軌道要素
特定の軌道を定義するパラメータ

軌道要素とは、特定の軌道を一意に識別するために必要なパラメータです。天体力学では、これらの要素はケプラー軌道を用いた二体系において考慮されます。同じ軌道を数学的に記述する方法は数多くありますが、天文学と軌道力学では特定の手法が一般的に用いられています。

実際の軌道とその要素は、他の天体による重力の摂動や一般相対性理論の影響により、時間の経過とともに変化します。ケプラー軌道は、特定の時点における軌道の理想的な数学的近似値です。

慣性系から見ると、2 つの軌道を周回する物体はそれぞれ異なる軌道を描きます。これらの軌道はそれぞれ、共通の質量中心に焦点があります。物体のうちの 1 つを中心とした非慣性系から見ると、反対側の物体の軌道だけが見えます。ケプラーの要素はこれらの非慣性軌道を記述します。軌道には、どの物体を基準点として使用するかによって 2 セットのケプラーの要素があります。基準となる物体 (通常は最も質量が大きい物体) は主と呼ばれ、もう 1 つの物体は副と呼ばれます。主 の物体は必ずしも副 の物体よりも質量が大きいわけではなく、物体の質量が等しい場合でも、軌道要素は主 の選択によって決まります。

軌道要素は、軌道状態ベクトル（位置と速度ベクトル、時間と加速度の大きさ）から手動変換によって、または軌道決定と呼ばれるプロセスを通じてコン​​ピュータソフトウェアによって取得できます。[1]

非閉軌道も存在しますが、これらは周期的ではないため、通常は軌道ではなく軌跡と呼ばれます。閉軌道を記述するために使用される要素は、通常、開軌道を表すためにも使用できます。

必須パラメータ

ケプラー軌道を一義的に定義するには、6つの軌道要素が必要です。これは、問題に6つの自由度が含まれているためです。これらは、軌道状態ベクトルで定義される6つのパラメータに対応します。つまり、位置を定義する3つの空間次元（直交座標系におけるx、y、z）と、各次元における速度です。軌道を周回する物体の軌道は軌道状態ベクトルによって完全に定義されますが、これは軌道を表現する方法として不便でわかりにくい場合が多いため、代わりに軌道要素が一般的に使用されます。

しかし、このような6つの要素のセットは、軌道を周回する物体の開始位置と軌道の形状のみを記述します。軌道要素のセットを用いてケプラーの問題を解こうとする場合、さらに2つのパラメータを含める必要があります。つまり、任意の未来の時刻における軌道を周回する物体の位置と速度を求めるには、8つの軌道要素の拡張セットが必要になります。

軌道要素を用いて軌道を記述する場合、通常、軌道の大きさと形状を記述するために2つの要素、軌道の回転を記述するために3つの要素、そして軌道上の開始位置を記述するために1つの要素が必要です。これらの要素は、運動速度を記述する要素と、位置を時間の関数として解く必要がある場合は開始位置が発生する時刻を記述する要素を追加して拡張できます。

種類別にみた一般的な軌道要素

サイズと形状を記述するパラメータ

離心率0.5の軌道の図
離心率0.5の軌道図。使用されている変数名は、遠点と近点（それぞれAp.とPe.と表記）を除き、説明されている名称と一致しています。円形の点は楕円の中心、黒い菱形は主焦点です。

軌道の大きさと形状を記述するには、2つのパラメータが必要です。一般的に、これらの値のうち任意の2つは、他の任意の値を計算するのに使用できます（後述）。そのため、どちらを使用するかは、好みと具体的な使用事例に応じて決定されます。

