秩序理論の用語集

これは、順序、格子、領域理論といった分野に関連する数学の様々な分野で用いられる用語集です。順序に関するトピックについては、構造化されたリストも用意されています。その他の参考資料として、以下の概要記事もご参照ください。

• 半順序の完全性
• 分配法則、順序理論

以下では、半順序は通常、そのキャリア集合によってのみ表される。文脈から意図された意味が明らかである限り、事前の説明がなくても、対応する関係記号を で表すだけで十分である。さらに、< は、によって誘導される厳密な順序を表す。${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

あ

• 非巡回的。二項関係が「循環」を含まない場合、その関係は非巡回的である。つまり、その推移閉包は反対称的である。 ^[1]
• 随伴。「 ガロア結合 」を参照してください。
• アレクサンドロフ位相。順序付き集合Pに対して、任意の上集合Oはアレクサンドロフ開である。逆に、開集合の任意の交差が開集合である場合、位相はアレクサンドロフである。
• 代数的 poset。poset がコンパクト要素の基底を持つ場合、poset は代数的である。
• アンチチェーン。アンチチェーンとは、2つの要素が比較できない、つまりx ≤ yとなるような異なる2つの要素xとyが存在しない、という順序関係である。言い換えれば、アンチチェーンの順序関係は恒等関係と同じである。
• 関係 を近似します。関係 の直下を参照してください。
• 反対称関係。集合X上の同次関係 Rが反対称であるとは、Xのすべての要素 x 、 y に対して、x R yかつy R x がx = yを意味する場合である。
• 反調関数。半順序集合PとQの間の反調関数fとは、Pのすべての元x、yに対して、x ≤ y （ P内）ならばf ( y ) ≤ f ( x )（Q内）が成り立つような関数のことである。この性質は順序反転とも呼ばれる。解析学において、全順序が存在する場合、このような関数は単調減少関数と呼ばれることが多いが、これは全順序でない関数を扱う場合にはあまり適切な記述ではない。この双対概念は単調関数または順序保存関数と呼ばれる。
• 非対称関係。集合X上の同次関係 Rが非対称であるとは、 X内のすべての要素x、 yに対して、 x R yがy R x でないことを意味する。
• 原子。最小要素が 0 である poset P内の原子は、0 と等しくないすべての要素の中で最小の要素です。
• 原子。最小元が 0 である原子順序集合Pとは、 Pのゼロでないすべての元xに対して、 a ≤ xを満たすPの原子aが存在する集合です。

B

• 基数。連続半順序集合を参照。
• 二項関係。2つの集合間の二項関係は、それらの直積の部分集合である。${\displaystyle X{\text{ and }}Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
• ブール代数。ブール代数は、最小元が0で最大元が1である分配格子であり、すべての元xには補元 ¬ xがあり、 x ∧ ¬ x = 0 かつx ∨ ¬ x = 1 となる。
• 有界半順序集合。有界半順序集合とは、最小元と最大元を持つ半順序集合のことである。
• 有界完備。半集合が有界完備であるとは、その部分集合の任意の上界が、そのような最小の上界も持つことを意味する。双対概念は一般的ではない。

