パップスの面積定理

パップスの面積定理は、任意の三角形の3辺に接する3つの平行四辺形の面積の関係を記述するものです。この定理はピタゴラスの定理の一般化とも考えられ、発見者であるギリシャの数学者アレクサンドリアのパップス（4世紀）にちなんで名付けられました。

定理

任意の三角形とその 2 つの辺に付いた任意の平行四辺形が与えられた場合、定理は、3 番目の平行四辺形の面積が他の 2 つの平行四辺形の面積の合計に等しくなるように、3 番目の辺上に平行四辺形を構築する方法を示します。

任意の三角形ABC 、三角形の辺ABと辺ACに接する2つの任意の平行四辺形をABDEとACFGとする。延長された平行四辺形の辺DEと辺FGはHで交差する。線分AHは三角形の辺BCに接する3つ目の平行四辺形BCMLの辺となる。つまり、BC上に線分BLと線分CMを描き、BLとCMがAHと平行で長さが等しいとする。すると、平行四辺形の面積（Aで示す）について、次の等式が成立する。

{\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}={\text{A}}_{BCML}

この定理はピタゴラスの定理を2つの点で一般化しています。第一に、直角三角形だけでなく任意の三角形にも適用でき、第二に、正方形ではなく平行四辺形を使用します。任意の三角形の2辺が正方形の場合、3辺目も面積が等しい平行四辺形になります。また、2辺が直角の脚の場合、3辺目も面積が等しい平行四辺形になります。直角三角形の場合、直角の脚に2つの平行四辺形を接続すると、3辺目も面積が等しい長方形になります。さらに、2つの平行四辺形が正方形の場合、3辺目も面積が等しい長方形になります。

証拠

平行四辺形ABDEとABUHは底辺の長さと高さが同じであるため、面積は同じです。同じ議論は平行四辺形ACFGとACVH、ABUHとBLQR、ACVHとRCMQにも当てはまります。これにより、以下の式から、既に目的の結果が得られます。

{\begin{aligned}{\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}&={\text{A}}_{ABUH}+{\text{A}}_{ACVH}\\&={\text{A}}_{BLQR}+{\text{A}}_{RCMQ}\\&={\text{A}}_{BCML}\end{aligned}}

参考文献

ハワード・イヴス：パップスによるピタゴラスの定理の拡張。数学教師、第51巻、第7号（1958年11月）、pp. 544–546（JSTOR）
ハワード・イーブス著『数学における偉大な瞬間（1650年以前）』アメリカ数学会、1983年、ISBN 9780883853108、p. 37（抜粋、p. 37、Google Books）
エリ・マオール著『ピタゴラスの定理：4000年の歴史』プリンストン大学出版局、2007年、ISBN 9780691125268、pp. 58–59（抜粋、p. 58、Google Books）
クラウディ・アルシーナ、ロジャー・B・ネルセン著『魅力的な証明：エレガントな数学への旅』MAA、2010年、ISBN 9780883853481、pp. 77–78（抜粋、p. 77、Googleブックス）

外部リンク