  • 離心率（e）—楕円の形状。真円からどれだけ離れているかを表します。離心率が0の場合は真円、1未満の場合は楕円、1より大きい場合は双曲線、1の場合は放物線となります。[2]
  • 長半径（a ）—遠点と近点（楕円の長軸）の間の距離の半分。この値は、楕円軌道の場合は正、放物線軌道の場合は無限大、双曲線軌道の場合は負の値となり、異なる種類の軌道を扱う際に使い勝手が悪くなる可能性があります。[3]
  • 短軸（b）—楕円の短軸の半分。この値には長軸と同じ制限があります。
  • 半パラメータ（p）—主焦点における軌道の幅（真の近点角がπ /2 、つまり90°の場合）。この値は軌道方程式で用いるのに有用であり、軌道方程式は、 pと真の近点角を与えれば、あらゆる軌道や軌道において中心天体からの距離を返すことができる。この値は一般に半緯度直角（semi-latus rectum）とも呼ばれ、記号ℓで表される。さらに、この値は長軸や短軸とは異なり、常に定義され、正の値となる。[3]
  • 遠点（r a）—軌道上で中心天体から最も遠い点（真の近点角π 、つまり180°）。放物線軌道や双曲軌道では中心天体から永遠に遠ざかり続けるため、この値は定義されない（または無限大となる）。この値はQという記号で表すこともある。[2]
  • 近点（r p）—軌道上で中心天体から最も近い点（真近点角が0の点）。遠点とは異なり、この値はすべての軌道タイプで定義されます。この値は記号qで表されます。[2]

完全に円軌道の場合、軌道上のすべての点が中心天体から同じ距離にあるため、明確な遠点と近点は存在しません。また、 「遠点」と「近点」の接辞は、中心天体によって変わることがよくあります（例えば、地球の軌道では「遠地点」と「近地点」、太陽の軌道では「遠日点」と「近日点」）。

軌道のサイズと形状を記述するために、線形離心率、平坦化、焦点パラメータなどの他のパラメータも使用できますが、これらの使用は制限されています。

要素間の関係

このセクションでは、これらの軌道要素間の共通の関係について説明しますが、これらの方程式を1つ以上操作することで、より多くの関係を導くことができます。ここで使用されている変数名は、前述のものと一致しています。

離心率は、半短軸と半長軸を使って次のように求めることができる。 e ＝ { 1 − b 2 1つの 2 いつ   1つの > 0 、 1 + b 2 1つの 2 いつ   1つの < 0。 {\displaystyle e={\begin{cases}{\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}&{\text{when}}\ a>0,\\{\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}&{\text{when}}\ a<0.\end{cases}}}

離心率は、遠点と近点を使って次の関係で求めることもできます。[2] e ＝ r 1つの − r p r 1つの + r p 。 {\displaystyle e={\frac {r_{\text{a}}-r_{\text{p}}}{r_{\text{a}}+r_{\text{p}}}}.}}

長半径は、遠点と円錐の中心を結ぶ線と、中心から近点を結ぶ線の両方を合わせると円錐の長さ、つまり長半径になるという事実を利用して求めることができます。これを2で割ると長半径が得られます。[3] 1つの ＝ r p + r 1つの 2 。 {\displaystyle a={\frac {r_{\text{p}}+r_{\text{a}}}{2}}.}}

半短軸は、半長軸と離心率を使用して次の関係から求めることができます。 負の数の 平方根 を取らないようにするには、2 つの式が必要です。 b ＝ { 1つの 1 − e 2 いつ   e < 1 、 1つの e 2 − 1 いつ   e > 1. {\displaystyle b={\begin{cases}a{\sqrt {1-e^{2}}}&{\text{when}}\ e<1,\\a{\sqrt {e^{2}-1}}&{\text{when}}\ e>1.\end{cases}}}

半パラメータは、半長軸と離心率を使って求めることができる。 [3] p = a ( 1 − e 2 ) . {\displaystyle p=a(1-e^{2}).}

遠点（ の場合）は、半径と離心率を用いた次の式で求めることができます。[4] e < 1 {\displaystyle e<1} r a = a ( 1 + e ) . {\displaystyle r_{\text{a}}=a(1+e).}

近点は、長半径と離心率を使って次の式で求めることができます。[4] r p = a ( 1 − e ) . {\displaystyle r_{\text{p}}=a(1-e).}

要素アニメーション

  • 軌道のアニメーション
  • 半パラメータ（p）が一定で、離心率が変化するアニメーション。eが1を超えると、長半径と短半径が無限大に近づき、その後負の値になることに注意してください。
    半パラメータ（p ）が一定で、離心率が変化するアニメーション。eが1を超えると、長半径と短半径が無限大に近づき、その後負の値になることに注意してください。
  • 一定の近点 (rp) と変化する離心率を伴うアニメーション。
    近点 ( r p )が一定で離心率が変化するアニメーション。
  • 軌道長半径(a)は一定で、離心率は変化します。eが1より大きい場合、軌道長半径は負になります。'"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"' における不連続性に注意してください。
    軌道長半径（a）は一定で、離心率は変化します。eが1より大きい場合、軌道長半径は負の値になります。 における不連続性に注意してください。 e = 1 {\displaystyle e=1}
  • 短半径は一定で、離心率が変化するアニメーション。eが1より大きい場合、短半径は負の値になります。
    短半径は一定で、離心率が変化するアニメーション。eが1より大きい場合、短半径は負の値になります。

