パルタサラシーの定理

数学、特に単位正方形上のゲーム研究において、パルタサラシーの定理はフォン・ノイマンのミニマックス定理の一般化である。これは、特定のクラスのゲームは、少なくとも1人のプレイヤーがルベーグ測度に関して絶対連続分布に制限された戦略を持つ（言い換えれば、1人のプレイヤーは純粋戦略を使用することが禁じられている）という条件で、混合価値を持つということを述べている。

この定理はThiruvenkatachari Parthasarathyに帰せられます。

定理

および は単位区間を表し、は における確率分布の集合を表します（ も同様に定義されます）。また はにおける絶対連続分布の集合を表します（ も同様に定義されます）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{Y}}$ ${\displaystyle A_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{Y}}$

が単位正方形上で有界であり、が（ ）の形の有限個の曲線上を除いて連続であるとする。ここで は連続関数である。 に対して、定義する。 ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):0\leq x,y\leq 1\}}$ ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle y=\phi _{k}(x)}$ ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \phi _{k}(x)}$ ${\displaystyle \mu \in M_{X},\lambda \in M_{Y}}$

${\displaystyle k(\mu ,\lambda )=\int _{y=0}^{1}\int _{x=0}^{1}k(x,y)\,d\mu (x)\,d\lambda (y)=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}k(x,y)\,d\lambda (y)\,d\mu (x).}$

それから

${\displaystyle \max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in A_{Y}}k(\mu ,\lambda )=\inf _{\lambda \in A_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda ).}$

これは、 によって誘導されるゲームには価値があるという主張と同等である。ただし、一方のプレイヤー（ WLOG）は純粋戦略を用いることが禁じられていることに注意されたい。 ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle Y}$

パルタサラシーは、

${\displaystyle \max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}k(\mu ,\lambda )\neq \inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda )}$

したがって、これは価値がない。この場合、どちらのプレイヤーも絶対連続分布に制限されないため、矛盾は生じない（そして、ゲームに価値がないことを証明するには、両方のプレイヤーが純粋戦略を使用する必要がある）。

参考文献

• T. Parthasarathy 1970. 単位正方形上のゲームについて、SIAM、第 19 巻、第 2 号。