C

• 連鎖。連鎖とは、全順序集合、または半順序集合の全順序部分集合である。全順序も参照。
• 連鎖完全。すべての連鎖に最小の上限がある半順序集合。
• 閉包演算子。ポセットP上の閉包演算子は、単調かつべき等であり、 P内のすべてのxに対してC ( x ) ≥xを満たす関数C  : P → Pです。
• コンパクト。半順序集合の元xがコンパクトであるとは、それがそれ自身よりずっと下、つまりx << xであるときである。また、そのようなxは有限である。
• 比較可能。 poset Pの2 つの要素xとy は、 x ≤ yまたはy ≤ xのいずれかの場合に比較可能です。
• 比較可能性グラフ。poset ( P ,≤)頂点集合Pを持つグラフであり、その辺は≤(特にその反射的簡約<)の下で比較可能なPの異なる要素のペアである
• 完全ブール代数。完全格子であるブール代数。
• 完全ハイティング代数。完全格子であるハイティング代数は完全ハイティング代数と呼ばれる。この概念はフレームとロケールの概念と一致する。
• 完全格子。完全格子とは、任意の（おそらく無限）接合（上限）と接合（下限）が存在する半集合である。
• 完全半順序。完全半順序（ cpo）は、最小の要素を持つ有向完全半順序（qv）です
• 完全な関係。接続された関係の同義語。
• 完全半格子。完全半格子の概念は様々な方法で定義されます。完全性（順序論）の記事で説明したように、すべての上限またはすべての下限が存在する任意の半集合は、すでに完全格子です。したがって、完全半格子の概念は、完全格子の概念と一致するように使用されることがあります。また、完全（meet-）半格子は、有界完全 cposとして定義されます。これは、すでに完全格子ではない半集合の中で最も完全なクラスであると言えるでしょう。
• 完全に分配的な格子。任意の結合が任意の集合に分配される場合、完全格子は完全に分配的である。
• 完備化。ポセットの完備化とは、ポセットを完全な格子に順序付けて埋め込むことです。
• カットによる完成。デデキント・マクニール完成と同義。
• 連結関係。集合X上の全関係または完全な関係Rは、 Xのすべての要素x、 yに対して、 x R yまたはy R xの少なくとも 1 つがという性質を持ちます。
• 連続な半集合。半集合が連続であるとは、基底、つまりPの部分集合Bを持ち、 Pのすべての要素xが{ y in B | y << x }に含まれる有向集合の上限となるような。
• 連続関数。スコット連続を参照。
• 逆。順序 < の逆 <° とは、y < x のときは常に x <° y となる順序です。
• 被覆。ポセットPの元yがPの元xを覆う（ xの被覆と呼ばれる）とは、x < yであり、かつx < z < yとなるPの元zが存在しないことを意味する。
• cpo。完全半順序を参照してください。

D

• dcpo。有向完全半順序を参照してください。
• デデキント・マクニール完備化。半順序集合のデデキント・マクニール完備化は、それを含む最小の完全格子である。
• 稠密順序。稠密半集合Pとは、 Pの任意の元xとy（ x < y ）に対して、 Pに元zが存在し、 x < z < yとなるような集合である。 Pの部分集合QがPに稠密であるとは、 Pの任意の元x < yに対して、 Qに元zが存在し、 x < z < yとなるようなで。
• 並び替え。集合の要素が入れ替わった状態。どの要素も元の位置には現れません。
• 有向集合。半集合Pの空でない部分集合Xが有向であるとは、 Xのすべての元xとyに対して、 x ≤ zかつy ≤ zを満たすXの元zが存在する場合を言う。この双対概念はフィルター集合と呼ばれる。
• 有向完全半順序。Dのすべての有向部分集合が上限を持つとき、そのposetDは有向完全 poset またはdcpoであるといわれる
• 分配的。格子Lが分配的であるとは、 L内のすべてのx、 y、 zに対して、 x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z )が成り立つ場合をいう。この条件は、その位数双対と同値であることが知られている。meet-半格子が分配的であるとは、すべての元a、 b、 xに対して、 a ∧ b ≤ xが、 a' ∧ b' = xとなる元a' ≥ aとb' ≥ bが存在することを意味する。完全に分配的であるとも参照。
• ドメイン。ドメインとは、ドメイン理論で研究されるようなオブジェクトを指す一般的な用語です。使用する場合は、さらに定義する必要があります。
• ダウンセット。下セットを参照してください。
• 双対。半集合 ( P , ≤ ) に対して、双対順序P ^d = ( P , ≥ ) は、 x ≥ yが y ≤ xのときのみ 成立する、という定義によって定義される。P の双対順序はP ^opと表記されることもあり、逆順序あるいは逆順序とも呼ばれる。任意の順序論的概念は、元の命題を与えられた集合の順序双対に適用することによって定義される双対概念を導く。これは、≤ と ≥ を交換し、零点と単位点とを交わらせ、結合する。

