パンダイアゴナル魔方陣

パン対角線魔方陣またはパンマジック方陣（ディアボリック方陣、ディアボリカル方陣、ディアボリカル魔方陣とも呼ばれる）は、破断した対角線、つまり方陣の端で折り返されている対角線も魔定数になるという追加の特性を持つ魔方陣です。

対角魔方陣は、回転や鏡映変換だけでなく、行または列を方陣の一方から反対側へ移動させた場合でも、対角魔方陣としての性質を維持します。そのため、対角魔方陣には向きがあると考えられます。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle 8n^{2}}$

3×3の対角魔方陣

3次の非自明な汎対角魔方陣は存在しない ことが示される。

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!\!\;&\!\!a_{13}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!\!\;&\!\!a_{23}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!\!\;&\!\!a_{33}\!\!\\\hline \end{array}}}$

は、魔法定数⁠ ⁠${\displaystyle s}$ を持つ対角魔法です。⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33},}$ ⁠${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32},}$ と⁠ ⁠を加算すると${\displaystyle a_{13}+a_{22}+a_{31}}$ ⁠ ⁠${\displaystyle 3s}$ になります。 ⁠ ⁠${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}}$ と⁠ ⁠${\displaystyle a_{31}+a_{32}+a_{33},}$ を減算すると⁠ ⁠${\displaystyle 3a_{22}=s}$ になります。 ただし、3 列目を前に移動して同じ議論を実行すると⁠ ⁠${\displaystyle 3a_{21}=s}$ になります。実際、 3 × 3 魔方陣の対称性を使用すると、すべてのセルが⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}s}$ に等しくなければなりません。したがって、すべての 3 × 3 対角魔法方陣は自明である必要があります。

しかし、魔方陣の概念を一般化して数字ではなく幾何学的形状を含めると（リー・サローズが発見した幾何学的魔方陣）、3 × 3 の汎対角魔方陣が存在します。

4×4の対角魔方陣

いくつかの種類の4  ×  4魔方陣の特性を示すオイラー線図。同じ色のセルの合計は魔方陣定数となる。

最小の非自明な汎対角魔方陣は4  ×  4の正方形である。すべての4  ×  4汎対角魔方陣は^[1]の形と並進対称でなければならない。

1つの	a + b + c + e	a + c + d	a + b + d + e
a + b + c + d	a + d + e	a + b	あ+は+え
a + b + e	a + c	a + b + c + d + e	a + d
a + c + d + e	a + b + d	a + e	a + b + c

2  ×  2の小数点以下の魔方陣はそれぞれ魔定数となるため、4  ×  4の汎対角魔方陣は最も完全な魔方陣です。さらに、任意の3  ×  3の正方形の対角にある2つの数の和は、魔定数の半分になります。したがって、結合性のあるすべての4  ×  4の汎対角魔方陣は、必ず重複するセルを持ちます。

1から16までの数字を重複なく使った4  ×  4の汎対角魔方陣はすべて、 aを1とし、 b、c、d、eをそれぞれ1、2、4、8の順に並べ、平行移動を適用することで得られる。例えば、b = 1、c = 2、d = 4、e = 8とすると、次の魔方陣が得られる 。

1	12	7	14
8	13	2	11
10	3	16	5
15	6	9	4

 1 から 16 までの数字を重複なく使用した 4 ×  4 の汎対角魔方陣の数は384 個です (16 倍の 24。16 は変換を表し、24 は1、2、4、8 をb、c、d、eに割り当てる 4 通りの方法を表します)。

5×5 の対角魔方陣

5 × 5 の汎対角魔方陣は数多く存在します。4 × 4 の汎対角魔方陣とは異なり、これらは結合的な関係を持つ場合があります。以下は結合的な 5 × 5 の汎対角魔方陣です。

