パラベクター
Sum of a scalar and vector in Clifford algebra

パラベクトルという名前は、物理学者の間では幾何代数として知られるクリフォード代数におけるスカラーとベクトルの組み合わせに使用されます。

この名前は、1989 年にオランダのデルフト工科大学の博士論文で JG Maks によって付けられました。

3次元ユークリッド空間における、パラベクトルの完全代数とそれに対応する高次の一般化は、デイヴィッド・ヘステネスによって導入された時空代数（STA）の代替アプローチである。この代替代数は、物理空間代数（APS） と呼ばれる。

基本公理

ユークリッド空間の場合、基本公理はベクトルとそれ自身の積が長さの2乗（正）のスカラー値であることを示している。

v v = v ⋅ v {\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }

書き込み

v = u + w , {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {w} ,}

これを基本公理の表現に導入すると

( u + w ) 2 = u u + u w + w u + w w , {\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {w} )^{2}=\mathbf {u} \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \mathbf {w} ,}

基本公理を再び適用すると次の式が得られる。

u ⋅ u + 2 u ⋅ w + w ⋅ w = u ⋅ u + u w + w u + w ⋅ w , {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +2\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} ,}

これにより、2つのベクトルのスカラー積を次のように識別することができる。

u ⋅ w = 1 2 ( u w + w u ) . {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {w} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} \right).}

重要な帰結として、2つの直交ベクトル（スカラー積がゼロ）は反交換であるという結論が導かれる。

u w + w u = 0 {\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} =0}

3次元ユークリッド空間

以下のリストは空間の完全な基底の例を表している。 C ℓ 3 {\displaystyle C\ell _{3}}

{ 1 , { e 1 , e 2 , e 3 } , { e 23 , e 31 , e 12 } , e 123 } , {\displaystyle \{1,\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\},\mathbf {e} _{123}\},}

これは8次元空間を形成し、複数の添え字はそれぞれの基底ベクトルの積を示す。例えば

e 23 = e 2 e 3 . {\displaystyle \mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.}

基底要素の次数はベクトルの多重度によって定義され、

学年 タイプ 基本要素
0 ユニタリ実スカラー 1 {\displaystyle 1}
1 ベクター { e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}
2 バイベクター { e 23 , e 31 , e 12 } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\}}
3 三ベクトル体積要素 e 123 {\displaystyle \mathbf {e} _{123}}

基本公理によれば、2つの異なる基底ベクトルは反交換であり、

e i e j + e j e i = 2 δ i j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\delta _{ij}}

言い換えれば、

e i e j = − e j e i ; i ≠ j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}\,\,;i\neq j}

これは体積要素が e 123 {\displaystyle \mathbf {e} _{123}} − 1 {\displaystyle -1}

e 123 2 = e 1 e 2 e 3 e 1 e 2 e 3 = e 2 e 3 e 2 e 3 = − e 3 e 3 = − 1. {\displaystyle \mathbf {e} _{123}^{2}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=-1.}

さらに、体積元は代数の他の任意の元と可換であるため、混同の恐れがない限り、複素数と同一視することができる。実際、体積元は 実スカラーとともに、標準的な複素代数と同型な代数を形成する。体積元は、基底の同値な形を次のように書き直すのに用いることができる。 e 123 {\displaystyle \mathbf {e} _{123}} C ℓ ( 3 ) {\displaystyle C\ell (3)} i {\displaystyle i} e 123 {\displaystyle \mathbf {e} _{123}}

学年 タイプ 基本要素
0 ユニタリ実スカラー 1 {\displaystyle 1}
1 ベクター { e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}
2 バイベクター

{ i e 1 , i e 2 , i e 3 } {\displaystyle \{i\mathbf {e} _{1},i\mathbf {e} _{2},i\mathbf {e} _{3}\}}

3 三ベクトル体積要素

i {\displaystyle i}

パラベクトル

実スカラーとベクトルを組み合わせた対応するパラベクトル基底は

{ 1 , e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle \{1,\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}} 、

4次元線形空間を形成する。3次元ユークリッド空間のパラベクトル空間は、物理空間代数（APS）で表される特殊相対論の時空を表現するために使用できる。 C ℓ 3 {\displaystyle C\ell _{3}}

単位スカラーを と書くと便利で、これにより完全な基底は次のように簡潔な形で書くことができる。 1 = e 0 {\displaystyle 1=\mathbf {e} _{0}}