回転を記述する要素

この図では、軌道面（黄色）が基準面（灰色）と交差しています。地球を周回する衛星の場合、基準面は通常地球の赤道面であり、太陽を周回する衛星の場合は黄道面です。この交点は、基準天体（主天体）と昇交点および降交点を結ぶため、交点線と呼ばれます。基準天体と春分点（♈︎）は基準方向を定め、基準面と合わせて基準系を形成します。

軌道面の向きと、その面内での軌道の向きを記述するには、3 つのパラメータが必要です。

  • 傾斜角（i ）— 基準面（通常は中心天体の赤道）に対する軌道面の垂直方向の傾き。昇交点（軌道が基準面と交差する地点。図では緑色の角度iで示される）で測定される。傾斜角が0に近い場合は赤道軌道、90°に近い場合は極軌道を示す。90°から180°の傾斜角は、通常、逆行軌道を表すために使用される。
  • 昇交点経度（Ω ）—軌道の昇交点（図の☊）から基準座標系の基準方向（図の♈︎）までの角度を表します。これは基準面で測定され、図では緑色の角度Ωとして示されています。この値は完全に赤道（共面）軌道の場合定義されませんが、慣例により0に設定されることがよくあります。[3]この値は昇交点赤経（RAAN）と呼ばれることもあります。
  • 近点引数( ω ) — 軌道面における方向を定義するもので、昇交点から近点（衛星本体が周回する主天体に最も近づく点）までの角度で、図の紫色の角度ωで表されます。この値は円軌道では定義されませんが、慣例的に0に設定されることが多いです。[3]

これら3つの要素は、参照座標系に対する軌道の向きを定義するオイラー角として記述できます。これら3つが最も一般的ですが、他にも軌道の他の特性を記述するのに役立つ要素があります。

  • 近点経度（ϖ）— 基準面における春分点と近点間の角度を表します。これは、昇交点経度と近点引数の和として表すことができます。昇交点経度とは異なり、この値は軌道傾斜角がゼロの軌道に対して定義されます。[3] ϖ = Ω + ω {\displaystyle \varpi =\Omega +\omega }

時間の経過に伴う動きを記述する要素

中心天体の周りを周回する物体の速度を記述するために、1つのパラメータが必要です。ただし、軌道の形状のみを記述する必要がある場合は、このパラメータは省略できます。この条件を満たすために、速度を直接記述しない様々な量を用いることができ、また、ある量から他の量への変換も可能です（以下の式を参照）。

  • 平均運動（n） — 軌道を周回する物体の平均角速度を表す量で、単位時間あたりの角度として測定されます。非円軌道の場合、実際の角速度は一定ではないため、平均運動は物理的な角度を表すものではありません。代わりに、これは平均近点角の変化に対応し、平均近点角は時間とともに直線的に増加します。[4]
  • 軌道周期（P）— 軌道を周回する天体が中心天体の周りを1周するのにかかる時間。この値は、放物線軌道や双曲軌道では非周期的であるため定義されません。
  • 標準重力パラメータ（μ）は、中心天体の質量に重力定数 Gを掛けた値です。この値は質量やGよりも精度よく測定しやすいため、質量の代わりに用いられることが多く、重力加速度を求めるためにはいずれにせよ計算する必要があります。また、中心天体に基づいて既知であると想定されるため、軌道要素リストには含まれていないことがよくあります。
  • 中心天体の質量（ M）— ほとんどの場合、周回天体の質量は重要ではなく、軌道に意味のある影響を与えないため、中心天体の質量のみを使用できます。ただし、そうでない場合（例えば連星など）、代わりに2体系の質量を使用できます。