20	8	21	14	2
11	4	17	10	23
7	25	13	1	19
3	16	9	22	15
24	12	5	18	6

5 × 5 のパン対角魔方陣では、行、列、対角線に加えて、4 つの「五点形」パターンで魔定数も示されます。上記の例では、次のようになります。

17+25+13+1+9 = 65（中央のマス目と隣接する行と列のマス目）

21+7+13+19+5 = 65（中央のマス目と残りの行と列のマス目の合計）

4+10+13+16+22 = 65（中央のマス目と斜めのマス目の合計）

20+2+13+24+6 = 65（中心のマス目とその対角線上の残りのマス目）

これらの五点形はそれぞれ、行と列の循環的な置換（ラップアラウンド）によって正方形内の他の位置に移動できますが、汎対角魔方陣では、この置換は魔定数の等式に影響を与えません。これにより、破れた対角線に類似した破れた五点形を含め、100個の五点形和が生まれます。

五点形和は、行、列、対角線の和 の線形結合によって証明できます。対角線上の魔方陣を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\!\!a_{35}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\!\!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54}\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\\\hline \end{array}}}$

魔法定数sを用いて、五点和（上記の20+2+13+24+6 = 65の例に対応）を証明するには、以下の式を足し合わせます。 ${\displaystyle a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+a_{55}=s}$

対角和とをそれぞれ3回ずつ、${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}}$ ${\displaystyle a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}}$

対角和、、、、、​​${\displaystyle a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}}$ ${\displaystyle a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}}$ ${\displaystyle a_{14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}}$ ${\displaystyle a_{15}+a_{21}+a_{32}+a_{43}+a_{54}}$

行の合計は、およびです。${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}}$ ${\displaystyle a_{51}+a_{52}+a_{53}+a_{54}+a_{55}}$

この合計から次の値を差し引きます。

行の合計と、${\displaystyle a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}}$ ${\displaystyle a_{41}+a_{42}+a_{43}+a_{44}+a_{45}}$

列の合計、${\displaystyle a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}}$

各列の合計とを2 回ずつ計算します。${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}}$ ${\displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}$

最終的な結果は となり、これを 5 で割ると五点形の和が得られます。他の五点形のパターン、、 についても同様の線形結合を構築できます。 ${\displaystyle 5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_{55}=5s}$ ${\displaystyle a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{43}}$ ${\displaystyle a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}}$ ${\displaystyle a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{44}}$

（4n+2)×(4n+2) 非連続要素を持つ汎対角魔方陣

連続する整数を用いた場合、順序を持つ汎対角魔方陣は存在しません。しかし、連続しない整数の特定の列には、順序( )の汎対角魔方陣が存在します。 ${\displaystyle 4n+2}$ ${\displaystyle 4n+2}$

1+2+3+5+6+7 = 24 という合計を考えてみましょう。この合計は、3 つの加数の適切なグループを取ることで半分に分割することも、2 つの加数の適切なグループを使用して 3 分の 1 に分割することもできます。

1+5+6 = 2+3+7 = 12

1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

平方和をさらに均等に分割すると、以下に示すセミバイマジック特性が保証されます。

1 ² + 5 ² + 6 ² = 2 ² + 3 ² + 7 ² = 62

連続する整数の合計 1+2+3+4+5+6 = 21 は奇数であり、半分に分割されていないことに注意してください。

両方の等しい分割が利用できる場合、数字 1、2、3、5、6、7 は、それぞれ次のように表される 6 × 6 のパンディゴナル パターンAとBに配置できます。

1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3
1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3

6	5	1	6	5	1
1	6	5	1	6	5
5	1	6	5	1	6
2	3	7	2	3	7
7	2	3	7	2	3
3	7	2	3	7	2

次に（Cはすべてのセルが1である魔方陣）非連続の6×6の正方形を与えます。 ${\displaystyle 7A+B-7C}$

6	33	36	48	19	8
29	41	5	15	13	47
40	1	34	12	43	20
2	31	42	44	17	14
35	37	3	21	9	45
38	7	30	10	49	16

最大要素は 49、パン対角線の魔法定数は 150 です。この正方形はパン対角線で半二重魔法です。つまり、行、列、主対角線、破断対角線の合計は 150 になり、正方形内のすべての数を 2 乗すると、行と列のみが魔法となり、合計は 5150 になります。

10次​​の場合、合計1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70の均等分割を使用して同様の構成が可能です。