{ e μ } , {\displaystyle \{\mathbf {e} _{\mu }\},}

ここで、ギリシャ語の添え字は から までです。 μ {\displaystyle \mu } 0 {\displaystyle 0} 3 {\displaystyle 3}

反自己同型

反転活用

反転反自己同型は と表記される。この共役の作用は、幾何積（一般にクリフォード数間の積）の順序を逆にすることである。 † {\displaystyle \dagger }

( A B ) † = B † A † {\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }} 、

ここで、ベクトルと実スカラー数は反転共役に対して不変であり、実数であると言われます。たとえば、

a † = a {\displaystyle \mathbf {a} ^{\dagger }=\mathbf {a} }
1 † = 1 {\displaystyle 1^{\dagger }=1}

一方、三ベクトルと二ベクトルは反転共役によって符号が変わり、純虚数であると言われる。各基底元に適用される反転共役は以下のように与えられる。

要素 反転活用
1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1}
e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}}
e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}}
e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}} e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}}
e 12 {\displaystyle \mathbf {e} _{12}} − e 12 {\displaystyle -\mathbf {e} _{12}}
e 23 {\displaystyle \mathbf {e} _{23}} − e 23 {\displaystyle -\mathbf {e} _{23}}
e 31 {\displaystyle \mathbf {e} _{31}} − e 31 {\displaystyle -\mathbf {e} _{31}}
e 123 {\displaystyle \mathbf {e} _{123}} − e 123 {\displaystyle -\mathbf {e} _{123}}

クリフォード活用

クリフォード活用は、目的語の上にバーが付くことで表されます 。この活用はバー活用とも呼ばれます。 ¯ {\displaystyle {\bar {}}}

クリフォード活用は、等級退縮と逆転の複合作用です。

クリフォード共役のパラベクトルへの作用は、実スカラー数の符号を維持しながらベクトルの符号を反転することである。例えば、

a ¯ = − a {\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}=-\mathbf {a} }
1 ¯ = 1 {\displaystyle {\bar {1}}=1}

これは、スカラーとベクトルの両方が反転に対して不変であるため（1 つまたはまったく順序を反転することは不可能）、スカラーはゼロ次であるため偶数次であるのに対し、ベクトルは奇数次であるため次数の反転によって符号が変化するためです。

反自己同型として、クリフォード共役は次のように分布する。

A B ¯ = B ¯ A ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {B}}\,\,{\overline {A}}}

各基底要素に適用されるバー共役は以下に示すとおりである。

要素 バー活用
1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1}
e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} − e 1 {\displaystyle -\mathbf {e} _{1}}
e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} − e 2 {\displaystyle -\mathbf {e} _{2}}
e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}} − e 3 {\displaystyle -\mathbf {e} _{3}}
e 12 {\displaystyle \mathbf {e} _{12}} − e 12 {\displaystyle -\mathbf {e} _{12}}
e 23 {\displaystyle \mathbf {e} _{23}} − e 23 {\displaystyle -\mathbf {e} _{23}}
e 31 {\displaystyle \mathbf {e} _{31}} − e 31 {\displaystyle -\mathbf {e} _{31}}
e 123 {\displaystyle \mathbf {e} _{123}} e 123 {\displaystyle \mathbf {e} _{123}}
  • 注意: 体積要素は棒グラフの共役に対して不変です。

グレード自己同型

等級自己同型性

A B ¯ † = A ¯ † B ¯ † {\displaystyle {\overline {AB}}^{\dagger }={\overline {A}}^{\dagger }{\overline {B}}^{\dagger }}

は、偶数次多重ベクトルの不変量を維持しながら、奇数次多重ベクトルの符号を反転したものとして定義されます。

要素 グレード退縮
1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1}
e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} − e 1 {\displaystyle -\mathbf {e} _{1}}
e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} − e 2 {\displaystyle -\mathbf {e} _{2}}
e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}} − e 3 {\displaystyle -\mathbf {e} _{3}}
e 12 {\displaystyle \mathbf {e} _{12}} e 12 {\displaystyle \mathbf {e} _{12}}
e 23 {\displaystyle \mathbf {e} _{23}} e 23 {\displaystyle \mathbf {e} _{23}}
e 31 {\displaystyle \mathbf {e} _{31}} e 31 {\displaystyle \mathbf {e} _{31}}
e 123 {\displaystyle \mathbf {e} _{123}} − e 123 {\displaystyle -\mathbf {e} _{123}}

