準統計学

量子力学と統計力学において、パラ統計学は、確立された粒子統計モデル（ボーズ＝アインシュタイン統計、フェルミ＝ディラック統計、マクスウェル＝ボルツマン統計）の仮説的な代替モデル^{[1]です。他の代替モデルとしては、}エニオン統計や組紐統計などがあり、どちらも時空次元が低いモデルです。パラ統計学は、1953年にハーバート・S・グリーン^[2]によって創始されたとされています。 ^{[3] [4]}パラ統計学によって予測される粒子は、実験的に観測されていません。

形式主義

N個の同一粒子からなる系の作用素環を考えてみましょう。これは*-代数です。作用素環にはS _N群（位数Nの対称群） が作用し、 N個の粒子を置換するという解釈が意図されています。量子力学では、物理的な意味を持つ観測量に注目する必要があり、観測量はN個の粒子のあらゆる可能な置換に対して不変でなければなりません。例えば、N  = 2の場合、R ₂  −  R ₁は2つの粒子を入れ替えると符号が変わるため観測量にはなりませんが、2つの粒子間の距離 | R ₂  −  R ₁ | は正当な観測量です。

言い換えれば、観測可能代数はS _Nの作用素に対して*-部分代数不変量でなければならない（ただし、これはS _Nに対して不変な作用素代数のすべての要素が観測可能量であることを意味するわけではない）。これにより、それぞれS _Nのヤング図によってパラメータ化された、異なる超選択セクターが可能になる。

特に：

• p次( pは正の整数)のN個の同一のパラボソンの場合、許容されるヤング図はp行以下の行を持つものすべてです。
• p位のN個の同一のパラフェルミオンの場合、許容されるヤング図はp列以下のすべての図です。
• pが1の場合、これはそれぞれボーズ・アインシュタイン統計とフェルミ・ディラック統計に還元されます^{[説明が必要]}。
• pが任意の大きさ（無限大）の場合、これはマクスウェル・ボルツマン統計に還元されます。

三線関係

三線型交換関係を満たす生成消滅演算子が存在する^[3]

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l}^{\dagger },a_{m}]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }[a_{k},a_{m}]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m},}$

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }[a_{k},a_{m}^{\dagger }]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}^{\dagger }]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger },}$

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l},a_{m}]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}[a_{k},a_{m}]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}+a_{m}[a_{k},a_{l}]_{\mp }=0.}$

量子場理論

p位のパラボソン場、、ただしxとy が空間的に分離された点であり、 、ただし[ ⋅, ⋅] は交換子、{⋅, ⋅} は反交換子である。これは、パラボソンではなくボソンに対するスピン統計定理と矛盾する点である点に注意する。 φ ^{( i )} sに作用する対称群S _pのような群が存在する可能性がある。観測可能量は、問題の群の下で不変な演算子でなければならない。しかし、そのような対称性の存在は本質的ではない。 ${\textstyle \phi (x)=\sum _{i=1}^{p}\phi ^{(i)}(x)}$ ${\displaystyle [\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(i)}(y)]=0}$ ${\displaystyle \{\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(j)}(y)\}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

pの位数のパラフェルミオン場。ただし、xとy は空間的に分離された点であり、の場合。観測可能量に関する同じコメントは、ψが奇数次数であるのに対し、観測可能量は偶数次数であるという要件とともに適用されます。 ${\textstyle \psi (x)=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(i)}(x)}$ ${\displaystyle \{\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(i)}(y)\}=0}$ ${\displaystyle [\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(j)}(y)]=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

パラフェルミオン代数とパラボソン代数は、交換関係と反交換関係に従う元によって生成される。これらは、量子力学における通常のフェルミオン代数とボソン代数を一般化する。 ^[5]ディラック代数とダフィン・ケマー・ペティオ代数は、それぞれ位数p  = 1とp = 2のパラフェルミオン代数の特別なケースとして現れる 。^[6]

説明

xとyが空間的に分離された点である場合、p = 1 でない限り、 φ ( x ) とφ ( y ) は交換も反交換もしないことに注意する。 同じことがψ ( x ) とψ ( y ) にも当てはまる。したがって、 n 個の空間的に分離された点x ₁ , ..., x _{n が}ある場合、

${\displaystyle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle }$

は、 x ₁ , ..., x _nにn個の同一のパラボソンを生成することに相当する。同様に、

${\displaystyle \psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle }$

n個の同一のパラフェルミオンを生成することに相当する。これらの場は交換も反交換もしないから、

${\displaystyle \phi (x_{\pi (1)})\cdots \phi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle }$

そして

${\displaystyle \psi (x_{\pi (1)})\cdots \psi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle }$

S _nの各順列πに対して異なる状態を与える。

順列演算子は次のように 定義できる。${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi ){\big [}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle {\big ]}=\phi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \phi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle }$

そして

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi ){\big [}\psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle {\big ]}=\psi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \psi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle }$

それぞれである。これは、が上記で与えられたベクトルによって張られる状態（本質的にはn個の同一粒子を持つ状態）に限定される限り、明確に定義できる。また、ユニタリでもある。さらに、は対称群S _nの作用素値表現であるため、これをn粒子ヒルベルト空間自体へのS _nの作用素値表現と解釈し、それをユニタリ表現に変換することができる。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

参照

• クライン変換による、準統計量と従来の統計量との変換方法。^[1]

参考文献

1. Baker, David John; Halvorson, Hans; Swanson, Noel (2015年12月1日). 「準統計学の慣習性」 .英国科学哲学ジャーナル. 66 (4). ピッツバーグ大学: 929–976 . doi :10.1093/bjps/axu018 . 2024年3月17日閲覧。
2. “Herbert Sydney (Bert) Green”. 2012年4月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年10月30日閲覧。
3. HS Green、「一般化された場の量子化法」、Phys. Rev. 90、270–273 (1953)。
4. Cattani, M.; Bassalo, JMF (2009). 「中間統計、準統計、分数統計、およびジェンティリオン統計」. arXiv : 0903.4773 [cond-mat.stat-mech].
5. K. Kanakoglou, C. Daskaloyannis: 第18章 ボソン化と準統計、p. 207 ff.、Sergei D. Silvestrov、Eugen Paal、Viktor Abramov、Alexander Stolin（編）:一般化リー理論、数学、物理学、およびそれ以降、2008年、ISBN 978-3-540-85331-2。
6. Plyushchay , Mikhail S.; Michel Rausch de Traubenberg (2000). "Cubic root of Klein–Gordon equation". Physics Letters B . 477 (2000): 276– 284. arXiv : hep-th/0001067 . Bibcode :2000PhLB..477..276P. doi :10.1016/S0370-2693(00)00190-8. S2CID  16600516.の引用を参照。