放物型偏微分方程式

放物型偏微分方程式は、偏微分方程式（PDE）の一種です。放物型偏微分方程式は、工学、量子力学、金融数学など、様々な時間依存現象を記述するために使用されます。例としては、熱方程式、時間依存シュレーディンガー方程式、ブラック・ショールズ方程式などが挙げられます。

意味

最も単純な放物型偏微分方程式を定義するために、 2つの独立した実変数の実数値関数とを考える。2階の線形定数係数偏微分方程式は、以下の形をとる。 ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0,}$

ここで、添え字は、およびに関する1階および2階偏微分を表す。主項（すなわち、の2階微分を含む項）の係数が条件^[1]を満たす場合、偏微分方程式は放物型に分類される。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle B^{2}-AC=0.}$

通常、は1次元の位置を表し、 は時間を表します。偏微分方程式は、指定された初期条件と境界条件 を条件として解かれます。 を持つ方程式は楕円型、 を持つ方程式は双曲型と呼ばれます。「放物型」という名前が使われているのは、係数に関する仮定が、解析幾何学方程式が平面放物線を定義するための条件と同じであるためです。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B^{2}-AC<0}$ ${\displaystyle B^{2}-AC>0}$ ${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

放物型偏微分方程式の基本的な例は、1次元熱方程式である。

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,u_{xx},}$

ここで、 は時刻 における細い棒に沿った位置 の温度であり、は熱拡散率と呼ばれる正の定数です。 ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha}$

熱方程式は、大まかに言えば、ある時点における温度は、その点の温度とその点付近の平均温度との差に比例する速度で上昇または下降する、というものです。この量は、温度が調和関数の平均値の性質を満たす範囲からどれだけ離れているかを表します。 ${\displaystyle u_{xx}}$

放物型偏微分方程式の概念はいくつかの方法で一般化できる。例えば、物体を通る熱の流れは、3次元熱方程式によって支配される。

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,\Delta u,}$

どこ

${\displaystyle \Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},}$

は に作用するラプラス演算子を表す。この方程式は多次元放物型偏微分方程式の原型である。^[2]${\displaystyle u}$

が楕円演算子であることに注目すると、放物型偏微分方程式のより広い定義が示唆されます。 ${\displaystyle -\Delta }$

${\displaystyle u_{t}=-Lu,}$

ここで、 は2階の楕円演算子です （ は正でなければならないことを意味します。 の場合については以下で説明します）。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle u_{t}=+Lu}$

ベクトルの偏微分方程式系は放物型になることもある。例えば、そのような方程式は次のような形に隠れている。 ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{\text{T}}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}$

行列値関数が1 次元の カーネルを持つ場合。${\displaystyle a(x)}$

解決

広範な仮定の下、線形放物型偏微分方程式の初期値／境界値問題は、常に解を持つ。放物型正則性理論によれば、固定時間 におけるの関数としての解は、一般に初期データ よりも滑らかになる。 ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}$

非線形放物型偏微分方程式の場合、初期値問題／境界値問題の解は有限時間内に特異点爆発を起こす可能性があります。解が常に存在するかどうか、あるいは実際に発生する特異点を理解することは困難な場合があります。このような興味深い疑問は、リッチフローを介したポアンカレ予想の解において生じます。^[要出典]

逆放物線方程式

時々、いわゆる後方放物型 PDEに遭遇することがあります。これは、(マイナス記号がないことに注意してください) という形式になります。${\displaystyle u_{t}=Lu}$

逆熱方程式の初期値問題、

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}.\end{cases}}}$

は常熱方程式の最終値問題と等価であり、

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}.\end{cases}}}$

放物型偏微分方程式の終値問題と同様に、逆放物型偏微分方程式の初期値問題も通常は適切ではない（解は有限時間内に無限に増大したり、そもそも解が存在しなくなることが多い）。しかしながら、これらの問題は他の様々な偏微分方程式の解の特異点の反射を研究する上で重要である。^[3]

参照

• 楕円偏微分方程式
• 双曲型偏微分方程式

注記

1. ザウダーラー 2006、124ページ。
2. ザウダーラー 2006、139ページ。
3. テイラー 1975.

参考文献

• テイラー、マイケル・E. (1975). 「微分方程式系の解の特異点の反射」.純粋・応用数学通信. 28 (4): 457– 478. CiteSeerX  10.1.1.697.9255 . doi :10.1002/cpa.3160280403. ISSN  0010-3640.
• ザウダーラー、エリック（2006年）『応用数学の偏微分方程式』ホボーケン、ニュージャージー州：ワイリー・インターサイエンス、ISBN 978-0-471-69073-3. OCLC  70158521。

さらに読む

• パーサメ、ベノワ（2015年）、生物学における放物線方程式：成長、反応、運動、拡散、シュプリンガー、ISBN 978-3-319-19499-8
• エヴァンス、ローレンス C. (2010) [1998],偏微分方程式, Graduate Studies in Mathematics , vol. 19 (第2版), プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会, doi :10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3、MR  2597943
• 「放物型偏微分方程式」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 「放物型偏微分方程式、数値解析法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]