共役による不変部分空間

反転とクリフォード共役の下での対称性に基づいて、空間 内に4つの特別な部分空間を定義できる。 C ℓ 3 {\displaystyle C\ell _{3}}

  • スカラー部分空間: クリフォード共役に対して不変。
  • ベクトル部分空間: クリフォード共役の符号を反転します。
  • 実部分空間: 反転共役に対して不変。
  • 虚数部分空間: 反転共役の符号を反転します。

一般クリフォード数として与えられると、の補スカラー部と補ベクトル部は、クリフォード共役による対称および反対称の組み合わせで与えられる。 p {\displaystyle p} p {\displaystyle p}

⟨ p ⟩ S = 1 2 ( p + p ¯ ) , {\displaystyle \langle p\rangle _{S}={\frac {1}{2}}(p+{\overline {p}}),}
⟨ p ⟩ V = 1 2 ( p − p ¯ ) {\displaystyle \langle p\rangle _{V}={\frac {1}{2}}(p-{\overline {p}})} 。

同様に、の補実部と虚部は反転共役による対称および反対称の組み合わせで与えられる。 p {\displaystyle p}

⟨ p ⟩ R = 1 2 ( p + p † ) , {\displaystyle \langle p\rangle _{R}={\frac {1}{2}}(p+p^{\dagger }),}
⟨ p ⟩ I = 1 2 ( p − p † ) {\displaystyle \langle p\rangle _{I}={\frac {1}{2}}(p-p^{\dagger })} 。

以下に挙げる4つの交差点を定義することが可能である。

⟨ p ⟩ R S = ⟨ p ⟩ S R ≡ ⟨ ⟨ p ⟩ R ⟩ S {\displaystyle \langle p\rangle _{RS}=\langle p\rangle _{SR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{S}}
⟨ p ⟩ R V = ⟨ p ⟩ V R ≡ ⟨ ⟨ p ⟩ R ⟩ V {\displaystyle \langle p\rangle _{RV}=\langle p\rangle _{VR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{V}}
⟨ p ⟩ I V = ⟨ p ⟩ V I ≡ ⟨ ⟨ p ⟩ I ⟩ V {\displaystyle \langle p\rangle _{IV}=\langle p\rangle _{VI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{V}}
⟨ p ⟩ I S = ⟨ p ⟩ S I ≡ ⟨ ⟨ p ⟩ I ⟩ S {\displaystyle \langle p\rangle _{IS}=\langle p\rangle _{SI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{S}}

次の表は、それぞれの部分空間のグレードをまとめたものである。例えば、グレード0は、実部分空間とスカラー部分空間の交差として見ることができる。

本物 想像上の
スカラー 0 3
ベクター 1 2
  • 注: 「虚数」という用語は代数の文脈で使用され、いかなる形式でも標準的な複素数の導入を意味するものではありません。 C ℓ 3 {\displaystyle C\ell _{3}}

積に関する閉部分空間

積に関して閉じた部分空間が2つあります。それらはスカラー空間と偶空間であり、これらはよく知られた複素数と四元数の代数と同型です。

スカラー積

2つのパラベクトルとが与えられたとき、スカラー積の一般化は u {\displaystyle u} v {\displaystyle v}

⟨ u v ¯ ⟩ S . {\displaystyle \langle u{\bar {v}}\rangle _{S}.}

パラベクトルの大きさの2乗は u {\displaystyle u}

⟨ u u ¯ ⟩ S , {\displaystyle \langle u{\bar {u}}\rangle _{S},}

これは明確な双線形形式ではなく、パラベクトルがゼロでなくてもゼロになる可能性があります。

パラベクトル空間がミンコフスキー空間の計量に自動的に従うということは、非常に示唆的である 。

η μ ν = ⟨ e μ e ¯ ν ⟩ S {\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{S}}

特に：

η 00 = ⟨ e 0 e ¯ 0 ⟩ = ⟨ 1 ( 1 ) ⟩ S = 1 , {\displaystyle \eta _{00}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{0}\rangle =\langle 1(1)\rangle _{S}=1,}
η 11 = ⟨ e 1 e ¯ 1 ⟩ = ⟨ e 1 ( − e 1 ) ⟩ S = − 1 , {\displaystyle \eta _{11}=\langle \mathbf {e} _{1}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle \mathbf {e} _{1}(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=-1,}
η 01 = ⟨ e 0 e ¯ 1 ⟩ = ⟨ 1 ( − e 1 ) ⟩ S = 0. {\displaystyle \eta _{01}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle 1(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=0.}

