エンリッチメント評価のための選好順位組織化法

評価を豊かにするための選好ランキング組織法と、インタラクティブな援助のためのその記述的補足幾何学的分析は、プロメシー法とガイア法^{[ 1 ]}としてよく知られています。

プロメシーとガイアのメソッドは、数学と社会学に基づいて 1980 年代初頭に開発され、それ以来、広範囲に研究され、改良されてきました。

これは特に意思決定に応用されており、ビジネス、政府機関、輸送、医療、教育などの分野で、さまざまな意思決定シナリオで世界中で使用されています。

PrometheeとGaiaの手法は、「正しい」決定を指摘するのではなく、意思決定者が自身の目標と問題理解に最も適した代替案を見つけるのを支援します。この手法は、意思決定問題を構造化し、その対立と相乗効果、行動のクラスターを特定・定量化し、主要な代替案とその背後にある構造化された推論を明らかにするための包括的かつ合理的な枠組みを提供します。

歴史

Promethee法の基本要素は、1982年にJean-Pierre Brans教授（CSOO、VUB Vrije Universiteit Brussel ）によって初めて導入されました。 ^{[ 2 ]}その後、Jean-Pierre Brans教授とBertrand Mareschal教授（Solvay Brussels School of Economics and Management、ULB Université Libre de Bruxelles）によって開発され、GAIAなどの拡張機能を含めて実装されました。

^{ガイア[ 3 ]}と呼ばれる記述的アプローチにより、意思決定者は意思決定問題の主な特徴を視覚化することができます。つまり、基準間の矛盾や相乗効果を簡単に特定したり、行動のクラスターを識別したり、注目すべきパフォーマンスを強調したりすることができます。

^{プロメシー[ 4 ]}と呼ばれる規範的アプローチは、意思決定者に行動の完全なランキングと部分的なランキングの両方を提供します。

Prometheeは、世界中の多くの意思決定の場面で効果的に利用されてきました。Promethee手法に関する拡張、応用、議論に関する科学論文の網羅的ではないリスト^{[ 5 ]}が2010年に発表されました。

用途と応用

Promethee & Gaiaは、単純な意思決定を行う個人でも活用できますが、特に複数の基準があり、多くの人間の知覚や判断が関与し、意思決定が長期的な影響を与える複雑な問題にグループで取り組む場合に最も効果的です。意思決定の重要な要素を定量化または比較することが困難な場合や、部門やチームメンバー間の連携が専門分野や視点の違いによって制約される場合に、Promethee & Gaiaは独自の利点を発揮します。

Promethee と Gaia を適用できる意思決定状況には次のようなものがあります。

• 選択– 通常は複数の決定基準が関係する、与えられた選択肢のセットから 1 つの選択肢を選択すること。
• 優先順位付け – 1 つの選択肢を選択したり、単に順位付けするのではなく、一連の選択肢のメンバーの相対的なメリットを決定します。
• リソース割り当て– 選択肢の中からリソースを割り当てる
• ランキング– 選択肢を最も好まれるものから最も好まれないものまで順番に並べる
• 紛争解決– 明らかに相容れない目的を持つ当事者間の紛争を解決する

PrometheeとGaiaは、複雑な多基準意思決定シナリオへの適用事例が数千件に上り、計画、資源配分、優先順位の設定、選択肢の選択といった問題において広範な成果を生み出してきました。また、予測、人材選定、入札分析といった分野にも適用されています。

PrometheeとGaiaの活用事例はいくつかあり、最近では以下のようなものがケーススタディとなっています。

• SPS品質基準を満たすために利用可能な予算内で最適なリソースを決定する（STDF – WTO）[外部リンクで詳細を見る]
• 列車運行のための新ルート選定（Italferr）[外部リンクで詳細を見る]

数学モデル

仮定

をn個のアクションの集合とし、をq個の基準からなる一貫した族とします。一般性を損なうことなく、これらの基準は最大化される必要があると仮定します。 ${\displaystyle A=\{a_{1},..,a_{n}\}}$ ${\displaystyle F=\{f_{1},..,f_{q}\}}$

このような問題に関連する基本データは、評価を含む表に書き込むことができます。各行はアクションに対応し、各列は基準に対応します。 ${\displaystyle n\times q}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &f_{1}(\cdot )&f_{2}(\cdot )&\cdots &f_{j}(\cdot )&\cdots &f_{q}(\cdot )\\\hline a_{1}&f_{1}(a_{1})&f_{2}(a_{1})&\cdots &f_{j}(a_{1})&\cdots &f_{q}(a_{1})\\\hline a_{2}&f_{1}(a_{2})&f_{2}(a_{2})&\cdots &f_{j}(a_{2})&\cdots &f_{q}(a_{2})\\\hline \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &.\cdots \\\hline a_{i}&f_{1}(a_{i})&f_{2}(a_{i})&\cdots &f_{j}(a_{i})&\cdots &f_{q}(a_{i})\\\hline \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\hline a_{n}&f_{1}(a_{n})&f_{2}(a_{n})&\cdots &f_{j}(a_{n})&\cdots &f_{q}(a_{n})\\\hline \end{array}}}$

