主曲率
主曲率の方向に法線平面を持つ鞍面

微分幾何学において、曲面の任意の点における二つの主曲率は、その点における形状作用素の固有値によって表される曲率の最大値と最小値である。これらは、その点において曲面が様々な方向に異なる量でどのように曲がるかを測定する。

議論

3次元ユークリッド空間における微分可能曲面の各点pにおいて、単位法線ベクトルをとることができる。pにおける法線平面とは、法線ベクトルを含む平面であり、したがって、その面の接線方向も一意に定義され、法線断面と呼ばれる平面曲線で面を切断する。この曲線は一般に、 pにおける法線平面が異なると曲率も異なる。pにおける主曲率はk 1とk 2で表され、この曲率の最大値と最小値である。

ここで、曲線の曲率は定義により接触円の半径の逆数です。曲率は、曲線が面の選択した法線と同じ方向に曲がる場合は正、そうでない場合は負になります。法線平面内で曲率が最大値と最小値をとる方向は、k 1 がk 2に等しくない場合は常に垂直であり、これはオイラー(1760)の結果であり、主方向と呼ばれます。現代的な観点からは、これらの方向は対称テンソル(第 2 基本形式)の主軸であるため、この定理はスペクトル定理から導かれます。主曲率と主方向の​​体系的な解析は、ガストン・ダルブーがダルブー・フレームを使用して行いました。

2つの主曲率の積k 1 k 2はガウス曲率Kであり、平均 ( k 1  +  k 2 )/2 は平均曲率Hです。

主曲率の少なくとも1つがあらゆる点でゼロであれば、ガウス曲率は0となり、曲面は可展面となります。極小曲面の場合、平均曲率はあらゆる点でゼロとなります。

正式な定義

M をユークリッド空間の第二基本形式 を持つ曲面とする。点p ∈ Mと、点pにおける接ベクトルの直交基底X 1 , X 2を固定する。主曲率は対称行列の固有値である。 私私（X、はい）{\displaystyle I\!I(X,Y)}

[私私私j]＝[私私（X1、X1）私私（X1、X2）私私（X2、X1）私私（X2、X2）]。{\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.}

X 1とX 2が行列が対角行列となるように選択される場合、それらは主方向と呼ばれます。面がに配向されている場合、多くの場合、ペア ( X 1 , X 2 ) は与えられた配向に対して正の方向に配向されている必要があります。 [私私私j]{\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]}

特定の直交基底を参照しない場合、主曲率は形状演算子の固有値であり、主方向はその固有ベクトルです。

一般化

高次元ユークリッド空間の超曲面の場合、主曲率は直接的に類似した方法で定義できる。主曲率は、接空間の正規直交基底における第二基本形式の行列の固有値である。主方向は、対応する固有ベクトルである。 私私（X私、Xj）{\displaystyle I\!I(X_{i},X_{j})}

同様に、M がリーマン多様体Nの超曲面である場合、主曲率はその第二基本形式の固有値である。k 1 , ..., k n を点p ∈ Mにおけるn個の主曲率とし、 X 1 , ..., X nを対応する直交固有ベクトル（主方向）とすると、Mのpにおける断面曲率は次のように与えられる 。

K（X私、Xj）＝け私けj{\displaystyle K(X_{i},X_{j})=k_{i}k_{j}}

すべての人に。 私、j{\displaystyle i,j}私≠j{\displaystyle i\neq j}

面上の点の分類

  • 楕円点では、両方の主曲率は同じ符号を持ち、曲面は局所的に凸状になります。
    • 臍点では、両方の主曲率が等しく、すべての接ベクトルを主方向とみなすことができます。これらは通常、孤立した点に発生します。
  • 双曲点では主曲率は反対の符号を持ち、表面は局所的に鞍型になります。
  • 放物点では、主曲率の1つがゼロになります。放物点は通常、楕円領域と双曲領域を分ける曲線上にあります。
    • 平坦な臍点では、両方の主曲率はゼロです。一般的な曲面には平坦な臍点は含まれません。モンキーサドルは、孤立した平坦な臍点を持つ曲面です。
サーフェスポイントクラス[ 1 ]
k 1
< 0 = 0 > 0
k 2< 0 凹楕円体 凹面シリンダー 双曲面
= 0 凹面シリンダー 飛行機 凸型シリンダー
> 0 双曲面 凸型シリンダー 凸楕円体