要素間の関係

このセクションでは、上述の軌道要素間の共通関係について述べますが、これらの方程式を1つ以上操作することで、より多くの関係を導くことができます。ここで使用されている変数名は、上述のものと一致しています。

平均運動は標準重力パラメータと軌道の長半径（μはGMの代わりに使用できます）を使用して計算できます。[3]この式は平均運動をラジアンで返すため、 nを別の単位で使用したい 場合は変換する必要があります。 n = μ | a | 3 . {\displaystyle n={\sqrt {\frac {\mu }{|a|^{3}}}}.}

長半径は平均運動と標準重力パラメータに関連しているため、指定しなくても計算できます。これは、μが既知であると仮定した場合に特に便利です。μが既知であれば、nを用いてaを計算でき、同様にaを指定する場合にも使用できます。これにより、指定する要素を1つ少なくすることができます。

軌道周期は平均運動が周期の逆数である周波数（単位時間あたりの軌道回数）として記述できることからnから求めることができる： [3] P = { 2 π n if   n   is in radians , 360 ∘ n if   n   is in degrees . {\displaystyle P={\begin{cases}{\dfrac {2\pi }{n}}&{\text{if}}\ n\ {\text{is in radians}},\\[0.5ex]{\dfrac {360^{\circ }}{n}}&{\text{if}}\ n\ {\text{is in degrees}}.\end{cases}}}

標準重力パラメータは、平均運動と長半径が与えられれば、次の関係式で求められます（nはラジアン単位であると仮定）。 μ = n 2 a 3 . {\displaystyle \mu =n^{2}a^{3}.}

中心天体の質量は、標準重力パラメータの定義を質量と重力定数の積として並べ替えることで求めることができます。 M = μ G . {\displaystyle M={\frac {\mu }{G}}.}

時代を記述する要素

軌道上の物体の位置と時刻を記述するには、2つの要素が必要です。この時刻が、特定の位置変数が指定された定数（通常はゼロ）となる点であると定義されている場合は、位置変数を指定する必要はありません。

  • エポック( t 0 ) — 以下の要素のいずれかが定義された時刻。あるいは、軌道要素が測定された時点。エポック時刻は参照フレームの一部とみなされ、個別の要素として記載されない場合もあります。
  • 近点通過時刻（T 0）— 軌道天体が近点にある時刻。これは平均近点角と真近点角（およびその他の値）がゼロになる時刻でもあるため、定義する必要はありません。円軌道では近点角が明確に定義されないため、この値は定義されません。[2]
  • 基点における平均近点角（ M 0）—基点時刻における平均近点角。平均近点角は、軌道が完全に円軌道であるかのように、時間とともに直線的に増加する数学的に便利な角度です。ゼロは近点と定義され、1周期は2πラジアンです。平均近点角の増加率は平均運動nに等しくなります。この角度は近点を基準とするため、円軌道では定義されません。
  • エポックにおける平均経度( L 0 ) — エポック時刻における平均経度。平均経度は平均赤道直下角と似ており、時間とともに直線的に増加し、実際の角変位を表すものではありません。平均赤道直下角とは異なり、平均経度は春分点を基準として定義されるため、円軌道に対して定義されます。
  • エポック（E 0 ）における離心率。エポック時刻における離心率。離心率は、楕円の補助円（楕円の接線方向の両端で接する円）に沿った角度変位で定義される。この値は、楕円軌道上の物体の速度変化を考慮に入れているが、軌道の楕円形状は考慮していない。そのため、軌道上の物体の実際の角度変位とは一致しない。平均離心率や真離心率と同様に、離心率も近点を基準として測定され、円軌道では定義されていない。また、放物線軌道や双曲軌道でも離心率の定義は行われず、代わりに放物線軌道や双曲軌道で用いられる。[3]
  • 真近点角（）— 軌道の速度変化と楕円形状を考慮した、エポック時刻における周回天体の実際の角変位を表す角度。平均近点角と同様に、真近点角は近点を基準として測定されるため、円軌道の場合と同様の制限があります。 ν 0 {\displaystyle \nu _{0}}
  • 真経度（l 0）— 真経度は、その時点における軌道天体の角変位です。真近点とは異なり、真経度は春分点を基準として測定されるため、円軌道に対して定義できます。
  • 基点における平均緯度引数（u M0）— 基点時刻における軌道天体の角変位。平均緯度引数は平均赤道赤道角や平均経度に似ていますが、昇交点を基準として測定されます。つまり、円軌道では明確に定義されますが、赤道軌道では定義されません。[3]
  • 基点における緯度引数（ u 0）— 基点時刻における軌道天体の角変位。この角度は昇交点を基準として測定されるため、円軌道では定義されますが、赤道軌道では定義されません。

