細面体

正n角形細面体の集合
球面上の正六角形細面体の例
タイプ	正多面体または球面タイリング
面	n 二角形
辺	n
頂点	2
オイラー特性	2
頂点配置	2 ^n
ウィトフ記号	n | 2 2
シュレーフリ記号	{2, n }
コクセター図
対称群	D n h [2,n] (*22n) 位数4 n
回転群	D n [2,n] ^+ (22n) 位数2 n
双角多面体	正n角形二面体

このビーチボールは、端の 2 つの白いキャップを取り除き、三角面を延長して極で交わらせると、 6 つの球面三角面を持つ細面体になります。

球面幾何学では、n角形 細面体は球面上の三角面のモザイク状配置であり、各三角面は同じ 2 つの極反対の頂点を共有します。

正 n角形細面体はシュレーフリ記号 {2, n }を持ち、各球面三角面の内角 は⁠2π nラジアン（360 n度）。 ^{[1] [2]}

正多面体としての細面体

シュレーフリ記号が{ m ,  n }である正多面体の場合、多角形の面の数は次のように表されます。

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}.}$

古代に知られたプラトン立体は、 m ≥ 3 およびn ≥ 3の唯一の整数解です。m ≥ 3という制約は、多角形の面には少なくとも 3 つの辺が必要であることを強制します。

多面体を球面タイリングとして考えると、二角形は面積がゼロでない球面三角形として表すことができるため、この制限は緩和される可能性があります。

m = 2 とすると、

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2\times 2+2n-2n}}=n,}$

そして、正多面体の無限クラスである細面体（hosohedra）を新たに定義する。球面上では、多面体{2,  n }はn個の隣接する三角錐として表され、その内角は⁠2π n⁠ . これらの球面三角錐はすべて、2 つの共通の頂点を共有しています。

正三角細面体 {2,3}。球面上の 3 つの球面三角面のモザイクとして表現されます。

正四角形細面体 {2,4}。球面上の 4 つの球面三角面のモザイクとして表現されます。

正細面体族 · * n正細面体タイルの22の対称性変異: nn

空間	球状						ユークリッド
タイリング 名	六角形 細面体	対角細面 体	三方晶系 細面体	正方細面 体	五角形 細面体	…	非楕円 直面体
タイル 画像						…
シュレーフリ 記号	{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	...	{2,∞}
コクセター 図						…
面と 辺	1	2	3	4	5	...	∞
頂点	2	2	2	2	2	...	2
頂点 構成	2	2.2	2 ^3	2 ^4	2 ^5	...	2 ^∞

万華鏡のような対称性

β-不等辺三角形の対角球面、は、三次元における二面体対称性の基本領域、すなわち周期対称性、、、順序を表します。鏡映領域は、鏡像として交互に色付けされた三面体で表すことができます ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \{2,2n\}}$ ${\displaystyle C_{nv}}$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle (*nn)}$ ${\displaystyle 2n}$

各三角錐を 2 つの球面三角形に二等分すると、二面対称性、順序を表す- 角形両錐が作成されます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D_{nh}}$ ${\displaystyle 4n}$

特定の小さな細面体の万華鏡のような対称性の異なる表現

対称性（順序） ${\displaystyle 2n}$	シェーンフライ記法	${\displaystyle C_{nv}}$	${\displaystyle C_{1v}}$	${\displaystyle C_{2v}}$	${\displaystyle C_{3v}}$	${\displaystyle C_{4v}}$	${\displaystyle C_{5v}}$	${\displaystyle C_{6v}}$
	オービフォールド記法	${\displaystyle (*nn)}$	${\displaystyle (*11)}$	${\displaystyle (*22)}$	${\displaystyle (*33)}$	${\displaystyle (*44)}$	${\displaystyle (*55)}$	${\displaystyle (*66)}$
	コクセター図
		${\displaystyle [n]}$	${\displaystyle [\,\,]}$	${\displaystyle [2]}$	${\displaystyle [3]}$	${\displaystyle [4]}$	${\displaystyle [5]}$	${\displaystyle [6]}$
${\displaystyle 2n}$ 正多角形細面体	シュレーフリ記号	${\displaystyle \{2,2n\}}$	${\displaystyle \{2,2\}}$	${\displaystyle \{2,4\}}$	${\displaystyle \{2,6\}}$	${\displaystyle \{2,8\}}$	${\displaystyle \{2,10\}}$	${\displaystyle \{2,12\}}$
	交互に色分けされた基本領域

シュタインメッツ立体との関係

正方晶ホソヘドロンは、2つの円筒が直角に交差するシュタインメッツ立体である双円筒立体と位相的に等価である。 ^[3]

派生多面体

n角形直面体{2,  n }の双対はn角形二面体{n, 2}です。多面体{ 2 , 2 }は自己双対であり、直面体と二面体の両方です

直角面体も他の多面体と同様に変形することで、切頂多面体を作ることができます。切頂n角形直角面体はn角柱です。

非楕円形細面体

極限において、細面体は2次元のモザイク状として 非正六角形細面体になります

ホソトープス

多次元類似体は一般にホソトープと呼ばれます。シュレーフリ記号{2, p ,..., q }を持つ正則ホソトープは2つの頂点を持ち、それぞれに頂点像{ p ,..., q }が与えられます。

2次元ホソトープ{2}は二角形である。

語源

「ホソヘドロン」という用語は、ギリシャ語のὅσος（ hosos ）「いくつでも」に由来するようです。これは、ホソヘドロンは「望むだけ多くの面」を持つことができるという考えに基づいています。^[4] 18世紀にヴィト・カラヴェッリによって導入されました。^[5]

参照

• 多面体
• 多面体

参考文献

1. コクセター著『正多面体』 12ページ
2. 要約 正多面体、p. 161
3. Weisstein, Eric W.「シュタインメッツ立体」. MathWorld .
4. スティーブン・シュワルツマン（1994年1月1日）『数学の言葉：英語で使われる数学用語の語源辞典』 MAA、pp. 108–109、ISBN 978-0-88385-511-9。
5. Coxeter, HSM (1974). Regular Complex Polytopes . ロンドン: Cambridge University Press. p. 20. ISBN 0-521-20125-X 細面体{2,p}（わずかに歪んだ形）は、ヴィトー・カラヴェッリ（1724–1800）によって命名されました…

• マクマレン、ピーター；シュルテ、エゴン（2002年12月）、Abstract Regular Polytopes（第1版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-81496-0
• コクセター、HSM、『正多面体』（第3版）、ドーバー出版、ISBN 0-486-61480-8

外部リンク

• ワイススタイン、エリック・W.「ホソヘドロン」。MathWorld