曲率線

曲率線または曲率線は、常に主方向に接する曲線です（主方向場の積分曲線です）。臍点以外の点にはそれぞれ2本の曲率線があり、それらの線は直角に交差します。これらは、ガスパール・モンジュによって、地球の最適輸送問題と工学の文脈で初めて研究されました。 [ 2 ]また、工学の文脈でも研究されました。[ 3 ] 1795年の講義で、モンジュはフランス革命政府の立法議会を3軸の楕円ドームにすることを提案しました。曲率線は、労働者が石を置くための誘導曲線です。ろうそくの明かりは2つの臍点からぶら下がっています。1つの臍点の真下には、演説台があります。曲線の間にある四角い穴も窓になる可能性があり、ゴシック教会のバラ窓よりもはるかに合理的な形状です。[ 4 ]R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

臍の近傍では、曲率線は典型的には星型、レモン型、モンスター型（レモン-星型に由来 ）の3つの配置のいずれかを形成します。[ 5 ]これらの点は、ガストン・ダルブーの『講義』（1896年）第4巻455ページで初めて体系的な研究を行ったダルブーに敬意を表して 、ダルブーの臍（D 1、D 2、D 3 ）とも呼ばれています。

  • 臍の近くの曲率線の構成
  • レモン - D1
    レモン - D 1
  • モンスター - D2
    モンスター - D 2
  • スター - D3
    スター - D 3

これらの図では、赤い曲線は主方向の 1 つのファミリーの曲率線であり、青い曲線は他の主方向の曲率線です。

曲率直線が同じ主曲率の局所的極値を持つ場合、曲線は稜線点を持つ。これらの稜線点は、曲面上で稜線と呼ばれる曲線を形成する。稜線曲線は臍線を通過する。星型パターンでは、臍線を通過する稜線は3本または1本であるが、モンスター型とレモン型パターンでは、臍線を通過する稜線は1本のみである。[ 6 ]

アプリケーション

主曲率方向と面法線は、面上の点における3D方向フレームを定義します。例えば、円筒面の場合、物理的に触れたり視覚的に観察したりすることで、特定の方向に沿って面が平坦（円筒の軸に平行）であることがわかり、面の方向を把握できます。このような面上の各点における方向フレームの存在は、対応する方向フレームの変化を考慮するだけで、時間経過に伴う面の回転を判断できることを意味します。この結果、コンピュータービジョンにおいて、単一面点の動き推定およびセグメンテーションアルゴリズムが実現しました。[ 7 ]

参照

参考文献

  1. ^表面の曲率
  2. ^ Struik, DJ (1933). 「微分幾何学史概説：I」 . Isis . 19 (1): 92–120 . ISSN  0021-1753 .
  3. ^アーサー・ケイリー(1911). 「モンジュ、ガスパール」 ヒュー・チザム編.ブリタニカ百科事典第18巻（第11版）. ケンブリッジ大学出版局. pp.  709– 710.
  4. ^モンジュ、ガスパール (1850)。Applications de l'Analyse à la Géométrie (フランス語)。パリ：バシュリエ。 p. 156.
  5. ^ Berry, MV ; Hannay, JH (1977). 「ガウスランダム面上の臍点」. Journal of Physics A . 10 (11): 1809–21 . Bibcode : 1977JPhA...10.1809B . doi : 10.1088/0305-4470/10/11/009 . S2CID 55230556 . 
  6. ^ポーテウス, IR (1994).幾何微分法. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-39063-X。
  7. ^ Perera, S.; Barnes, N. (2013年11月). 「RGB-Dカメラを用いた1点剛体モーション推定とセグメンテーション」. 2013 International Conference on Digital Image Computing: Techniques and Applications (DICTA) . pp.  1– 8. doi : 10.1109/DICTA.2013.6691469 . ISBN 978-1-4799-2126-3. S2CID  15915653 .

さらに読む

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