双親ベクター

2つのパラベクトルとが与えられた場合、双パラベクトルBは次のように定義されます。 u {\displaystyle u} v {\displaystyle v}

B = ⟨ u v ¯ ⟩ V {\displaystyle B=\langle u{\bar {v}}\rangle _{V}} 。

双パラベクトル基底は次のように書ける。

{ ⟨ e μ e ¯ ν ⟩ V } , {\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{V}\},}

これは実数項と虚数項を含む6つの独立した要素を含む。3つの実数要素（ベクトル）は

⟨ e 0 e ¯ k ⟩ V = − e k , {\displaystyle \langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{k},}

そして3つの虚数要素（二元ベクトル）は

⟨ e j e ¯ k ⟩ V = − e j k {\displaystyle \langle \mathbf {e} _{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{jk}}

1 から 3 まで実行します 。 j , k {\displaystyle j,k}

物理空間の代数では、電磁場は双パラベクトルとして次のように表現される。

F = E + i B , {\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ^{\,},}

ここで、電場と磁場は両方とも実ベクトルである

E † = E {\displaystyle \mathbf {E} ^{\dagger }=\mathbf {E} }
B † = B {\displaystyle \mathbf {B} ^{\dagger }=\mathbf {B} }

擬スカラー体積要素を表します。 i {\displaystyle i}

双パラベクトルのもう一つの例は、次のように表される時空回転速度の表現である。

W = i θ j e j + η j e j , {\displaystyle W=i\theta ^{j}\mathbf {e} _{j}+\eta ^{j}\mathbf {e} _{j},}

3 つの通常の回転角変数と 3 つのラピディティを持ちます。 θ j {\displaystyle \theta ^{j}} η j {\displaystyle \eta ^{j}}

トリパラベクトル

3つのパラベクトル、およびが与えられた場合、3パラベクトルTは次のように定義されます。 u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} w {\displaystyle w}

T = ⟨ u v ¯ w ⟩ I {\displaystyle T=\langle u{\bar {v}}w\rangle _{I}} 。

トリパラベクトル基底は次のように書ける。

{ ⟨ e μ e ¯ ν e λ ⟩ I } , {\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }\rangle _{I}\},}

しかし、独立な三重ベクトルは4つしかないので、

{ i e ρ } {\displaystyle \{i\mathbf {e} _{\rho }\}} 。

擬似スカラー

擬スカラー基底は

{ ⟨ e μ e ¯ ν e λ e ¯ ρ ⟩ I S } , {\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }{\bar {\mathbf {e} }}_{\rho }\rangle _{IS}\},}

しかし計算してみると、そこには1つの項しか含まれていないことがわかります。この項は体積要素です。 i = e 1 e 2 e 3 {\displaystyle i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}}

4つの等級をペアで組み合わせると、次の表に示すように、パラベクトル、ビパラベクトル、トリパラベクトル空間が生成されます。たとえば、パラベクトルは等級0と等級1で構成されています。

1 3
0 パラベクター スカラー/擬似スカラー
2 バイパラベクター トリパラベクター

パラグラディエント

パラ勾配作用素は、パラベクトル空間における勾配作用素の一般化である。標準パラベクトル基底におけるパラ勾配は、

∂ = e 0 ∂ 0 − e 1 ∂ 1 − e 2 ∂ 2 − e 3 ∂ 3 , {\displaystyle \partial =\mathbf {e} _{0}\partial _{0}-\mathbf {e} _{1}\partial _{1}-\mathbf {e} _{2}\partial _{2}-\mathbf {e} _{3}\partial _{3},}

これにより、ダランベール演算子は次のように 書ける。

◻ = ⟨ ∂ ¯ ∂ ⟩ S = ⟨ ∂ ∂ ¯ ⟩ S {\displaystyle \square =\langle {\bar {\partial }}\partial \rangle _{S}=\langle \partial {\bar {\partial }}\rangle _{S}}

標準的な勾配演算子は次のように自然に定義できる。

∇ = e 1 ∂ 1 + e 2 ∂ 2 + e 3 ∂ 3 , {\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{1}\partial _{1}+\mathbf {e} _{2}\partial _{2}+\mathbf {e} _{3}\partial _{3},}