E

• 拡張。集合X上の半順序 ≤ と ≤′ に対して、 Xのすべての要素xとyに対して、x ≤ yであればx ≤′ yである限り、 ≤ ′ は ≤ の拡張である。

F

• フィルタ。半集合Pの部分集合Xがフィルタ上集合である場合、それはフィルタと呼ばれます。双対概念はイデアルと呼ばれます。
• フィルタ付き。半集合Pの空でない部分集合Xがフィルタ付きであるとは、Xのすべての元xとyに対して、 z ≤ xかつz ≤ yを満たすXの元zが存在する場合である。この双対概念は有向である。
• 有限要素。コンパクトを参照してください。
• フレーム。フレームFは完全な格子であり、 FののxとFの任意の部分集合Yに対して、無限分配法則x ∧ Y ={ x ∧ y | y in Y } が成り立つ。フレームは局所的代数や完全なハイティング代数とも呼ばれる。${\displaystyle \bigvee }$ ${\displaystyle \bigvee }$

G

• ガロア接続。2つの半集合PとQが与えられたとき、単調関数のペアF : P → QとG : Q → Pは、すべてのxがPに、 yがQにそれぞれ属する場合、 F ( x ) ≤yがx≤G ( y )と等しいとき、ガロア接続と呼ばれる。FはGの下随伴関数と呼ばれ、 GはFの上随伴関数と呼ばれる。
• 最大元。半集合Pの部分集合Xについて、 Xの元aは、 Xの任意の元 x に対してx ≤ aが成り立つとき、 Xの最大元と呼ばれる。この双対概念は最小元と呼ばれる。
• 基底集合。poset ( X , ≤)の基底集合は、半順序≤が定義されている集合Xです。

H

• ヘイティング代数。ヘイティング代数Hは有界格子であり、関数f _a : H → H（ f _a ( x ) = a ∧ x ）はHの元aに対してガロア接続の下随伴関数となる。 f _aの上随伴関数はg _a （ g _a ( x ) = a ⇒; x ）で表される。すべてのブール代数はヘイティング代数である。
• ハッセ図。ハッセ図は、有限な半順序集合を推移的縮小の図の形で表現するために使用される数学的な図の一種です。
• 同次関係。集合上の同次関係は の部分集合です。言い換えれば、それはに対する二項関係です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle X}$

私

• イデアル。イデアルとは、有向下集合である半集合Pの部分集合Xである。この双対概念はフィルタと呼ばれる。
• 接続代数。posetの接続代数は、加算とスカラー乗算が点ごとに定義され、乗算が特定の畳み込みとして定義された、区間上のすべてのスカラー値関数の結合代数です。詳細については、接続代数を参照してください。
• 最小値。半集合PとPの部分集合Xについて、 Xの下限の集合における最大の元（存在する場合、存在しない場合もある）は、 Xの最小値、最小値、または最大下限と呼ばれる。これは inf XまたはXと表記される。2つの元の最小値は、 inf{ x , y } またはx ∧ yと表記される。集合X が有限である場合、有限最小値という。この双対概念は最大値と呼ばれる。${\displaystyle \bigwedge }$
• 区間。半順序集合Pの2つの要素a、 bについて、区間[ a、 b ] はPの部分集合 { P内のx | a ≤ x ≤ b }。a ≤ b が成立しない場合、区間は空になる。
• 区間有限順序集合。半順序集合Pが区間有限であるとは、{P内のx | x ≤ a}という形式の区間がすべて有限集合である場合を言う。^[2]
• 逆。converseを参照してください。
• 非反射的。集合X上の関係 Rは、 Xにx R xとなる要素xが存在しない場合には非反射的である。
• 等音。モノトーンを参照してください。