これらの要素は、より一般的な文脈で軌道上の物体の位置を記述するためにも使用され、特定の時点の状態の記述に限定されません。

要素間の関係

このセクションでは、上述の軌道要素間の共通の関係について述べますが、これらの方程式を1つ以上操作することで、より多くの関係を導くことができます。ここで使用されている変数名は、上述のものと一致しています。これらの式は、これらの要素間の変換全般にも当てはまります。

近点通過の時刻、その時点の平均近点角、平均運動が与えられれば、その時点がわかります。 t 0 = T 0 + M 0 n . {\displaystyle t_{0}=T_{0}+{\frac {M_{0}}{n}}.}

近点通過の時刻は、前の式を変形することで、元期、元期の平均近点角、および平均運動から求めることができます。 T 0 = t 0 − M 0 n . {\displaystyle T_{0}=t_{0}-{\frac {M_{0}}{n}}.}

平均異常は、ケプラーの方程式を使用して、離心率と離心率異常から求めることができます。 M = E − e sin ⁡ E . {\displaystyle M=E-e\sin E.}

平均経度は、平均近点角と近点経度を使って求めることができる。[3] L = M + ϖ , or L = M + ω + Ω . {\displaystyle L=M+\varpi ,\quad {\text{or}}\quad L=M+\omega +\Omega .}

偏心異常は、ケプラーの方程式 を用いて平均異常と偏心度を用いて、反復計算や数値解（ e のある値について）など様々な方法で求めることができます。これは、通常はニュートン法などの求根アルゴリズムによって解くことができます。[ 3] E = M + e sin ⁡ E {\displaystyle E=M+e\sin E} E k + 1 = E k + M − E k + e sin ⁡ ( E k ) 1 − e cos ⁡ ( E k ) . {\displaystyle E_{k+1}=E_{k}+{\frac {M-E_{k}+e\sin(E_{k})}{1-e\cos(E_{k})}}.}

通常、、、、またはのいずれかの初期推定値が使用されます。[3] [5]この反復は、望ましい許容レベルに達するまで繰り返すことができます。 M {\displaystyle M} M − e {\displaystyle M-e} M + e {\displaystyle M+e} M + e sin ⁡ M {\displaystyle M+e\sin M}

真の異常は、次の関係式を用いて偏心異常から求めることができる。 解の象限はatan2( y ,  x )関数を用いて解くことができる。[3] sin ⁡ ν = 1 − e 2 sin ⁡ E 1 − e cos ⁡ E , cos ⁡ ν = cos ⁡ E − e 1 − e cos ⁡ E . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \nu &={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin E}{1-e\cos E}},\\\cos \nu &={\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}.\end{aligned}}}

真経度は、真近点角と真経度を使用して見つけることができます。 l = ν + ϖ , or l = ν + ω + Ω . {\displaystyle l=\nu +\varpi ,\quad {\text{or}}\quad l=\nu +\omega +\Omega .}

平均緯度引数は、平均近点角と平均近点引数を使用して計算できます。 u M = Ω + M . {\displaystyle u_{M}=\Omega +M.}

緯度引数は、真近点角と近点引数を使用して求めることができます。 u = ν + Ω . {\displaystyle u=\nu +\Omega .}

一般的な要素セット

古典的なケプラー要素

理論上は、上記の要件を満たす任意の要素セットを使用して軌道を記述できますが、実際には、特定のセットが他のセットよりもはるかに一般的です。

軌道の大きさと形状を記述するために最も一般的に用いられる要素は、軌道長半径（a）と離心率（e ）である。放物線軌道では特異点が生じるため、軌道長半径の代わりに半パラメータ（p ）が用いられることもある。[3] [2]

ケプラーの要素セットでは、長半径の代わりに周期 ( P ) または平均運動 ( n ) を指定するのが一般的です。これは、上記の関係を通じて中心天体の 標準重力パラメータ( ) がわかっていれば、それぞれを他方から計算できるためです。 μ {\displaystyle \mu }

