逆説的な集合

バナッハ・タルスキーのパラドックスとは、球を有限個の点集合に分解し、元の球と同一の 2 つの球に再構成できるというものです。

集合論において、逆説的集合とは、逆説的な分解 を持つ集合のことである。集合の逆説的分解とは、互いに素な部分集合の2つの族と、ある宇宙（問題の集合はその部分集合である）に作用する適切な群作用から成り、各分割は有限個の異なる関数（またはその合成）のみを用いて集合全体に再び写像できるようなものである。作用が群に属するような逆説的分解が可能な集合は、-逆説的、または に関して逆説的と呼ばれる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

逆説的な集合は、無限公理の結果として存在します。集合として無限の類を認めるだけで、逆説的な集合を許容することができます。

意味

群が集合 に作用するとする。このとき、互いに素な部分集合と群元が存在し、以下の条件を満たすとき、 は -パラドックスである: ^[1]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n},B_{1},...,B_{m}\subseteq A}$ ${\displaystyle g_{1},...,g_{n},h_{1},...,h_{m}\in G}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}g_{i}(A_{i})}$ そして${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}h_{i}(B_{i})}$

例

無料グループ

2つの生成元a,b上の自由群 Fは、 eを単位語とし、文字iで始まるすべての（簡約された）語の集合である分解を持つ。これは逆説的な分解である。${\displaystyle F=\{e\}\cup X(a)\cup X(a^{-1})\cup X(b)\cup X(b^{-1})}$ ${\displaystyle X(i)}$ ${\displaystyle X(a)\cup aX(a^{-1})=F=X(b)\cup bX(b^{-1}).}$

バナッハ＝タルスキーのパラドックス

逆説的集合の最も有名な例は、バナッハ＝タルスキーのパラドックスである。これは、特殊直交群の球面を逆説的集合に分割するものである。この結果は選択公理に依存する。

参照

• 病理学的（数学）

参考文献

1. ワゴン、スタン;トムコヴィッチ、グジェゴシュ (2016)。バナハ・タルスキのパラドックス（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-107-04259-9。