J

• 参加する。最高裁判所を参照。

L

• 格子。格子は、空でない有限の結合（上限）と接合（下限）がすべて存在する半集合です。
• 最小元。半集合Pの部分集合Xにおいて、 Xの元aは、 Xの任意の元 x に対してa ≤ xが成り立つとき、 Xの最小元と呼ばれる。この双対概念は最大元と呼ばれる。
• チェーンの長さは、要素数から1を引いた数です。要素が1つのチェーンの長さは0、要素が2つのチェーンの長さは1、というように続きます。
• 線形。全順序を参照してください。
• 線形拡張。半順序の線形拡張は、線形順序、または全順序である拡張です。
• 局所。局所は完全なヘイティング代数である。局所はフレームとも呼ばれ、ストーン双対性や無点位相幾何学に現れる。
• 局所有限な順序集合。半順序集合Pが局所有限であるとは、すべての区間[ a , b ]={ P内のx | a≤x≤b }が有限集合であるをいう
• 下限値.半集合Pの部分集合Xの下限値は、 Pの元bであって、 Xの任意のxに対してb ≤ xを満たすものである。この双対概念は上限値と呼ばれる。
• 下集合。半集合Pの部分集合Xが下集合と呼ばれるのは、 Xのすべての元xとPのすべての元pに対して、 p ≤ x が成り立つとき、 pがXに含まれることを意味する。この双対概念は上集合と呼ばれる。

M

• 最大連鎖。順序集合において、要素を追加しても全順序性を失うことのない連鎖。これは飽和連鎖よりも強い。なぜなら、連鎖の全要素より小さい要素、あるいは全要素より大きい要素の存在も排除するからである。有限飽和連鎖が最大となるのは、その連鎖が順序集合の最小要素と最大要素の両方を含む場合のみである。
• 最大元。半集合Pの部分集合Xの最大元とは、 Xの元mであり、 Xの任意のxに対してm ≤ xならばm = xとなるようなものである。この双対概念は最小元と呼ばれる。
• 最大元。最大元と同義。半集合Pの部分集合Xにおいて、 Xの元aは、 Xの任意の元xに対してx ≤ a が成り立つとき、 Xの最大元と呼ばれる。最大元は必ず最大元となるが、その逆は必ずしも成り立たない。
• 会う。下限を参照。
• 最小元。半集合Pの部分集合Xの最小元とは、 Xの元mであり、 Xの任意のxに対してx ≤ mならばm = xとなるようなものである。この双対概念は最大元と呼ばれる。
• 最小元。最小元と同義。半集合Pの部分集合Xにおいて、 Xの元aは、 Xの任意の元xに対してx ≥ a が成り立つとき、 Xの最小元と呼ばれる。最小元は必ず最小元となるが、逆は必ずしも成り立たない。
• 単調。半集合PとQの間の関数fが単調であるとは、 Pのすべての元x、 yについて、 x ≤ y ( Pの場合)ならばf ( x ) ≤ f ( y ) ( Qの場合) が成り立つことを意味する。この性質は、等調関数や順序保存関数とも呼ばれる。解析学において、全順序が存在する場合、このような関数は単調増加関数と呼ばれることが多いが、これは全順序でない関数を扱う場合にはあまり適切な記述ではない。この双対概念は、反調関数または順序反転関数と呼ばれる。

お

• 順序双対。半順序集合の順序双対は、半順序関係をその逆関係に置き換えた集合である。
• 順序埋め込み。ポセットPとQの間の関数fは、 Pのすべての要素x、 yに対して、 x ≤ y（ Pの場合）がf ( x ) ≤ f ( y )（ Qの場合）と等しいとき、順序埋め込みと呼ばれます。
• 順序同型。二つの半順序集合PとQの間の写像f : P → Qは、それが全単調で、かつ fとf ⁻¹が両方とも単調関数である同様に、順序同型は全射順序埋め込みである。
• 順序保存。モノトーンを参照してください。
• 順序が逆転する。逆調を参照。

