オルンスタイン同型定理

数学において、オルンスタイン同型定理はエルゴード理論における深い帰結です。2つのベルヌーイスキームが同じコルモゴロフエントロピーを持つ場合、それらは同型であると述べています。[1] [2]ドナルド・オルンスタインによって1970年に与えられたこの結果は、以前は無関係であると考えられていた多くのシステムが実際には同型であることを述べているため重要です。これには、マルコフ連鎖と有限型のサブシフト、アノソフフローとシナイのビリヤード、n-トーラスのエルゴード自己同型、連分数変換を含むすべての有限定常確率過程が含まれます

議論

この定理は、実際は関連する定理の集合です。第 1 の定理は、2 つの異なるベルヌーイ シフトが同じコルモゴロフ エントロピー を持つ場合、それらは力学システムとして同型である、と述べています。第 3 の定理は、この結果をフローに拡張します。つまり、 がベルヌーイ シフトであるようなフローが存在する、ということです。第 4 の定理は、与えられた固定エントロピーに対して、このフローは時間の定数再スケーリングまで一意である、と述べています。第 5 の定理は、無限エントロピーを持つ単一の一意のフロー (時間の定数再スケーリングまで) が存在する、と述べています。「時間の定数再スケーリングまで」という表現は、単に、およびが同じエントロピーを持つ 2 つのベルヌーイ フローである場合、ある定数cに対して、である、という意味です。この開発には、ベルヌーイシフトの因子がベルヌーイシフトと同型であるという証明も含まれており、与えられた測度保存力学系がベルヌーイシフトと同型であるための基準も与えられました。 T t {\displaystyle T_{t}} T 1 {\displaystyle T_{1}} T t {\displaystyle T_{t}} S t {\displaystyle S_{t}} S t ＝ T c t {\displaystyle S_{t}=T_{ct}}

これらの結果から、ベルヌーイシフトの根本問題に対する解決策が得られます。つまり、たとえばシフトTが与えられた場合、それに同型の 別のシフトが存在します。 T {\displaystyle {\sqrt {T}}}

歴史

同型性の問題はフォン・ノイマンにまで遡ります。彼は、2つのベルヌーイ方式BS(1/2, 1/2)とBS(1/3, 1/3, 1/3)が同型かどうかを尋ねました。1959年、ヤコブ・シナイとコルモゴロフは否定的な回答をし、2つの異なる方式が同じエントロピーを持たない場合、同型にはなり得ないことを示しました。具体的には、ベルヌーイ方式BS( p 1 , p 2 ,..., p n )のエントロピーは[3] [4]で与えられることを示しました

H ＝ − ∑ i ＝ 1 N p i 対数 ⁡ p i 。 {\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.}

ドナルド・オーンスタインが1970年に証明したオーンスタイン同型定理は、同じエントロピーを持つ2つのベルヌーイスキームは同型であると述べています。この結果は[5] 、非常に類似した非スキーム系はこの性質を持たないという点で鋭いものです。具体的には、同じエントロピーを持ちながら同型ではないコルモゴロフ系が存在します。オーンスタインはこの研究により ボッシェ賞を受賞しました。

記号ベルヌーイスキームの同型定理の簡略化された証明は、1979年にマイケル・S・キーンとM・スモロディンスキーによって与えられた。[6] [7]

参考文献

  1. ^ オルンスタイン、ドナルド(1970). 「同じエントロピーを持つベルヌーイシフトは同型である」. Advances in Mathematics . 4 (3): 337– 352. doi :10.1016/0001-8708(70)90029-0
  2. ^ ドナルド・オーンスタイン、「エルゴード理論、ランダムネス、動的システム」（1974年）イェール大学出版局、 ISBN 0-300-01745-6
  3. ^ Ya.G. Sinai, (1959)「力学系のエントロピーの概念について」、ロシア科学アカデミー紀要 124、768～771頁
  4. ^ Ya. G. Sinai, (2007)「動的システムの計量エントロピー」
  5. ^ クリストファー・ホフマン、「AK反例マシン」、アメリカ数学会誌 351（1999年）、4263-4280頁
  6. ^ M. KeaneとM. Smorodinsky、「マルコフシフトの有限同型定理」、Bull. Amer. Math. Soc. 1 (1979)、pp. 436–438
  7. ^ M. KeaneとM. Smorodinsky、「同じエントロピーのベルヌーイスキームは有限同型である」Annals of Mathematics (2) 109 (1979)、pp 397–406。

さらに詳しい参考文献

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