パラグラディエントは次のように書ける。

∂ = ∂ 0 − ∇ , {\displaystyle \partial =\partial _{0}-\nabla ,}

どこ。 e 0 = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{0}=1}

パラグラディエント演算子の適用は、その非可換性を常に考慮しながら慎重に行う必要がある。例えば、広く用いられる微分は次のようになる。

∂ e f ( x ) e 3 = ( ∂ f ( x ) ) e f ( x ) e 3 e 3 , {\displaystyle \partial e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}=(\partial f(x))e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}\mathbf {e} _{3},}

ここで、は座標のスカラー関数です。 f ( x ) {\displaystyle f(x)}

パラグラディエントは、関数がスカラー関数の場合、常に左から作用する演算子です。しかし、関数がスカラーでない場合は、パラグラディエントは右からも作用します。例えば、次の式は次のように展開されます。

( L ∂ ) = e 0 ∂ 0 L + ( ∂ 1 L ) e 1 + ( ∂ 2 L ) e 2 + ( ∂ 3 L ) e 3 {\displaystyle (L\partial )=\mathbf {e} _{0}\partial _{0}L+(\partial _{1}L)\mathbf {e} _{1}+(\partial _{2}L)\mathbf {e} _{2}+(\partial _{3}L)\mathbf {e} _{3}}

射影子としてのヌルパラベクトル

ヌルパラベクトルとは、必ずしもゼロではないが、大きさがゼロに等しい要素のことである。ヌルパラベクトルの場合、この性質は必然的に次の恒等式を意味する。 p {\displaystyle p}

p p ¯ = 0. {\displaystyle p{\bar {p}}=0.}

特殊相対性理論の文脈では、これらは光のようなパラベクトルとも呼ばれます。

射影ベクトルは、次の形式のヌルパラベクトルである。

P k = 1 2 ( 1 + k ^ ) , {\displaystyle P_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1+{\hat {\mathbf {k} }}),}

ここでは単位ベクトルです。 k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}

この形式のプロジェクターには補完的なプロジェクターがある P k {\displaystyle P_{\mathbf {k} }} P ¯ k {\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {k} }}

P ¯ k = 1 2 ( 1 − k ^ ) , {\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1-{\hat {\mathbf {k} }}),}

そういう

P k + P ¯ k = 1 {\displaystyle P_{\mathbf {k} }+{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=1}

プロジェクターとしては冪等である

P k = P k P k = P k P k P k = . . . {\displaystyle P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=...}

そして、一方から他方への射影はゼロである。なぜなら、それらはヌルパラベクトルだからである。

P k P ¯ k = 0. {\displaystyle P_{\mathbf {k} }{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=0.}

投影の関連する単位ベクトルは次のように抽出できる。

k ^ = P k − P ¯ k , {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=P_{\mathbf {\mathbf {k} } }-{\bar {P}}_{\mathbf {k} },}

これは、 が固有関数および を持ち、それぞれの固有値が および である演算子であること を 意味 します 。 k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}} P k {\displaystyle P_{\mathbf {\mathbf {k} } }} P ¯ k {\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {\mathbf {k} } }} 1 {\displaystyle 1} − 1 {\displaystyle -1}

前の結果から、がゼロ付近で解析的である と仮定すると、次の恒等式が成立する。 f ( k ^ ) {\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})}

f ( k ^ ) = f ( 1 ) P k + f ( − 1 ) P ¯ k . {\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})=f(1)P_{\mathbf {k} }+f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.}

これにより、パックウーマンの性質が生まれ、以下の恒等式が満たされる。

f ( k ^ ) P k = f ( 1 ) P k , {\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})P_{\mathbf {k} }=f(1)P_{\mathbf {k} },}
f ( k ^ ) P ¯ k = f ( − 1 ) P ¯ k . {\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }}){\bar {P}}_{\mathbf {k} }=f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.}

パラベクトル空間の零基底

完全空間に対して、それぞれがヌルである要素の基底を構築することができる 。ここで注目する基底は以下の通りである。 C ℓ 3 {\displaystyle C\ell _{3}}

{ P ¯ 3 , P 3 e 1 , P 3 , e 1 P 3 } {\displaystyle \{{\bar {P}}_{3},P_{3}\mathbf {e} _{1},P_{3},\mathbf {e} _{1}P_{3}\}}

