パンジャー再帰

パンジャー再帰法は、複合確率変数の確率分布近似値を計算するアルゴリズムである。 ここで、 と はどちらも特殊な型の確率変数である。より一般的なケースでは、Sの分布は複合分布となる。ここで検討されている特殊なケースの再帰法は、ハリー・パンジャー（ウォータールー大学^{[ 2 ]}の特別名誉教授）の論文^{[ 1 ]}で導入された。これは保険数理学（システミックリスクも参照） で広く用いられている。${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle X_{i}\,}$

予選

私たちが興味を持っているのは、以下の前提条件を満たす 複合ランダム変数です。${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle X_{i}\,}$

請求規模の分布

はiidであり、 とは独立であると仮定する。さらに、 は格子幅 の格子上に分布する必要がある。 ${\displaystyle X_{i}\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle X_{i}\,}$ ${\displaystyle h\mathbb {N} _{0}\,}$ ${\displaystyle h>0\,}$

${\displaystyle f_{k}=P[X_{i}=hk].\,}$

保険数理の実務では、請求密度関数（上限、下限など）の離散化によって得られます。 ${\displaystyle X_{i}\,}$

請求件数の分布

請求件数Nは確率変数であり、「請求件数分布」を持つと言われ、0、1、2、…などの値を取ります。「パンジャー再帰」の場合、Nの確率分布はパンジャークラス、つまり分布の(a,b,0)クラスのメンバーである必要があります。このクラスは、以下の関係を満たすすべての計数確率変数で構成されます。

${\displaystyle P[N=k]=p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},~~k\geq 1.\,}$

を満たすいくつかのおよびに対して、初期値は次のように決定される。${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b\geq 0\,}$ ${\displaystyle p_{0}\,}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.\,}$

Panjer再帰法は、この反復関係を利用して、Sの確率分布を再帰的に構築する方法を指定します。以下では、Nの確率生成関数を表します。これについては、分布の(a,b,0)クラスの表を参照してください。 ${\displaystyle W_{N}(x)\,}$

請求数が既知の場合は、De Prilアルゴリズムに注意してください。^{[ 3 ]}このアルゴリズムは、離散確率変数の和分布を計算するのに適しています。^{[ 4 ]}${\displaystyle n}$

再帰

アルゴリズムは、 を計算するための再帰を提供します。 ${\displaystyle g_{k}=P[S=hk]\,}$

開始値は特別なケース です${\displaystyle g_{0}=W_{N}(f_{0})\,}$

${\displaystyle g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b)\quad {\text{ if }}\quad a=0,\,}$

そして

${\displaystyle g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}\quad {\text{ for }}\quad a\neq 0,\,}$

そして進む

${\displaystyle g_{k}={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}.\,}$

例

次の例は、格子幅h = 0.04のときの近似密度を示しています。（フレシェ分布を参照してください。） ${\displaystyle \scriptstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ ${\displaystyle \scriptstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle X\,\sim \,{\text{Frechet}}(1.7,1)}$

観察されたように、再帰の初期化時に問題が発生する可能性があります。GuéganとHassani（2009）は、この問題に対処するための解決策を提案しました。^{[ 5 ]}

参考文献

1. Panjer, Harry H. (1981). 「複合分布族の再帰評価」(PDF) . ASTIN Bulletin . 12 (1).国際アクチュアリー協会: 22–26 . doi : 10.1017/S0515036100006796 . S2CID  15372040 .
2. CV、actuaries.org;スタッフページ、math.uwaterloo.ca
3. Vose Software リスク Wiki: http://www.vosesoftware.com/riskwiki/Aggregatemodeling-DePrilsrecursivemethod.php
4. De Pril, N. (1988). 「生命保険ポートフォリオの保険金請求総額分布の改良近似値」. Scandinavian Actuarial Journal . 1988 ( 1–3 ): 61–68 . doi : 10.1080/03461238.1988.10413837 .
5. Guégan, D.; Hassani, BK (2009). 「オペレーショナルリスク資本計算のための修正Panjerアルゴリズム」. Journal of Operational Risk . 4 (4): 53– 72. CiteSeerX 10.1.1.413.5632 . doi : 10.21314/JOP.2009.068 . S2CID 4992848 .  

外部リンク

• Panjer再帰とそれが使える分布