーター；シュルテ、エゴン（2002年12月）、Abstract Regular Polytopes（第1版）、ケンブリッジ大学出版局、p. 158、ISBN 0-521-81496-0
外部リンク
- ワイスタイン、エリック W. 「二面体」。MathWorld 。