任意のパラベクトル

p = p 0 e 0 + p 1 e 1 + p 2 e 2 + p 3 e 3 {\displaystyle p=p^{0}\mathbf {e} _{0}+p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}}

次のように書くことができる

p = ( p 0 + p 3 ) P 3 + ( p 0 − p 3 ) P ¯ 3 + ( p 1 + i p 2 ) e 1 P 3 + ( p 1 − i p 2 ) P 3 e 1 {\displaystyle p=(p^{0}+p^{3})P_{3}+(p^{0}-p^{3}){\bar {P}}_{3}+(p^{1}+ip^{2})\mathbf {e} _{1}P_{3}+(p^{1}-ip^{2})P_{3}\mathbf {e} _{1}}

この表現は、それぞれおよび の係数である光円錐変数で自然に表現されるいくつかのシステムに役立ちます 。 P 3 {\displaystyle P_{3}} P ¯ 3 {\displaystyle {\bar {P}}_{3}}

パラベクトル空間内のあらゆる表現は、ヌル基底を用いて表すことができる。パラベクトルは一般に、2つの実スカラー数 と1つの一般スカラー数 （スカラー数と擬スカラー数を含む） によって媒介変数化される。 p {\displaystyle p} { u , v } {\displaystyle \{u,v\}} w {\displaystyle w}

p = u P ¯ 3 + v P 3 + w e 1 P 3 + w † P 3 e 1 {\displaystyle p=u{\bar {P}}_{3}+vP_{3}+w\mathbf {e} _{1}P_{3}+w^{\dagger }P_{3}\mathbf {e} _{1}}

零基底におけるパラグラディエントは

∂ = 2 P 3 ∂ u + 2 P ¯ 3 ∂ v − 2 e 1 P 3 ∂ w † − 2 P 3 e 1 ∂ w {\displaystyle \partial =2P_{3}\partial _{u}+2{\bar {P}}_{3}\partial _{v}-2\mathbf {e} _{1}P_{3}\partial _{w^{\dagger }}-2P_{3}\mathbf {e} _{1}\partial _{w}}

高次元

n次元ユークリッド空間には、n次の多重ベクトル（nベクトル）が存在できる。ベクトル空間の次元は明らかにnに等しく、簡単な組合せ論的解析から、双ベクトル空間の次元は であることが示される。一般に、m次の多重ベクトル空間の次元は であり、クリフォード代数全体の次元は である。 ( n 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}} ( n m ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}} C ℓ ( n ) {\displaystyle C\ell (n)} 2 n {\displaystyle 2^{n}}

同次階乗を持つ与えられた多重ベクトルは、不変であるか、逆共役作用によって符号が変化するかのいずれかである。不変のままである元はエルミート元と定義され、符号が変化する元は反エルミート元と定義される。したがって、階乗は以下のように分類できる。 † {\displaystyle \dagger }

学年 分類
0 {\displaystyle 0} エルミート
1 {\displaystyle 1} エルミート
2 {\displaystyle 2} 反エルミート
3 {\displaystyle 3} 反エルミート
4 {\displaystyle 4} エルミート
5 {\displaystyle 5} エルミート
6 {\displaystyle 6} 反エルミート
7 {\displaystyle 7} 反エルミート
⋮ {\displaystyle \vdots } ⋮ {\displaystyle \vdots }

行列表現

空間の代数はパウリ行列代数 と同型であり、 C ℓ ( 3 ) {\displaystyle C\ell (3)}

行列表現3D 明示的な行列
e 0 {\displaystyle \mathbf {e} _{0}} σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}^{}}

( 1 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&0\\0&&1\end{pmatrix}}}

e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}^{}}

( 0 1 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&&1\\1&&0\end{pmatrix}}}

e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}^{}}

( 0 − i i 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&&-i\\i&&0\end{pmatrix}}}

e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}} σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}^{}}

( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&0\\0&&-1\end{pmatrix}}}

そこからヌル基底要素が

P 3 = ( 1 0 0 0 ) ; P ¯ 3 = ( 0 0 0 1 ) ; P 3 e 1 = ( 0 1 0 0 ) ; e 1 P 3 = ( 0 0 1 0 ) . {\displaystyle {P_{3}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,;{\bar {P}}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,;{P_{3}}\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,;\mathbf {e} _{1}{P}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.}

