オセレデッツ定理
共輪に関する定理

数学において、乗法エルゴード定理（オセレデッツ定理）は、非線形力学系のリアプノフ指数の計算における理論的背景を提供する。この定理は1965年にヴァレリー・オセレデッツ（「オセレデック」とも綴られる）によって証明され、1966年にモスクワで開催された国際数学会議で報告された。乗法エルゴード定理の概念的に異なる証明は、MS Raghunathanによって見出された。[要出典] [1]この定理は、VA Kaimanovichによって半単純リー群に拡張され、 David Ruelle、Grigory Margulis、Anders Karlsson、François Ledrappierらの研究によってさらに一般化された。[要出典]

コサイクル

乗法エルゴード定理は、力学系の行列コサイクルを用いて述べられる。この定理は、定義極限の存在条件を述べ、リアプノフ指数を記述する。収束速度については言及していない。

自律力学系Xのコサイクルは、 C  : X×T → R n×nの写像で あり、

C （ × 、 0 ） ＝ 私 n   f o r   1つの l l   × ∈ X {\displaystyle C(x,0)=I_{n}{\rm {~for~all~}}x\in X}
C （ × 、 t + s ） ＝ C （ × （ t ） 、 s ） C （ × 、 t ）   f o r   1つの l l   × ∈ X   1つの n d   t 、 s ∈ T {\displaystyle C(x,t+s)=C(x(t),s)\,C(x,t){\rm {~for~all~}}x\in X{\rm {~and~}}t,s\in T}

ここで、XとT（T = Z⁺またはT = R⁺）はそれぞれ力学系の位相空間と時間範囲であり、I nはn次元単位行列である。行列Cの次元nは位相空間Xとは無関係である。

例

  • コサイクルの顕著な例は、リアプノフ指数理論における行列J tである。この特殊なケースでは、行列の次元n は多様体Xの次元と同じである。
  • 任意のコサイクルCに対して、行列式det  C ( x ,  t ) は 1 次元コサイクルです。

定理の記述

μ をX上のエルゴード不変測度とし、Cを力学系のコサイクルとし、各t  ∈  Tに対して、写像と写像がμに関して L 1積分可能であるとする。すると、μ のほぼすべてのxと各非零ベクトルu  ∈  R n に対して、極限 × → ログ ⁡ ‖ C （ × 、 t ） ‖ {\displaystyle x\rightarrow\log\|C(x,t)\|} × → ログ ⁡ ‖ C （ × 、 t ） − 1 ‖ {\displaystyle x\rightarrow\log\|C(x,t)^{-1}\|}

λ ＝ リム t → ∞ 1 t ログ ⁡ ‖ C （ × 、 t ） あなた ‖ ‖ あなた ‖ {\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }{1 \over t}\log {\|C(x,t)u\| \over \|u\|}}

が存在し、uに依存し、 xには依存せず、最大n 個の異なる値を仮定します。これらがリャプノフ指数です。

さらに、λ 1 > ... > λ m が 異なる極限である場合、 xに依存する部分空間R n = R 1 ⊃ ... ⊃ R m ⊃ R m +1 = {0} が存在し、 u  ∈  R i  \  R i +1および i  = 1, ...,  mに対して極限はλ iになります。

リャプノフ指数の値は、様々な座標変換に対して不変です。g : X → X が 1 対 1 写像であり、その逆写像が存在すると仮定すると、 リャプノフ指数の値は変化しません。 ∂ グラム / ∂ × {\displaystyle \partial g/\partial x}

加法エルゴード定理と乗法エルゴード定理

言葉で言えば、エルゴード性とは時間と空間の平均が等しいことを意味します。正式には、

リム t → ∞ 1 t ∫ 0 t f （ × （ s ） ） d s ＝ 1 μ （ X ） ∫ X f （ × ） μ （ d × ） {\displaystyle \lim _{t\to \infty }{1 \over t}\int _{0}^{t}f(x(s))\,ds={1 \over \mu (X)}\int _{X}f(x)\,\mu (dx)}

ここで積分と極限が存在する。空間平均（右辺、μはX上のエルゴード測度）は、μ( dx )で重み付けされたf ( x )値の累計である。加算は可換であるため、 f ( x )μ( dx )値の累計は任意の順序で行うことができる。対照的に、時間平均（左辺）は、軌跡に沿った f ( x ( s ))値の特定の順序を示唆する。

行列の乗算は一般に可換ではないため、 C ( x ( t 0 ), t k ) = C ( x ( t k −1 ) , t k  −  t k −1 ) ... C ( x ( t 0 ), t 1  −  t 0 ) に従った乗算されたコサイクル値 (およびその極限) の累算は、 t kが大きく、ステップt i  −  t i −1 が小さい場合、規定された順序に対してのみ意味をなします。したがって、時間平均は存在する可能性があります (定理ではそれが実際に存在すると述べています) が、空間平均に対応するものは存在しません。言い換えると、オセレデッツの定理は、時間平均の存在を保証するものの、空間平均については何も主張しないという点で、加法エルゴード定理 ( GD バーコフやJ. フォン ノイマンなど) とは異なります。

参考文献

  1. ^ 「オセレデッツの乗法エルゴード定理とリャプノフ指数」（PDF）。
  • オーセレデツ、VI (1968)。 "Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем" [乗算エルゴード定理: 力学系の特性リアプノフ指数]。Trudy MMO (ロシア語)。19 : 179–210 .
  • Ruelle, D. (1979). 「微分可能動的システムのエルゴード理論」(PDF) . IHES Publ. Math . 50 (1): 27– 58. doi :10.1007/BF02684768. S2CID  56389695.
「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Oseledets_theorem&oldid=1286205727」から取得