複素解析における部分分数

複素解析において、部分分数展開とは、有理関数と多項式の無限和として有理型関数 を記述する方法である。が有理関数である場合、これは通常の部分分数展開法に帰着する。 ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$

動機

多項式の長除法と代数学の部分分数法を用いることで、任意の有理関数は の形式の項の和として表すことができます。ここで、と は複素数、は整数、は多項式です。多項式の因数分解がワイエルシュトラスの因数分解定理に一般化できるのと同様に、特定の有理型関数の部分分数展開にも類似点があります ${\textstyle {\frac {1}{(az+b)^{k}}}+p(z)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p(z)}$

真有理関数（分母の次数が分子の次数よりも大きい関数）は、多項式項を含まない部分分数展開を持つ。同様に、 が0に近づくのに対し、 が無限大に近づくのと少なくとも同じ速さで近づく有理型関数は、多項式項を含まない展開を持つ。 ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle |f(z)|}$ ${\displaystyle z}$ ${\textstyle |{\frac {1}{z}}|}$

計算

を有限複素平面上の有理型関数とし、を単閉曲線の列とし、次を満たすものと します${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \lambda_{1},\lambda_{2},...}$ ${\displaystyle (\Gamma _{1},\Gamma _{2},...)}$

• 原点は各曲線の内側にある${\displaystyle \Gamma_{k}}$
• 曲線は極を通過しない${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \Gamma_{k}}$ すべての人の内側にある${\displaystyle \Gamma_{k+1}}$ ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}d(\Gamma_{k})=\infty}$ 、ここで曲線から原点までの距離を与える。${\displaystyle d(\Gamma_{k})}$
• このセクションの最後で説明する、極との適合性のもう1つの条件${\displaystyle \lambda_{k}}$

また、次のような 整数が存在すると仮定する。${\displaystyle p}$

${\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\oint_{\Gamma_{k}}\left|{\frac{f(z)}{z^{p+1}}}\right||dz|<\infty}$

点のローラン展開の主部について書くと、 ${\displaystyle \operatorname {PP} (f(z);z=\lambda_{k})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda_{k}}$

${\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\operatorname{PP} (f(z);z=\lambda_{k}),}$

もしならば 、${\displaystyle p=-1}$ ${\displaystyle p>-1}$

${\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}(\operatorname{PP}(f(z);z=\lambda_{k})+c_{0,k}+c_{1,k}z+\cdots+c_{p,k}z^{p}),}$

ここで係数は次のように与えられる。 ${\displaystyle c_{j,k}}$

${\displaystyle c_{j,k}=\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}{\frac {f(z)}{z^{j+1}}}}$

${\displaystyle \lambda_{0}}$ は 0 に設定する必要があります。これは、それ自体が 0 に極を持たない場合でも、の留数は合計に含める必要があるためです。 ${\displaystyle f(z)}$ ${\textstyle {\frac{f(z)}{z^{j+1}}}}$ ${\displaystyle z=0}$

の場合、原点付近 のローラン展開を使って、${\displaystyle \lambda_{0}=0}$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)={\frac {a_{-m}}{z^{m}}}+{\frac {a_{-m+1}}{z^{m-1}}}+\cdots +a_{0}+a_{1}z+\cdots }$

${\displaystyle c_{j,k}=\operatorname {Res} _{z=0}\left({\frac {a_{-m}}{z^{m+j+1}}}+{\frac {a_{-m+1}}{z^{m+j}}}+\cdots +{\frac {a_{j}}{z}}+\cdots \right)=a_{j},}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{p}c_{j,k}z^{j}=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{p}z^{p}}$

となるので、寄与される多項式項はまでのローラン級数の正規部分とまったく同じになります。 ${\displaystyle z^{p}}$

他の極については、留数計算から取り出すことができます。 ${\displaystyle \lambda_{k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\textstyle {\frac {1}{z^{j+1}}}}$

${\displaystyle c_{j,k}={\frac {1}{\lambda _{k}^{j+1}}}\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}f(z)}$

${\displaystyle \sum_{j=0}^{p}c_{j,k}z^{j}=[\operatorname {Res}_{z=\lambda_{k}}f(z)]\sum_{j=0}^{p}{\frac{1}{\lambda_{k}^{j+1}}}z^{j}}$

• 収束の問題を回避するには、が の内部にある場合、もすべての に対して の内部にあるように極を順序付ける必要があります。${\displaystyle \lambda_{k}}$ ${\displaystyle \Gamma_{n}}$ ${\displaystyle \lambda_{j}}$ ${\displaystyle \Gamma_{n}}$ ${\displaystyle j<k}$

例

無限個の極を持つ最も単純な有理型関数は、非整三角関数です。例えば、は に極を持つ有理型関数です。等高線はを頂点とする正方形で、反時計回りに を辿ります。これは必要な条件を満たすことが容易にわかります ${\displaystyle \tan(z)}$ ${\textstyle (n+{\frac {1}{2}})\pi }$ ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,...}$ ${\displaystyle \Gamma_{k}}$ ${\displaystyle \pm \pi k\pm \pi ki}$ ${\displaystyle k>1}$

の水平方向の側面には、 ${\displaystyle \Gamma_{k}}$

${\displaystyle z=t\pm \pi ki,\ \ t\in [-\pi k,\pi k],}$

したがって

${\displaystyle |\tan(z)|^{2}=\left|{\frac {\sin(t)\cosh(\pi k)\pm i\cos(t)\sinh(\pi k)}{\cos(t)\cosh(\pi k)\pm i\sin(t)\sinh(\pi k)}}\right|^{2}}$