1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35

1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

1 ² + 3 ² + 9 ² + 10 ² + 12 ² = 2 ² + 4 ² + 5 ² + 11 ² + 13 ² = 335（正方形の均等分割、半二乗性）

これにより、最大要素が 169、対角線マジック定数が 850 の正方形が生成されます。これは、各行または列の平方の合計が 102,850 となるセミバイマジックでもあります。

（6n±1)×(6n±1) パン対角魔方陣

汎角魔方陣は次のアルゴリズムで構築できます。 ${\displaystyle (6n\pm 1)\times (6n\pm 1)}$

1. 正方形の最初の列に最初の自然数を設定します。 ${\displaystyle 6n\pm 1}$

   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7

2. 最初の列を 2 番目の列にコピーしますが、リング方向に 2 行シフトします。

   1	6
   2	7
   3	1
   4	2
   5	3
   6	4
   7	5

3. 正方形が完全に埋められるまで、リング状に 2 行ずつシフトしながら、現在の列を次の列にコピーし続けます。

   1	6	4	2	7	5	3
   2	7	5	3	1	6	4
   3	1	6	4	2	7	5
   4	2	7	5	3	1	6
   5	3	1	6	4	2	7
   6	4	2	7	5	3	1
   7	5	3	1	6	4	2

4. 2 番目の正方形を作成し、最初の正方形の 転置をそこにコピーします。

   あ   1    6    4    2    7    5    3    2    7    5    3    1    6    4    3    1    6    4    2    7    5    4    2    7    5    3    1    6    5    3    1    6    4    2    7    6    4    2    7    5    3    1    7    5    3    1    6    4    2

   ${\displaystyle A^{T}}$   1    2    3    4    5    6    7    6    7    1    2    3    4    5    4    5    6    7    1    2    3    2    3    4    5    6    7    1    7    1    2    3    4    5    6    5    6    7    1    2    3    4    3    4    5    6    7    1    2

5. 2 番目の正方形に を掛け、最初の正方形を加算し、正方形の各セルで を減算して、最後の正方形を作成します。${\displaystyle 6n\pm 1}$ ${\displaystyle 6n\pm 1}$

   例: 、ここでBはすべてのセルが 1 である魔方陣です。 ${\displaystyle A+(6n\pm 1)A^{T}-(6n\pm 1)B}$

   1	13	18	23	35	40	45
   37	49	5	10	15	27	32
   24	29	41	46	2	14	19
   11	16	28	33	38	43	6
   47	3	8	20	25	30	42
   34	39	44	7	12	17	22
   21	26	31	36	48	4	9

4n×4nパンダイアゴナル魔方陣

汎角魔方陣は次のアルゴリズムで構築できます。 ${\displaystyle 4n\times 4n}$

1. 最初の自然数を正方形の 最初の行と最初の列に配置します。${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$

   1	2	3	4

2. 次の自然数を最初の自然数の下に逆順に並べます。縦に並んだ自然数の合計は必ず同じになります。 ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$

   1	2	3	4
   8	7	6	5

3. その長方形を最初の長方形の下に何回かコピーします。 ${\displaystyle 2\times 2n}$ ${\displaystyle 2n-1}$

   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5

4. 左の長方形を右の長方形にコピーしますが、リング方向に 1 行ずつシフトします。 ${\displaystyle 4n\times 2n}$ ${\displaystyle 4n\times 2n}$

   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4

5. 2 番目の正方形を作成し、最初の正方形をその中にコピーしますが、90° 回転させます。 ${\displaystyle 4n\times 4n}$

   あ   1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4

   B   5    4    5    4    5    4    5    4    6    3    6    3    6    3    6    3    7    2    7    2    7    2    7    2    8    1    8    1    8    1    8    1    4    5    4    5    4    5    4    5    3    6    3    6    3    6    3    6    2    7    2    7    2    7    2    7    1    8    1    8    1    8    1    8

6. 2 番目の正方形に を掛け、最初の正方形を加算し、正方形の各セルで を減算して、最後の正方形を作成します。${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle 4n}$