P

• 半順序。半順序とは、反射的、反対称的、推移的な二項関係です。用語の誤用として、この用語は、そのような関係ではなく、それに対応する半順序集合を指すために使用されることもあります。
• 半順序集合。半順序集合、または略してposetは、半順序を持つ集合${\displaystyle (P,\leq ),}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle P.}$
• 半順序集合。
• 先行順序。先行順序とは、反射的かつ推移的な二項関係です。このような順序は、準順序または非厳密先行順序とも呼ばれます。また、 「先行順序」という用語は、非巡回二項関係（非巡回有向グラフとも呼ばれます）を表す場合にも使用されます
• 予約セット。予約セット予約注文とセットものです。${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle P.}$
• 保存。半集合PとQの間の関数fが、 Pの全ての部分集合Xのうち、Pに上限 sup Xを持つものに対して、 sup{ f ( x ): x in X } が存在し、f (sup X ) と等しいとき、その関数はsup を保存するとも呼ばれる。同様に、f は有限、空でない、有向、または任意の結合（または会合）を保存するとも呼ばれる。逆の性質はjoin-reflectingと呼ばれる。
• 素イデアル。格子Lのイデアル Iが素であるとは、 Lのすべての元xとyに対して、 Iのx ∧ yがIのxまたはyであることを意味する。この双対概念は素フィルタと呼ばれる。同様に、集合が素フィルタとなるのは、その補集合が素イデアルである場合のみである。
• 主。フィルターが最小元を持つ場合、そのフィルターは主フィルターと呼ばれます。双対的に、主イデアルは最大元を持つイデアルです。このような状況では、最小元または最大元も主元と呼ばれることがあります。
• 射影（演算子） 。関数合成に関して単調かつ冪等である半順序集合上の自己写像。射影は領域理論において重要な役割を果たします。
• 擬補元。ハイティング代数において、元x ⇒; 0はxの擬補元と呼ばれる。これは sup{ y  : y ∧ x = 0} によっても与えられ、すなわちy ∧ x = 0となるすべての元yの最小の上界として与えられる。

質問

• 準順序。事前順序を参照してください。
• 準推移的。関係が準推移的であるとは、異なる要素間の関係が推移的であることを意味する。推移的であることは準推移的であることを意味し、準推移的であることは非循環的であることを意味する。 ^[1]

R

• 反射。半集合PとQの間の関数fが、 Pのすべての部分集合Xに対して、上限 sup{ f ( x ): x in X } が存在し、かつP内の何らかのsに対してf ( s )の形をとるとき、 sup Xが存在し、かつ sup X = sが成り立つとき、その関数 f は上限（結合）を反射すると言われる。同様に、 f は有限、空でない、有向、または任意の結合（または会合）を反射すると言われる。逆の性質は結合保存性と呼ばれる。
• 反射的。集合X上の二項関係 Rが反射的であるとは、 X内のすべての要素xに対してx R xが成り立つ場合をいいます。
• 残差。残差マッピングに付加されたデュアル マップ。
• 残差写像。主ダウンセットの逆像が再び主となる単調写像。ガロア接続の1つの成分と同義。

S

• 飽和連鎖。ポセットにおける連鎖で、その2つの要素の間に要素を追加しても、全順序性を失うことがない連鎖。連鎖が有限である場合、連続する要素のどのペアにおいても、大きい方の要素が小さい方の要素を覆うことを意味する。最大連鎖も参照。
• 散在的。全順序は、密に順序付けられた部分集合がない場合には散在的である。
• スコット連続。半集合PとQ間の単調関数f  : P → Qがスコット連続であるとは、 Pに上限 sup Dを持つ任意の有向集合Dに対して、集合 { fx | x in D } がQに上限f (sup D )、それぞれの半集合上のスコット位相に関して連続であることと同値である
• スコット領域。スコット領域は、有界な完全な 代数的 cpoである半順序集合です。
• スコット開環。スコット位相幾何学を参照。
• スコット位相。半集合Pに対して、部分集合Oがスコット開集合であるとは、それが上集合であり、かつOに上限を持つすべての有向集合DがOと空でない交差を持つ場合である。すべてのスコット開集合の成す集合は位相、すなわちスコット位相を形成する。
• 半格子。半格子とは、有限で空でないすべての結合（suprema）または有限で空でないすべての会合（infima）が存在する半集合である。したがって、これは結合半格子または会合半格子と呼ばれる。
• 最小の要素。「最小要素」を参照してください。
• 半順序集合のスペルナー性質
• スペルナーポセット
• 厳密にスペルナーのポーズト
• 強くスペルナーポセット
• 厳密な順序。厳密な半順序を参照してください。
• 厳密な半順序。厳密な半順序は、推移的、非反射的、反対称的な同次二項関係である。
• 厳密な前順序。厳密な半順序を参照してください。
• 上限。半集合PとPの部分集合Xについて、 Xの上限の集合における最小の元（存在する場合、存在しない場合もある）は、 Xの上限、結合、または最小上限と呼ばれる。これは sup XまたはXと表記される。2つの元の上限は、 sup{ x , y } またはx ∨ yと表記される。集合X が有限である場合、有限上限と呼ばれる。この双対概念は下限と呼ばれる。${\displaystyle \bigvee }$
• 鈴村一貫性。二項関係Rは、x R ^∗ yがx R yであるかy R xでないかを意味するとき、鈴村一貫性がある。^[1]
• 対称関係。集合X上の同次関係 Rが対称であるとは、 X内のすべての要素x、 yに対して、 x R yならばy R xが成り立つことをいう。