${\displaystyle |\tan(z)|^{2}={\frac {\sin ^{2}(t)\cosh ^{2}(\pi k)+\cos ^{2}(t)\sinh ^{2}(\pi k)}{\cos ^{2}(t)\cosh ^{2}(\pi k)+\sin ^{2}(t)\sinh ^{2}(\pi k)}}}$

${\displaystyle \sinh(x)<\cosh(x)}$ すべての実数 に対して、となり ${\displaystyle x}$

${\displaystyle |\tan(z)|^{2}<{\frac {\cosh ^{2}(\pi k)(\sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t))}{\sinh ^{2}(\pi k)(\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t))}}=\coth ^{2}(\pi k)}$

は連続で減少し、1 を下回ると有界となるため、 の水平方向の両側では となります。同様 に、の垂直方向の両側では となります${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle \coth(x)}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle |\tan(z)|<\coth(\pi )}$ ${\displaystyle |\tan(z)|<1}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

この境界で、次のことがわかります。 ${\displaystyle |\tan(z)|}$

${\displaystyle \oint _{\Gamma _{k}}\left|{\frac {\tan(z)}{z}}\right|dz\leq \operatorname {length} (\Gamma _{k})\max _{z\in \Gamma _{k}}\left|{\frac {\tan(z)}{z}}\right|<8k\pi {\frac {\coth(\pi )}{k\pi }}=8\coth(\pi )<\infty .}$

つまり、におけるの最大値はの最小値、つまり のときに発生します。 ${\textstyle |{\frac {1}{z}}|}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle k\pi }$

したがって、の部分分数展開は次のようになる。 ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle \tan(z)}$

${\displaystyle \tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(\operatorname {PP} (\tan(z);z=\lambda _{k})+\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}{\frac {\tan(z)}{z}}).}$

のすべての極は単純で剰余は-1 なので、主成分と剰余は計算が簡単です。${\displaystyle \tan(z)}$

${\displaystyle \operatorname {PP} (\tan(z);z=(n+{\frac {1}{2}})\pi )={\frac {-1}{z-(n+{\frac {1}{2}})\pi }}}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=(n+{\frac {1}{2}})\pi }{\frac {\tan(z)}{z}}={\frac {-1}{(n+{\frac {1}{2}})\pi }}}$

と は両方とも0で解析的であるため、は無視でき、 、 等となるように極を並べると、 ${\displaystyle \lambda _{0}=0}$ ${\displaystyle \tan(z)}$ ${\textstyle {\frac {\tan(z)}{z}}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\textstyle \lambda _{1}={\frac {\pi }{2}},\lambda _{2}={\frac {-\pi }{2}},\lambda _{3}={\frac {3\pi }{2}}}$

${\displaystyle \tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[\left({\frac {-1}{z-(k+{\frac {1}{2}})\pi }}-{\frac {1}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)+\left({\frac {-1}{z+(k+{\frac {1}{2}})\pi }}+{\frac {1}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)\right]}$

${\displaystyle \tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-2z}{z^{2}-(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}}$

応用

無限積

部分分数展開はしばしば の和を与えるため、関数を無限積として表す方法を見つけるのに役立ちます。両辺を積分すると対数の和が得られ、べき乗すると目的の積が得られます ${\textstyle {\frac {1}{a+bz}}}$

${\displaystyle \tan(z)=-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{z-(k+{\frac {1}{2}})\pi }}+{\frac {1}{z+(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{z}\tan(w)dw=\log \sec z}$

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {1}{w\pm (k+{\frac {1}{2}})\pi }}dw=\log \left(1\pm {\frac {z}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)}$

いくつかの対数規則を適用すると、

${\displaystyle \log \sec z=-\sum _{k=0}^{\infty }\left(\log \left(1-{\frac {z}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)+\log \left(1+{\frac {z}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)\right)}$

${\displaystyle \log \cos z=\sum _{k=0}^{\infty }\log \left(1-{\frac {z^{2}}{(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}\right),}$

最終的に

${\displaystyle \cos z=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

ローラン級数

関数の部分分数展開は、和の中の有理関数をそのローラン級数に置き換えるだけで、その関数のローラン級数を求めるのにも使えます。ローラン級数は閉じた形で書くのが難しくないことが多いです。ローラン級数が既にわかっている場合、これは興味深い恒等式につながることもあります

思い出してください

${\displaystyle \tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-2z}{z^{2}-(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-8z}{4z^{2}-(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}.}$

等比級数を使って加数を展開することができます。

${\displaystyle {\frac {-8z}{4z^{2}-(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}={\frac {8z}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}{\frac {1}{1-({\frac {2z}{(2k+1)\pi }})^{2}}}={\frac {8}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}}{(2k+1)^{2n}\pi ^{2n}}}z^{2n+1}.}$

代入し直すと、

${\displaystyle \tan(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n+2}}{(2k+1)^{2n+2}\pi ^{2n+2}}}z^{2n+1},}$

これは、約のローラン（テイラー）級数の係数が ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \tan(z)}$ ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle a_{2n+1}={\frac {T_{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2n+2}}}}$

${\displaystyle a_{2n}={\frac {T_{2n}}{(2n)!}}=0,}$

接線数はどこにありますか。 ${\displaystyle T_{n}}$

逆に、この式を のテイラー展開と比較して無限和を計算することも できます。${\displaystyle \tan(z)}$ ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle \tan(z)=z+{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {2}{15}}z^{5}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{2^{3}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{4}}}={\frac {1}{3}}{\frac {\pi ^{4}}{2^{5}}}={\frac {\pi ^{4}}{96}}.}$

参照

• 部分分数
• 線積分
• 留数（複素解析）
• 留数定理

参考文献

• Markushevich, A.I.複素変数関数の理論．リチャード・A・シルバーマン訳．第2巻．イングルウッド・クリフス，ニュージャージー：プレンティス・ホール，1965年．