3次元における一般的なクリフォード数は次のように表される。

Ψ = ψ 11 P 3 − ψ 12 P 3 e 1 + ψ 21 e 1 P 3 + ψ 22 P ¯ 3 , {\displaystyle \Psi =\psi _{11}P_{3}-\psi _{12}P_{3}\mathbf {e} _{1}+\psi _{21}\mathbf {e} _{1}P_{3}+\psi _{22}{\bar {P}}_{3},}

ここで、係数はスカラー要素（擬スカラーを含む）である。このクリフォード数をパウリ行列で表現すると、次のようになるように添え字が選ばれている。 ψ j k {\displaystyle \psi _{jk}}

Ψ → ( ψ 11 ψ 12 ψ 21 ψ 22 ) {\displaystyle \Psi \rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}&\psi _{12}\\\psi _{21}&\psi _{22}\end{pmatrix}}}

活用形

反転共役はエルミート共役に変換され、バー共役は次の行列に変換されます。

Ψ ¯ → ( ψ 22 − ψ 12 − ψ 21 ψ 11 ) , {\displaystyle {\bar {\Psi }}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}&-\psi _{12}\\-\psi _{21}&\psi _{11}\end{pmatrix}},}

スカラー部分は次のように翻訳される。

⟨ Ψ ⟩ S → ψ 11 + ψ 22 2 ( 1 0 0 1 ) = T r [ ψ ] 2 1 2 × 2 {\displaystyle \langle \Psi \rangle _{S}\rightarrow {\frac {\psi _{11}+\psi _{22}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\frac {Tr[\psi ]}{2}}\mathbf {1} _{2\times 2}}

残りの部分空間は次のように翻訳される。

⟨ Ψ ⟩ V → ( 0 ψ 12 ψ 21 0 ) {\displaystyle \langle \Psi \rangle _{V}\rightarrow {\begin{pmatrix}0&\psi _{12}\\\psi _{21}&0\end{pmatrix}}}
⟨ Ψ ⟩ R → 1 2 ( ψ 11 + ψ 11 ∗ ψ 12 + ψ 21 ∗ ψ 21 + ψ 12 ∗ ψ 22 + ψ 22 ∗ ) {\displaystyle \langle \Psi \rangle _{R}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}+\psi _{11}^{*}&\psi _{12}+\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}+\psi _{12}^{*}&\psi _{22}+\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}}
⟨ Ψ ⟩ I → 1 2 ( ψ 11 − ψ 11 ∗ ψ 12 − ψ 21 ∗ ψ 21 − ψ 12 ∗ ψ 22 − ψ 22 ∗ ) {\displaystyle \langle \Psi \rangle _{I}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}-\psi _{11}^{*}&\psi _{12}-\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}-\psi _{12}^{*}&\psi _{22}-\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}}

高次元

高次元ユークリッド空間の行列表現は、パウリ行列のクロネッカー積によって構成することができ、次元の複素行列となる。4次元表現は次のように表される。 2 n {\displaystyle 2^{n}}

行列表現4D
e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}}

σ 3 ⊗ σ 1 {\displaystyle \sigma _{3}\otimes \sigma _{1}}

e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}}

σ 3 ⊗ σ 2 {\displaystyle \sigma _{3}\otimes \sigma _{2}}

e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}}

σ 3 ⊗ σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}\otimes \sigma _{3}}

e 4 {\displaystyle \mathbf {e} _{4}}

σ 2 ⊗ σ 0 {\displaystyle \sigma _{2}\otimes \sigma _{0}}

7D表現は次のように考えることができる。

行列表現7D
e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}}

σ 0 ⊗ σ 3 ⊗ σ 1 {\displaystyle \sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{1}}

e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}}

σ 0 ⊗ σ 3 ⊗ σ 2 {\displaystyle \sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{2}}

e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}}

σ 0 ⊗ σ 3 ⊗ σ 3 {\displaystyle \sigma _{0}\otimes \sigma _{3}\otimes \sigma _{3}}

e 4 {\displaystyle \mathbf {e} _{4}}

σ 0 ⊗ σ 2 ⊗ σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}\otimes \sigma _{2}\otimes \sigma _{0}}

e 5 {\displaystyle \mathbf {e} _{5}}

σ 3 ⊗ σ 1 ⊗ σ 0 {\displaystyle \sigma _{3}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}}

e 6 {\displaystyle \mathbf {e} _{6}}

σ 1 ⊗ σ 1 ⊗ σ 0 {\displaystyle \sigma _{1}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}}

e 7 {\displaystyle \mathbf {e} _{7}}

σ 2 ⊗ σ 1 ⊗ σ 0 {\displaystyle \sigma _{2}\otimes \sigma _{1}\otimes \sigma _{0}}