基点については、基点時刻（t）に加えて、平均近点角（M 0）、平均経度（L 0）、真近点角（）、あるいは（より稀ではあるが）離心率（E 0）が用いられることが多い。近点通過時刻（T 0）もこの目的で使用されることがある。これは、近点通過時刻を用いることで、基点における位置を特定する必要がなくなるためである。[2] ν 0 {\displaystyle \nu _{0}}

また、平均近点または平均経度のいずれかを、M 0またはL 0を中間ステップとして使用せずに、時間の 線形関数として直接表現することもよくあります。 この表現方法では、平均の動きがこの線形方程式の傾きとして統合されます。 M ( t ) = M 0 + n ( t − t 0 ) . {\displaystyle M(t)=M_{0}+n(t-t_{0}).}

体型別の要素

要素の選択は天体の種類によって異なります。軌道の形状と大きさを指定するために、離心率 ( e ) と長半径 ( a ) または近点距離 ( q ) が使用されます。昇交点経度 ( Ω )、傾斜角 ( i )、近点引数 ( ω )、または近点経度( ϖ ) は、軌道面における軌道の向きを指定します。軌道上の既知の点を指定するために、元点における平均経度 ( L 0 )、元点における平均近点角 ( M 0 )、または近点通過時刻 ( T 0 ) が使用されます。選択は、春分点または交点のどちらを主基準とするかによって異なります。[6] [7]

軌道要素の集合
物体 使用される要素
主要惑星 e、a、i、Ω、ϖ、L 0
彗星 e、q、i、 Ω 、ω、T 0
小惑星 e、a、i、 Ω 、ω、M 0

2行要素

軌道要素は、様々な形式でテキストとしてエンコードできます。最も一般的なのは、NASA / NORADの 「2行要素」（TLE）形式[8]です。これは元々80桁のパンチカード用に設計されましたが、最も一般的な形式であり、80文字のASCIIレコードは現代のデータベースで効率的に処理できるため、現在でも使用されています。

2行要素形式では、離心率（e）、傾斜角（i）、昇交点経度（Ω）、近点引数（ω）、平均運動（n）、元（t0）、元における平均近点角（M0 ）が列挙される。[8] [3]この形式は主に地球の軌道を対象とするため、標準重力パラメータ（μ ）を仮定し、上記の関係を用いて平均運動から長半径を計算することができる。

アプリケーションや天体の軌道によっては、30日以上経過したTLEから得られるデータは信頼性が低くなる可能性があります。軌道位置は、簡略化された摂動モデル（SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8）を用いてTLEから計算できます。[9]

SORCE衛星の2行要素の例: [10] 

1 27651U 03004A 07269.09107561 .00000015 00000-0 17636-4 0 4191
2 27651 039.9956 188.8112 0026975 282.9289 076.8483 14.81973121252789

ドロネー変数

ドロネー軌道要素は、シャルル＝ウジェーヌ・ドロネーが月の運動に関する研究の中で導入した。[11]一般にドロネー変数と呼ばれるこれらは、作用角座標である標準変数の集合である。これらの角度はケプラー角のいくつかの単純な和であり、他の用途とは異なる記号で表すことが多い。

  • 平均経度: 、 ℓ = L = M + ω + Ω {\displaystyle \ell =L=M+\omega +\Omega }
  • 近点経度：、 g = ϖ = ω + Ω {\displaystyle g=\varpi =\omega +\Omega }
  • 昇交点の経度: 、 h = Ω {\displaystyle h=\Omega }

それぞれの共役運動量 L、G、Hとともに。[12]運動量L、G、Hは作用変数であり、ケプラーの要素a、e、iのより複雑な組み合わせである。

デローネ変数は、例えば階層的三重星系におけるコザイ・リドフ振動の調査など、天体力学における摂動計算を簡素化するために使用されます。 [12]デローネ変数の利点は、円軌道や赤道軌道であっても明確に定義され、特異でない（hは許容される）ことです。