一対比較

まず、各基準についてすべてのアクションを 一対一で比較します。

${\displaystyle d_{k}(a_{i},a_{j})=f_{k}(a_{i})-f_{k}(a_{j})}$

${\displaystyle d_{k}(a_{i},a_{j})}$ は、基準 に対する2つの行動の評価の差です。もちろん、これらの差は使用される測定尺度に依存し、意思決定者にとって必ずしも比較が容易であるとは限りません。 ${\displaystyle f_{k}}$

好み度

結果として、次のように、差異を単一基準の選好度に変換するための選好関数の概念が導入されます。

${\displaystyle \pi _{k}(a_{i},a_{j})=P_{k}[d_{k}(a_{i},a_{j})]}$

ここで、 は となる正の非減少選好関数である。Prometheeのオリジナルの定義では、6種類の選好関数が提案されている。その中でも、線形単一基準選好関数は、定量的な基準において実務でよく用いられる。 ${\displaystyle P_{k}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle P_{k}(0)=0}$

${\displaystyle P_{k}(x){\begin{cases}0,&{\text{if }}x\leq q_{k}\\{\frac {x-q_{k}}{p_{k}-q_{k}}},&{\text{if }}q_{k}<x\leq p_{k}\\1,&{\text{if }}x>p_{k}\end{cases}}}$

ここで、およびはそれぞれ無関心閾値と選好閾値です。これらのパラメータの意味は次のとおりです。差が無関心閾値よりも小さい場合、意思決定者はそれを無視できるとみなします。したがって、対応する単一基準選好度は0になります。差が選好閾値を超える場合、それは有意とみなされます。したがって、単一基準選好度は1（最大値）になります。差が2つの閾値の間である場合、線形補間を用いて選好度の中間値が計算されます。 ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle p_{j}}$

多基準選好度

意思決定者が各基準に選好関数を関連付けると、すべての行動ペア間の比較をすべての基準について実行できるようになります。次に、すべての行動ペアを全体的に比較するために、多基準選好度を計算します。

${\displaystyle \pi (a,b)=\displaystyle \sum _{k=1}^{q}P_{k}(a,b)\cdot w_{k}}$

ここで は基準 の重みを表す。 およびであると仮定する。直接的な帰結として、以下の式が得られる。 ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle w_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{q}w_{k}=1}$

${\displaystyle \pi (a_{i},a_{j})\geq 0}$

${\displaystyle \pi (a_{i},a_{j})+\pi (a_{j},a_{i})\leq 1}$

多基準選好フロー

すべてのアクションを他のすべてのアクションに対して位置付けるために、次の 2 つのスコアが計算されます。

${\displaystyle \phi ^{+}(a)={\frac {1}{n-1}}\displaystyle \sum _{x\in A}\pi (a,x)}$

${\displaystyle \phi ^{-}(a)={\frac {1}{n-1}}\displaystyle \sum _{x\in A}\pi (x,a)}$

正の選好フローは、 ある行動が他のすべての行動よりも全体的にどの程度好まれているかを定量化し、負の選好フローは、 ある行動が他のすべての行動によって全体的にどの程度好まれているかを定量化します。理想的な行動は、正の選好フローが1、負の選好フローが0になります。この2つの選好フローは、行動の集合に対して一般的に異なる2つの完全なランキングを導きます。1つ目は、正のフロースコアの減少値に従って行動をランキングすることで得られます。2つ目は、負のフロースコアの増加値に従って行動をランキングすることで得られます。Promethee Iの部分ランキングは、これら2つのランキングの交点として定義されます。結果として、ある行動が別の行動と同じくらい良い場合、${\displaystyle \phi ^{+}(a_{i})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \phi ^{-}(a_{i})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle \phi ^{+}(a_{i})\geq \phi ^{+}(a_{j})}$ ${\displaystyle \phi ^{-}(a_{i})\leq \phi ^{-}(a_{j})}$

正の選好フローおよび負の選好フローは、純選好フローに集計されます。

${\displaystyle \phi (a)=\phi ^{+}(a)-\phi ^{-}(a)}$

前の式の直接的な結果は次のとおりです。

${\displaystyle \phi (a_{i})\in [-1;1]}$

${\displaystyle \sum _{a_{i}\in A}\phi (a_{i})=0}$

Promethee II の完全なランキングは、ネット フロー スコアの減少値に従ってアクションを順序付けることによって得られます。

単一基準ネットフロー

多基準選好度の定義によれば、多基準純フローは次のように分解できます。

${\displaystyle \phi (a_{i})=\displaystyle \sum _{k=1}^{q}\phi _{k}(a_{i}).w_{k}}$

どこ：

${\displaystyle \phi _{k}(a_{i})={\frac {1}{n-1}}\displaystyle \sum _{a_{j}\in A}\{P_{k}(a_{i},a_{j})-P_{k}(a_{j},a_{i})\}}$ 。

と表記される単基準ネットフローは、多基準ネットフローと同じ解釈を持ちますが、単一の基準に限定されます。あらゆる行動は、次元空間内のベクトルによって特徴付けられます。GAIA平面は、この空間における行動の集合に主成分分析を適用することで得られる主平面です。 ${\displaystyle \phi _{k}(a_{i})\in [-1;1]}$ ${\displaystyle \phi (a_{i})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {\phi }}(a_{i})=[\phi _{1}(a_{i}),\ldots ,\phi _{k}(a_{i}),\phi _{q}(a_{i})]}$ ${\displaystyle q}$

Prometheeの設定機能

• いつもの

${\displaystyle P_{j}(d_{j})={\begin{cases}0&{\text{if }}d_{j}\leq 0\\[4pt]1&{\text{if }}d_{j}>0\end{cases}}}$

• U字型

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{if}}&|d_{j}|\leq q_{j}\\\\1&{\text{if}}&|d_{j}|>q_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• V字型

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}{\frac {|d_{j}|}{p_{j}}}&{\text{if}}&|d_{j}|\leq p_{j}\\\\1&{\text{if}}&|d_{j}|>p_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• レベル

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{if}}&|d_{j}|\leq q_{j}\\\\{\frac {1}{2}}&{\text{if}}&q_{j}<|d_{j}|\leq p_{j}\\\\1&{\text{if}}&|d_{j}|>p_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• リニア

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{if}}&|d_{j}|\leq q_{j}\\\\{\frac {|d_{j}|-q_{j}}{p_{j}-q_{j}}}&{\text{if}}&q_{j}<|d_{j}|\leq p_{j}\\\\1&{\text{if}}&|d_{j}|>p_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• ガウス分布

${\displaystyle P_{j}(d_{j})=1-e^{-{\frac {d_{j}^{2}}{2s_{j}^{2}}}}}$

プロメシーランキング

プロメシー1世

プロメティーIは、行動の部分的な順位付けです。これは、肯定的な流れと否定的な流れに基づいています。これには、選好、無関心、比較不可能性（部分的な前順序）が含まれます。

プロメシーII

Promethee IIは、行動の完全なランキングです。多基準ネットフローに基づいており、選好と無関心（事前順序）が含まれます。

参照

• 意思決定
• 意思決定ソフトウェア
• Dサイト
• 多基準意思決定分析
• 順序優先アプローチ
• 一対比較
• 好み

参考文献

1. J. Figueira、S. Greco、M. Ehrgott (2005).多基準意思決定分析：最新動向調査. Springer Verlag.
2. JPブランズ (1982). 「L'ingénierie de la décision: élaboration d'instruments d'aide à la décision. La methode PROMETHEE」。ラヴァル大学出版局。
3. B. Mareschal; JP Brans (1988). 「MCDAのための幾何学的表現。GAIAモジュール」. European Journal of Operational Research.
4. JP Brans & P.​​ Vincke (1985). 「選好順位付け組織化法：MCDMのためのPROMETHEE法」. Management Science.
5. M. Behzadian、RB Kazemzadeh、A. Albadvi、M. Aghdasi (2010). 「PROMETHEE：方法論と応用に関する包括的な文献レビュー」. European Journal of Operational Research.

外部リンク

• Italferr のケーススタディ
• D-Sight for Academics: PROMETHEE をベースとした学術関係者向け共同意思決定 (CDM) ソフトウェア
• D-Sight: PROMETHEEベースのソフトウェア
• AMIA システム: フローを可視化、定量化、最適化
• コード：プロメテ＆ガイア 文学
• プロメテ＆ガイアのウェブサイト
• PROMETHEEとFLOWSORTを実装したSmart-Picker Pro
• Visual PROMETHEE のユーザーマニュアル、すべての PROMETHEE メソッドのガイド