オシプコフ・メリットモデル
密度においてヤッフェの法則に従う銀河モデルから導出されたオシプコフ・メリット分布関数。等方性モデルは太線でプロットされている。f＝f（E）{\displaystyle f=f(E)}

オシプコフ・メリットモデル（レオニード・オシプコフとデイヴィッド・メリットにちなんで名付けられた）は、球状恒星系（銀河、星団、球状星団など）の数学的表現である。オシプコフ・メリット公式は、指定された重力ポテンシャル（星が移動する）内で指定された密度プロファイル（星を表す）を再現する1パラメータの位相空間分布関数族を生成する。密度とポテンシャルは自己無撞着な関係にある必要はない。自由パラメータによって速度異方性の度合いを調整し、等方性から完全な放射状運動まで変化させることができる。この手法は、 等方性球状モデルを構築するための エディントンの公式[ 1 ]を一般化したものである。

この方法は、その名を冠した2人の発見者によって独立して導き出された。[ 2 ] [ 3 ]後者の導出には、接線方向に異方性のある動きをする2つの追加モデルファミリー（タイプIIa、b）が含まれている。

導出

ジーンズの定理によれば、恒星の位相空間密度f は運動の分離積分で表現できなければならない。球状恒星系では、これはエネルギーEと角運動量Jである。オシプコフ・メリットの仮説は、

f＝f（質問）＝f（E+J2/2r1つの2）{\displaystyle f=f(Q)=f(E+J^{2}/2r_{a}^{2})}

ここで、異方性半径r aは自由パラメータである。この仮定は、速度空間における回転楕円体上の fが定数であることを意味する。

2質問＝vr2+（1+r2/r1つの2）vt2+2Φ（r）{\displaystyle 2Q=v_{r}^{2}+(1+r^{2}/r_{a}^{2})v_{t}^{2}+2\Phi (r)}

ここで、 v r、v tは半径ベクトルrに平行および垂直な速度成分であり、Φ( r )は重力ポテンシャルです。

密度ρはfの速度の積分です。

ρ（r）＝2π∫∫f（E、J）vtdvtdvr{\displaystyle \rho (r)=2\pi \int \int f(E,J)v_{t}dv_{t}dv_{r}}

これは次のように書くことができる

ρ（r）＝2πr2∫Φ0d質問f（質問）∫02r2（質問−Φ）/（1+r2/r1つの2）dJ2[2（質問−Φ）−（J2/r2）（1+r2/r1つの2）]−1/2{\displaystyle \rho (r)={2\pi \over r^{2}}\int _{\Phi }^{0}dQf(Q)\int _{0}^{2r^{2}(Q-\Phi )/(1+r^{2}/r_{a}^{2})}dJ^{2}\left[2(Q-\Phi )-(J^{2}/r^{2})(1+r^{2}/r_{a}^{2})\right]^{-1/2}}

または

ρ（r）＝4π1+r2/r1つの2∫Φ0d質問2（質問−Φ）f（質問）。{\displaystyle \rho (r)={4\pi \over 1+r^{2}/r_{a}^{2}}\int _{\Phi }^{0}dQ{\sqrt {2(Q-\Phi )}}f(Q).}

この方程式はアーベル積分方程式の形をしており、逆変換してρに関してfを与えることができます。

f（質問）＝24π2dd質問∫質問0dΦΦ−質問dρ′dΦ、     ρ′（Φ）＝[1+r（Φ）2/r1つの2]ρ[r（Φ）]。{\displaystyle f(Q)={{\sqrt {2}} \over 4\pi ^{2}}{d \over dQ}\int _{Q}^{0}{d\Phi \over {\sqrt {\Phi -Q}}}{d\rho ^{'} \over d\Phi },\ \ \ \ \ \rho ^{'}(\Phi )=\left[1+r(\Phi )^{2}/r_{a}^{2}\right]\rho \left[r(\Phi )\right].}

プロパティ

上記と同様の導出に従うと、オシプコフ・メリットモデルの速度分散は次式を満たす。

σr2σt2＝1+r2r1つの2。{\displaystyle {\sigma_{r}^{2}\over\sigma_{t}^{2}}=1+{r^{2}\overr_{a}^{2}}.}}

運動は、ではほぼ放射状（ ）、 ではほぼ等方性（）である。これは望ましい特徴である。なぜなら、重力崩壊によって形成される恒星系は、等方性の核と放射状に異方性のエンベロープを持つからである。[ 4 ]σr≫σt{\displaystyle \sigma _{r}\gg \sigma _{t}}r≫r1つの{\displaystyle r\gg r_{a}}σr≈σt{\displaystyle \sigma _{r}\approx \sigma _{t}}r≪r1つの{\displaystyle r\ll r_{a}}

r aに小さすぎる値を割り当てると、あるQにおいてfが負になる可能性がある。これは、球状質量モデルが必ずしも純粋な放射状軌道で再現できるわけではないという事実に起因する。軌道上の星の数は負にはなり得ないため、負のfを生成するr aの値は非物理的である。この結果は、球状銀河モデルにおける異方性の最大度を制限するために使用できる。[ 3 ]

メリットは1985年の論文で、等方性コアと接線方向異方性エンベロープを持つ2つの追加モデル群（「タイプII」）を定義した。どちらの群も、

f＝f（E−J2/2r1つの2）{\displaystyle f=f(EJ^{2}/2r_{a}^{2})}。

タイプIIaモデルでは、軌道はr=r aで完全に円軌道となり、それより大きい半径でも円軌道を維持する。タイプIIbモデルでは、r a を超える恒星は様々な離心率の軌道上を運動するが、その運動は常に円軌道に偏る。どちらのファミリーにおいても、 rがr aを超えると、接線方向の速度分散は急激に変化する。

CM Carolloら(1995) [ 5 ]は、タイプIオシプコフ-メリットモデルの多くの観測可能な特性を導出した。

アプリケーション

オシプコフ・メリットモデルの典型的な応用例は次のとおりです。

参照

参考文献

  1. ^エディントン、A.（1916）、球状星団の星の分布、 Mon. Not. R. Astron. Soc.、 76、572
  2. ^ Osipkov, LP (1979),楕円体速度分布を持つ重力体の球状システム, Pis'ma v Astron. Zhur. , 5 , 77
  3. ^ a b Merritt, D. (1985),球状恒星系と球状速度分布, Astron. J. , 90 , 1027
  4. ^ van Albada, T. (1983),散逸のない銀河形成とRの1/4乗則への依存性, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 201 , 939
  5. ^ Carollo, CM et al. (1995), Osipkov-Merrittモデルの速度プロファイル, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 276 , 1131
  6. ^ Lupton, R. et al. (1989),大マゼラン雲内の3つの若い星団の内部速度分散, Astrophys. J. , 347 , 201
  7. ^ Nolthenius, R. およびFord, H. (1987), M32 の質量およびハロー分散プロファイル, Astrophys. J. , 305 , 600
  8. ^ソトニコワ、N. Ya.および Rodionov、SA (2008)、ダークハローの異方性モデル、アストロン。レット。、 34、664-674​
  9. ^ Lokas, E. および Mamon, GA (2001), NFW 密度プロファイルを持つ球状銀河および銀河団の特性, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 321 , 155
  10. ^ May, A. and Binney, J. (1986),恒星系の安定性のテスト, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 221 , 13
  11. ^ Saha, P. (1991),球状恒星系の不安定モード, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 248 , 494
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