T

• 上面。ユニットを参照してください。
• 全順序。全順序Tは、 T内の各xとyに対して、 x ≤ yまたはy ≤ xを満たす半順序です。全順序は線型順序または連鎖とも呼ばれます。
• 全体関係。連結関係の同義語。
• 推移的関係。集合X上の関係 Rが推移的であるとは、 X内のすべての要素x、 y、 zに対して、 x R yかつy R zが成り立つ場合をいう。
• 推移閉包。関係Rの推移閉包R ^{∗ は}、有限連鎖x R a , a R b , ..., z R yが存在するすべてのペアx、 yから構成される。 ^[1]

あなた

• 単位元。半集合Pの最大元は、単位元、あるいは（存在する場合は）単に1と呼ばれる。この元は、一般にはトップとも呼ばれる。これは空集合の最小値であり、 Pの最大値である。双対概念はゼロと呼ばれる。
• アップセット。アッパーセットを参照。
• 上限.半集合Pの部分集合Xの上限とは、 Pの元bであって、 Xの任意のxに対してx ≤ bを満たすものである。この双対概念は下限と呼ばれる。
• 上集合。半集合Pの部分集合Xは、 Xのすべての元xとPのすべての元pに対して、 x ≤ pが成り立つとき、 pがXに含まれることを意味すると呼ばれる。双対概念は下集合と呼ばれる。

V

• 評価。格子 が与えられたとき、評価は厳密（つまり）、単調、モジュラー（つまり）、正である。連続評価は測度の一般化である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu :X\to [0,1]}$ ${\displaystyle \nu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \nu (U)+\nu (V)=\nu (U\cup V)+\nu (U\cap V)}$

W

• はるか下の関係。半集合Pにおいて、ある元xがyよりはるか下 （ x << yと表記）にあるとは、 Pの有向部分集合Dのうち上限を持つものに対して、 y ≤ sup Dならば、 Dのあるdに対してx ≤ d が成り立つことを意味する。また、 x はy を近似するともいわれる。領域理論も参照のこと。
• 弱い順序。集合X上の半順序≤は、半順序集合(X,≤)が濃度の比較によって順序付けられた集合の可算な集合と同型である場合に、弱い順序となる。

Z

• 零点。半集合Pの最小元は零点、あるいは（もし存在するならば）単に0と呼ぶことができる。この元はよく使われる別の用語で底とも呼ばれる。零点は空集合の上限であり、Pの下限である。この双対概念は単位元と呼ばれる。

注記

1. ボッサート、ウォルター、鈴村幸太郎 (2010).一貫性、選択、合理性ハーバード大学出版局. ISBN 978-0674052994。
2. 鄧 2008、22ページ

参考文献

ここで示す定義は、次の標準的な参考書に記載されている定義と一致しています。

• BA Davey および HA Priestley、「格子と秩序入門」、第 2 版、Cambridge University Press、2002 年。
• G. Gierz、KH Hofmann、K. Keimel、JD Lawson、M. Mislove、DS Scott、「連続格子と領域」、Encyclopedia of Mathematics and its Applications、第93巻、Cambridge University Press、2003年。

具体的な定義:

• 鄧邦明（2008年）「有限次元代数と量子群」、数学概説とモノグラフ、第150巻、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4186-0