鉱石の状態

数学、特に環論として知られる代数学の分野において、オーレ条件は、オイステイン・オーレによって導入された条件であり、可換環を越えて分数体の構成、より一般的には環の局所化を拡張する問題に関連している。環Rの乗法部分集合Sの右オーレ条件は、 a ∈ Rおよびs ∈ Sに対して、交差aS ∩ sR ≠ ∅ となることである。非零元の集合が右オーレ条件を満たす（非可換）領域は、右オーレ領域と呼ばれる。左の場合も同様に定義される。[ 1 ]

一般的な考え方

目標は、乗法部分集合 S に関する分数の右環 R [ S −1 ] を構築することです。言い換えれば、 −1の形の元を扱い、集合 R [ S −1 ] 上に環構造を持ちたいのです。問題は、積( as −1 )( bt −1 )の明白な解釈がないことです。実際、 s −1 をbを越えて「移動」する方法が必要です。これは、 s −1 b を積 b 1 s 1 −1として書き直すことができる必要があることを意味します。[ 2 ] s −1 b = b 1 s 1 −1 と仮定し、左側にsを、右側にs 1を掛けると、 bs 1 = sb 1となります。したがって、与えられたaとsに対して、 s 1 ≠ 0かつ1 = sa 1となるようなa 1とs 1が存在する必要性がわかります。

応用

各整域は（埋め込みを介して）分数体の部分環であり、すべての元がrs −1の形をとり、かつsが非零となるような形をとることはよく知られているので、同じ構成で非可換域を取り、同じ性質を持つ分数環（非可換体）を関連付けることができるかどうかという疑問は当然生じる。答えは「いいえ」となる場合があることが判明している。つまり、類似の「分数体の右分数環」を持たない領域が存在するということである。

任意の右鉱石領域Rに対し、 R を部分環として含む（自然なR同型を除いて）唯一の分割環Dが存在し、 Dのすべての元はRのrとRのsが非零であるときrs −1の形をとる。このような分割環DはRの右分数環と呼ばれ、RはDの右位数と呼ばれる。左分数環と左位数の概念も同様に定義され、Dの元はs −1 rの形をとる。

RがDにおいて右順序であるという定義には、D がrs −1の形式の元だけで構成されなければならないという条件が含まれることを覚えておくことが重要です。Ore 条件の 1 つを満たす任意の領域は、分割環の部分環と見なすことができますが、これは自動的にRがDにおいて左順序であることを意味するわけではありません。なぜなら、D がs −1 rの形式ではない元を持つ可能性があるからです。したがって、 R が右非左 Ore 領域である可能性があります。直感的には、 Dのすべての元がrs −1の形式であるという条件は、 RがDの「大きな」R部分加群であることを意味します。実際、この条件はR RがD Rの本質的部分加群であることを保証します。最後に、分割環内の領域がどちらのOre 条件も満たさない例さえあります (以下の例を参照)。

もう一つの自然な疑問は、「分割環の部分環が右 Ore となるのはいつですか？」です。一つの特徴付けは、分割環Dの部分環Rが右 Ore 領域となるのは、 D が平坦左R加群である場合のみであるということです( Lam 2007、例 10.20)。

Rがドメインでない場合、Oreの条件の異なる、より強力なバージョンが通常与えられます。つまり、Rの公倍数が存在するということです。

c = au = bv

u 、v は零因子ではない。この場合、オーレの定理は、（右または左）古典商環と呼ばれる過剰環の存在を保証する。

例

可換領域は自動的に鉱石領域となる。なぜなら、 aとb が非零であるとき、aR ∩ bRにおいてab は非零だからである。右主イデアル領域のような右ネーター領域も、右鉱石領域であることが知られている。さらに一般的に、アルフレッド・ゴールディは、領域Rが右鉱石領域となるための必要十分条件として、R Rが有限一様次元 を持つことを証明した。右ベズー領域も右鉱石領域であることは真である。

右でも左でもない分割環の部分域 オーレ：F が任意の体であり、2つの記号xとy上の自由モノイドである場合、モノイド環はオーレ条件を全く満たさないが、自由イデアル環であり、したがって分割環の部分環となる（Cohn 1995 、Cor 4.5.9）。Cohn は「体」という言葉を歪体という意味で用いていることに注意されたい。 G＝⟨×、y⟩{\displaystyle G=\langle x,y\rangle \,}F[G]{\displaystyle F[G]\,}

乗法集合

オーレ条件は他の乗法部分集合にも一般化でき、教科書的な形式では( Lam 1999 , §10)および( Lam 2007 , §10)に示されている。環Rの部分集合Sは、 R内の任意のa、b、およびS内の任意のs、tに対して以下の3つの条件を満たすとき、右分母集合と呼ばれる。

  1. Sのst ; (集合Sは乗法的に閉じている。)
  2. aS ∩ sRは空ではありません。（集合Sは右置換可能です。）
  3. sa = 0の場合、 Sにはau = 0となるuが存在します(集合Sは右反転可能です)。

Sが右分母集合ならば、可換な場合と同様に右分数環RS −1を構成できる。Sを正則元（ Rのbが非零ならばabとbaが非零となるようなRの元a ）の集合とすれば、右 Ore 条件は単にS が右分母集合である という条件となる。

このより一般的な設定では、可換局所化の多くの性質が成り立つ。Sが環Rの右分母集合ならば、左R加群RS −1は平坦である。さらに、Mが右R加群ならば、S捩れtor S ( M ) = { m in M  : ms = 0 for some s in S }はTor 1 ( M , RS −1 )と同型なR部分加群となり、加群M ⊗ R RS −1は可換の場合と同様に「分数」からなる 加群MS −1と自然に同型となる。

注記

  1. ^ Cohn, PM (1991). 「第9章 第1節」.代数学第3巻（第2版）. p. 351.
  2. ^ Artin, Michael (1999). 「非可換環」(PDF) . p. 13. 2012年5月9日閲覧。

参考文献

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