摂動と要素の変動

摂動を受けない二体ニュートン軌道は常に円錐曲線となるため、ケプラー要素は不変の楕円、放物線、または双曲線を定義します。実際の軌道には摂動があるため、与えられたケプラー要素の集合は、その時点における軌道のみを正確に記述します。軌道要素の変化は、主天体以外の天体の重力、主天体の非球面性、大気抵抗、相対論的効果、放射圧、電磁力などによって生じます。

ケプラー要素は、しばしばその時代に近い時刻における有用な予測を行うために用いられる。あるいは、実軌道は、実軌道に接する（「キス」または「接触」する）ケプラー軌道の列としてモデル化することもできる。また、実軌道は、ラグランジュ、ガウス、ドロネー、ポアンカレ、ヒルによって発展した様々な形の微分方程式である、いわゆる惑星方程式によって記述することもできる。

参照

参考文献

  1. ^ 例えば、「VEC2TLE」など。amsat.org . 2016年5月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年6月19日閲覧。
  2. ^ abcdefg Weber, Bryan. 「軌道力学」.軌道力学. 「軌道命名法」および「古典軌道要素」 . 2025年2月21日閲覧。
  3. ^ abcdefghijklmnopq Vallado, David A. (2022). 『天体力学の基礎と応用』 宇宙技術ライブラリー（第4版） カリフォルニア州トーランス：マイクロコズム・プレス pp.  41– 112. ISBN 978-1-881883-18-0。
  4. ^ abc Lynnane, George (2025年12月29日). 「軌道力学入門」PressBooks . 2025年12月29日閲覧。
  5. ^ Standish, E. Myles; Williams, James G. 「惑星のおおよその位置」NASA太陽系ダイナミクス. 2025年2月20日閲覧。
  6. ^ グリーン、ロビン・M. (1985).球面天文学. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-23988-2。
  7. ^ ダンビー、気象庁 (1962)。天力学の基礎。ウィルマン・ベル。ISBN 978-0-943396-20-0。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
  8. ^ ab Kelso, TS「FAQs: Two-line element set format」celestrak.com . CelesTrak. 2016年3月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2016年6月15日閲覧。
  9. ^ Seidelmann, KP編 (1992). 『天文年鑑（第1版）補足解説』ミルバレー、カリフォルニア州: University Science Books.
  10. ^ "SORCE". Heavens-Above.com . 軌道データ. 2007年9月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  11. ^ Aubin, David (2014). 「Delaunay, Charles-Eugène」.天文学者伝記百科事典. ニューヨーク市: S​​pringer New York. pp.  548– 549. doi :10.1007/978-1-4419-9917-7_347. ISBN 978-1-4419-9916-0。
  12. ^ ab シェフチェンコ, イヴァン (2017).リドフ・コザイ効果：太陽系外惑星研究と力学天文学への応用. シュプリンガー社. ISBN 978-3-319-43522-0。
  • Gurfil, Pini (2005). 「近赤道軌道における非特異軌道要素としてのオイラーパラメータ」. Journal of Guidance, Control, and Dynamics . 28 (5): 1079– 1084. Bibcode :2005JGCD...28.1079G. doi :10.2514/1.14760.
Wikibooksには、天体力学/古典軌道要素に関する書籍があります。
  • 「チュートリアル」。AMSAT 。ケプラー要素。2002年10月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  • 「軌道チュートリアル」. marine.rutgers.edu . 2021年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年7月30日閲覧。
  • 「軌道要素ビジュアライザー」。orbitalmechanics.info。
  • 報告書第3号（PDF） . celestrak（報告書）. Spacetrack.北米航空宇宙防衛司令部（NORAD）. 2000年9月3日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。– 軌道要素の真剣な扱い
  • 「FAQ」. Celestrak . 2行目要素. 2016年3月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  • 「JPL HORIZONS オンライン暦」。– 多数の太陽系天体の軌道要素も提供する
  • 「平均軌道パラメータ」。ssd.jpl.nasa.gov 。惑星衛星。JPL / NASA。
  • 「エクスポート入門」. ssd.jpl.nasa.gov . JPL惑星・月暦. JPL / NASA. 2020年5月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  • 「状態ベクトル：VEC2TLE」. MindSpring (ソフトウェア). 2016年3月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。– VEC2TLEソフトウェアへのアクセス
  • 「関数 'iauPlan94'」（Cソフトウェアソース）。IAU SOFA Cライブラリ。– 主要惑星の軌道要素
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