   例: 、ここでCはすべてのセルが 1 である魔方陣です。 ${\displaystyle A+4nB-4nC}$

   33	26	35	28	40	31	38	29
   48	23	46	21	41	18	43	20
   49	10	51	12	56	15	54	13
   64	7	62	5	57	2	59	4
   25	34	27	36	32	39	30	37
   24	47	22	45	17	42	19	44
   9	50	11	52	16	55	14	53
   8	63	6	61	1	58	3	60

このアルゴリズムを用いて対角線状の魔方陣を構築すると、その魔方陣内のすべてのマスの合計は同じになります。したがって、多くの対称的なセルパターンは、その魔方陣内の任意の行と任意の列の合計と同じになります。特に、すべての長方形は、その魔方陣内の任意の行と任意の列の合計と同じになります。この魔方陣は、最も完全な魔方陣でもあります。 ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 2n\times 2}$ ${\displaystyle 2\times 2n}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$

（6n+3)×(6n+3) パンダイアゴナル魔方陣

汎角魔方陣は次のアルゴリズムで構築できます。 ${\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}$

1. 最初の自然数で長方形を作り、各列の和が同じになるようにします。3×3の魔方陣から始めて、長方形の残りのマスをメアンダー型に配置することでこれを実現できます。以下の例に示すパターンを使用することもできます。 ${\displaystyle (2n+1)\times 3}$ ${\displaystyle 6n+3}$

   9×9の正方形の場合  1   2   3   5   6   4   9   7   8  垂直合計 = 15

   15×15の正方形の場合  1   2   3   5   6   4   9   7   8   10   11   12   15   14   13  垂直合計 = 40

   21×21の正方形の場合  1   2   3   5   6   4   9   7   8  10 11 12 15 14 13 16 17 18 21 20 19 垂直合計 = 77

2. この長方形を正方形の左上隅に配置し、その下に長方形のコピーを 2 つ配置して、正方形の最初の 3 列が完全に埋められるようにします。 ${\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}$

   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8

3. 左の 3 列を次の 3 列にコピーしますが、リング方向に 1 行ずつシフトします。

   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4

4. 正方形が完全に埋められるまで、現在の 3 列をリング方向に 1 行ずつシフトしながら次の 3 列にコピーし続けます。

   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3

5. 2 番目の正方形を作成し、最初の正方形の転置をそこにコピーします。

   あ   1    2    3    9    7    8    5    6    4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3   1   2   3   9   7   8   5   6   4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3   1   2   3   9   7   8   5   6   4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3

   ${\displaystyle A^{T}}$   1    5    9    1    5    9    1    5    9   2   6   7   2   6   7   2   6   7   3   4   8   3   4   8   3   4   8   9   1   5   9   1   5   9   1   5   7   2   6   7   2   6   7   2   6   8   3   4   8   3   4   8   3   4   5   9   1   5   9   1   5   9   1   6   7   2   6   7   2   6   7   2   4   8   3   4   8   3   4   8   3

6. 2 番目の正方形に を掛け、最初の正方形を加算し、正方形の各セルで を減算して、最後の正方形を作成します。${\displaystyle 6n+3}$ ${\displaystyle 6n+3}$

   例: 、ここでBはすべてのセルが 1 である魔方陣です。 ${\displaystyle A+(6n+3)A^{T}-(6n+3)B}$

   1	38	75	9	43	80	5	42	76
   14	51	58	10	47	57	18	52	62
   27	34	71	23	33	67	19	29	66
   73	2	39	81	7	44	77	6	40
   59	15	49	55	11	48	63	16	53
   72	25	35	68	24	31	64	20	30
   37	74	3	45	79	8	41	78	4
   50	60	13	46	56	12	54	61	17
   36	70	26	32	69	22	28	65	21

参考文献

1. Ng, Louis (2018年5月13日). 「Inside-Out Polytopes によるマジックカウント」(PDF) .

• WSアンドリュース著『魔方陣と魔方陣立方体』ニューヨーク：ドーバー、1960年。初版は1917年。特に第10章を参照。

• Ollerenshaw, K., Brée, D.:最も完全なパンディアゴナル魔方陣. IMA, Southend-on-Sea (1998)

外部リンク

• MathWorldのパンマジックスクエア
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares