パドヴァン多項式

数学において、パドヴァン多項式はパドヴァン数列の一般化である。これらの多項式は次のように定義される。^[1]

${\displaystyle P_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}n=1\\0,&{\mbox{if }}n=2\\x,&{\mbox{if }}n=3\\xP_{n-2}(x)+P_{n-3}(x),&{\mbox{if }}n\geq 4.\end{cases}}}$

最初のいくつかのパドヴァン多項式は次のとおりです。

${\displaystyle P_{1}(x)=1\,}$

${\displaystyle P_{2}(x)=0\,}$

${\displaystyle P_{3}(x)=x\,}$

${\displaystyle P_{4}(x)=1\,}$

${\displaystyle P_{5}(x)=x^{2}\,}$

${\displaystyle P_{6}(x)=2x\,}$

${\displaystyle P_{7}(x)=x^{3}+1\,}$

${\displaystyle P_{8}(x)=3x^{2}\,}$

${\displaystyle P_{9}(x)=x^{4}+3x\,}$

${\displaystyle P_{10}(x)=4x^{3}+1\,}$

${\displaystyle P_{11}(x)=x^{5}+6x^{2}.\,}$

パドバン数は、x = 1で多項式P _{n −3} ( x )を評価することによって回復されます 。

P _{n −3} ( x )をx  = 2で評価すると、 n番目のフィボナッチ数に (−1) ⁿを加えたものが得られます。 ( OEISのシーケンスA008346 )

この数列の 通常の生成関数は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt^{2}-t^{3}}}.}$

参照

• 多項式列

参考文献

1. 「パドヴァン多項式行列」p.4。