パーリアグループ

散在する単純群間の関係。モンスター群Mが頂点にあり、そこから派生する群が幸福な家族である。M
への上向きの経路でつながっていない6つの群（白い楕円）は、パーリアである。

群論において、パリアという用語は、モンスター群の部分商ではない6つの散在単純群を指すために、ロバート・グリースによってグリース（1982）で導入されました。

モンスター グループ自体も含めた部分商である 20 個のグループを、彼は「幸せな家族」と名付けました。

例えば、J ₄とライオンズ群Lyの位数は37で割り切れる。37はモンスターの位数を割り切れないため、これらはモンスターの約数にはならない。したがって、J ₄とLy はパーリアである。1982年にはグリースによって他の3つの散在群もパーリアであることが示され、 1986年にはロバート・A・ウィルソンによってヤンコ群 J ₁が最後のパーリアであることが示された。

社会ののけ者集団

パーリアグループのリスト

グループ	サイズ	おおよその サイズ	因数分解順序	順序の 最初の 欠落した素数
ライオンズグループ、Ly	51 765 179 004 000 000	5 × 10^16	2 ^8 · 3 ^7 · 5 ^6 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67	13
オナングループ、O'N	460 815 505 920	5 × 10^11	2 ^9 · 3 ^4 · 5 · 7 ^3 · 11 · 19 · 31	13
ルドヴァリスグループ、Ru	145 926 144 000	1 × 10^11	2 ^14 · 3 ^3 · 5 ^3 · 7 · 13 · 29	11
ヤンコグループ、J 4	86 775 571 046 077 562 880	9 × 10^19	2 ^21 · 3 ^3 · 5 · 7 · 11 ^3 · 23 · 29 · 31 · 37 · 43	13
ヤンコグループ、J 3	50 232 960	5 × 10^7	2 ^7 · 3 ^5 · 5 · 17 · 19	7
ヤンコグループ、J 1	175 560	2 × 10^5	2 ^3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19	13

ライオンズグループ

ライオンズ群 は、 （同型を除いて）反転において となる唯一の群である。ここでは交代群の被覆群であり、において弱閉ではない。これらの群の名前の由来となったリチャード・ライオンズは、その順序を含むこれらの群の特性を初めて考察した人物であり、チャールズ・シムズは機械計算によって、そのような群が存在し、かつ唯一であることを証明した。この群の順序は である。^[1]${\displaystyle Ly}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C_{G}(t)}$ ${\displaystyle A_{11}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C_{G}(t)}$ ${\displaystyle 2^{8}\cdot 3^{7}\cdot 5^{6}\cdot 7\cdot 11\cdot 31\cdot 37\cdot 67}$

オナングループ

群論として知られる抽象代数学の分野において、オナン群O'Nまたはオナン・シムズ群は、位数の散在する単純群である。

   460,815,505,920 = 2 ⁹  · 3 ⁴  · 5  · 7 ³  · 11  · 19  · 31 ≈ 5 × 10¹¹ .

ルドヴァリスグループ

ルドヴァリス群は、 4060文字上の階数3の置換群であり、点の安定群はリー群である有限単純群である。この群はアルナス・ルドヴァリスによって記述され、彼はそのような群の存在を証明した。この群の位数は である。^[2]${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 145,926,144,000=2^{14}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13\cdot 29}$

ヤンコグループ

J₄

群論として知られる現代代数学の分野において、ヤンコ群 J ₄は、次数の散在単純群である。

   86,775,571,046,077,562,880

= 2 ²¹  · 3 ³  · 5  · 7  · 11 ³  · 23  · 29  · 31  · 37  · 43

≈ 9 × 10¹⁹。

J₃

群論として知られる現代代数学の分野において、ヤンコ群 J ₃またはヒグマン・ヤンコ・マッケイ群HJMは、散在的な単純群であり、

   50,232,960 = 2 ⁷  · 3 ⁵  · 5  · 17  · 19。

J₁

群論として知られる現代代数学の分野において、ヤンコ群 J ₁は散在的な単純群であり、

${\displaystyle 175,560=2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 19\approx 2\times 10^{5}}$ 。

参考文献

1. Aschbacher, Michael; Segev, Yoav (1992). 「ライオンズ型群の一意性」.アメリカ数学会誌. 5 (1): 75– 98. doi :10.2307/2152751. ISSN  0894-0347.
2. Conway, JH; Wales, DB (1973年12月). 「位数145,926,144,000のルドヴァリス群の構築」. Journal of Algebra . 27 (3): 538– 548.

• Griess、Robert L. (1982 年 2 月)、「The Friendly Giant」(PDF)、Inventiones Mathematicae、69 (1): 1–102、Bibcode :1982InMat..69....1G、doi :10.1007/BF01389186、hdl : 2027.42/46608、ISSN  0020-9910、MR  0671653、S2CID  123597150
• ロバート・A・ウィルソン(1986). J1はモンスター群の部分群か?, Bull. London Math. Soc. 18, no. 4 (1986), 349-350