リー代数

クリフォード代数は、あらゆる古典リー代数を表すために用いることができます。一般に、反エルミート元を用いることでコンパクト群のリー代数を同一視することが可能であり、さらにエルミート元を加えることで非コンパクト群にも拡張できます。

n 次元ユークリッド空間の双ベクトルはエルミート要素であり、リー代数を表すために使用できます。 s p i n ( n ) {\displaystyle \mathrm {spin} (n)}

3次元ユークリッド空間の双ベクトルはリー代数を形成し、 リー代数はリー代数 と同型である。この偶然の同型性により、ブロッホ球面を用いて2次元ヒルベルト空間の状態の幾何学的解釈を描くことができる。そのような系の一つがスピン1/2粒子である。 s p i n ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {spin} (3)} s u ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {su} (2)}

リー代数は、3つのユニタリベクトルを加えることで拡張でき、リー代数と同型なリー代数、すなわちローレンツ群の二重被覆 を形成する。この同型性により、 に基づく特殊相対論の形式論を展開することが可能となり、これは物理空間の代数の形で実行される。 s p i n ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {spin} (3)} S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,C)} S O ( 3 , 1 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3,1)} S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,C)}

スピンリー代数とリー代数の間には、偶然の同型性がもう一つだけ存在します。それはとの間の同型性です。 s u ( N ) {\displaystyle \mathrm {su} (N)} s p i n ( 6 ) {\displaystyle \mathrm {spin} (6)} s u ( 4 ) {\displaystyle \mathrm {su} (4)}

との間にはもう一つ興味深い同型が存在する。したがって、 リー代数を用いて 群 を生成することができる。この群は 群 よりも小さいにもかかわらず、4次元ヒルベルト空間を張るのに十分であることが分かる。 s p i n ( 5 ) {\displaystyle \mathrm {spin} (5)} s p ( 4 ) {\displaystyle \mathrm {sp} (4)} s p ( 4 ) {\displaystyle \mathrm {sp} (4)} U S p ( 4 ) {\displaystyle USp(4)} S U ( 4 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (4)}

参照

参考文献

教科書

  • ベイリス、ウィリアム（2002年）『電気力学：現代の幾何学的アプローチ』（第2版）ビルクハウザー社、ISBN 0-8176-4025-8
  • ベイリス、ウィリアム、クリフォード（幾何学）代数とその物理学、数学、工学への応用、バークハウザー（1999）
  • [H1999] デイヴィッド・ヘステネス著『古典力学の新基礎』（第2版）ISBN 0-7923-5514-8、クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ（1999年）
  • クリス・ドラン、アントニー・ラゼンビー著『物理学者のための幾何代数』ケンブリッジ、2003年

記事

  • ベイリス, WE (2004-11-01). 「入門物理学における相対論」. Canadian Journal of Physics . 82 (11). Canadian Science Publishing: 853– 873. arXiv : physics/0406158 . Bibcode :2004CaJPh..82..853B. doi :10.1139/p04-058. ISSN  0008-4204. S2CID  35027499.
  • Doran, C.; Hestenes, D.; Sommen, F.; Van Acker, N. (1993). 「リー群をスピン群として」. Journal of Mathematical Physics . 34 (8). AIP Publishing: 3642– 3669. Bibcode :1993JMP....34.3642D. doi :10.1063/1.530050. ISSN  0022-2488.
  • Cabrera, R.; Rangan, C.; Baylis, WE (2007-09-04). 「n量子ビットシステムのコヒーレント制御のための十分条件」. Physical Review A. 76 ( 3) 033401. アメリカ物理学会 (APS). arXiv : quant-ph/0703220 . Bibcode :2007PhRvA..76c3401C. doi :10.1103/physreva.76.033401. ISSN  1050-2947. S2CID  45060566.
  • Vaz, Jayme; Mann, Stephen (2018). 「パラベクトルと3次元ユークリッド空間の幾何学」.応用クリフォード代数の進歩. 28 (5). Springer Science and Business Media LLC: 99. arXiv : 1810.09389 . doi :10.1007/s00006-018-0916-1. ISSN  0188-7009. S2CID  253600966.
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