パーセヴァルの正体

数学解析学において、マルク＝アントワーヌ・パーセヴァルにちなんで名付けられたパーセヴァルの恒等式は、関数のフーリエ級数の和算可能性に関する基本的な結果である。この恒等式は、周期信号のエネルギー（信号の振幅の二乗の積分として与えられる）と、その周波数領域表現のエネルギー（振幅の二乗の和として与えられる）が等しいことを主張する。幾何学的には、これは内積空間（基底ベクトルの数が無数に存在する可能性がある） に対する一般化されたピタゴラスの定理である。

この恒等式は、関数のフーリエ係数の平方和が関数の平方の積分に等しい ことを主張する。 ここで、フーリエ係数は次のように与えられる。 $${\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}(-\pi ,\pi )}^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2},}$$ ${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx.}$$

結果は、二乗積分可能な関数、またはより一般的にはL ^p空間にある関数であれば、前述の通り成立する。同様の結果がプランシュレルの定理であり、関数のフーリエ変換の二乗積分は関数自身の二乗積分に等しいと主張する。1次元の場合、${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ].}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ),}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.}$$

ピタゴラスの定理の一般化

この恒等式は、より一般的な可分ヒルベルト空間の設定において、ピタゴラスの定理と以下のように関連している。 が内積を持つヒルベルト空間であるとする。 がの直交基底である とする。すなわち、の線型張がにおいて稠密であり、 が互いに直交する。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle .}$ ${\displaystyle \left(e_{n}\right)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle e_{n}}$

${\displaystyle \langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}~m=n\\0&{\mbox{if}}~m\neq n.\end{cases}}}$

するとパーセヴァルの恒等式は、すべての${\displaystyle x\in H,}$ $${\displaystyle \sum _{n}\left|\left\langle x,e_{n}\right\rangle \right|^{2}=\|x\|^{2}.}$$

これはピタゴラスの定理に直接類似しており、これはベクトルの成分の平方和が正規直交基底においてベクトルの長さの平方に等しいことを主張する。パーセヴァルの等式をフーリエ級数的に表すには、 をヒルベルト空間とし、 を設定する。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ],}$ ${\displaystyle e_{n}=e^{inx}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

より一般的には、パーセバルの恒等式は任意のヒルベルト空間に対して成り立ちますが、必ずしも可分ではありません。ヒルベルト空間 が可分でない場合、任意の直交基底は無数であり、級数の概念を次のように無条件和へと一般化する必要があります。ヒルベルト空間 の直交基底（ただし は任意の濃度を持つ）とすると、任意の に対して が存在する有限部分集合が存在し、任意 の有限部分集合のペアに対してを含む（つまり である）とき、 が無条件収束すると 言います。この場合、無条件和を定義するために ネットを使用していることに注意してください。${\displaystyle \{e_{r}\}_{r\in \Gamma }}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\textstyle \sum _{r\in \Gamma }a_{r}e_{r}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle A\subset \Gamma }$ $${\displaystyle \left\|\sum _{r\in B}a_{r}e_{r}-\sum _{r\in C}a_{r}e_{r}\right\|<\epsilon }$$ ${\displaystyle B,C\subset \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subset B\cap C}$

参照

• パーセバルの定理 – 数学における定理

参考文献

• 「パーセバルの等式」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ジョンソン、リー・W.; リース、R.ディーン（1982年）、数値解析（第2版）、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー、ISBN 0-201-10392-3。
• ティッチマーシュ、E（1939年）、関数論（第2版）、オックスフォード大学出版局。
• ジグムンド、アントニ（1968年）、三角関数シリーズ（第2版）、ケンブリッジ大学出版局（1988年出版）、ISBN 978-0-521-35885-9。