ニュートン力学

物理学において、ニュートン力学（ニュートン力学とも呼ばれる）は、ニュートンの運動の法則に従って粒子または小物体の力学を研究する学問である。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

数学的一般化

ニュートン力学は典型的には、平坦な三次元ユークリッド空間で起こります。しかし、数学においては、ニュートンの運動法則は多次元空間や曲面空間にも一般化されます。ニュートン力学という用語は、ニュートンの第二法則 を指すことが多いです。 ${\displaystyle \displaystyle m\,\mathbf {a} =\mathbf {F} }$

多次元空間におけるニュートンの第二法則

正則三次元ユークリッド空間における質量を持つ粒子を考えます。それらの動径ベクトルをある慣性座標系とします。すると、これらの粒子の運動は、ニュートンの第二法則によってそれぞれ支配されます。 ${\displaystyle \displaystyle N}$ ${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}=\mathbf {v} _{i},\qquad {\frac {d\mathbf {v} _{i}}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{N},t)}{m_{i}}},\quad i=1,\ldots ,N.}$

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3次元の半径ベクトルは1次元の半径ベクトルに組み込むことができます。同様に、3次元の速度ベクトルは1次元の速度ベクトル に組み込むことができます。${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$ ${\displaystyle \displaystyle n=3N}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}}$ ${\displaystyle \displaystyle n=3N}$

${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{Vmatrix}\mathbf {r} _{1}\\\vdots \\\mathbf {r} _{N}\end{Vmatrix}},\qquad \qquad \mathbf {v} ={\begin{Vmatrix}\mathbf {v} _{1}\\\vdots \\\mathbf {v} _{N}\end{Vmatrix}}.}$

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多次元ベクトル（ ２ ）に関して、式（１）は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} ,\qquad {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t),}$

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つまり、ニュートンの第2法則を単位質量を持つ単一の粒子に適用した形になります。 ${\displaystyle \displaystyle m=1}$

定義。方程式( 3 )は、平坦な多次元ユークリッド空間におけるニュートン力学系の方程式と呼ばれ、この空間はこの系の配置空間と呼ばれる。その点は動径ベクトルで示される 。ベクトルの対で示される点からなる空間は、力学系( 3 )の位相空間と呼ばれる。 ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$

ユークリッド構造

力学系( 3 )の配置空間と位相空間はどちらもユークリッド空間、すなわちユークリッド構造を備えている。これらのユークリッド構造は、単位質量を持つ単一の多次元粒子の運動エネルギーが、質量を持つ三次元粒子の運動エネルギーの和に等しくなるように定義される。 ${\displaystyle \displaystyle m=1}$ ${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$

${\displaystyle T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}}$ 。

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制約と内部座標

場合によっては、質量を持つ粒子の運動は制約を受けることがあります。典型的な制約は、次のようなスカラー方程式のようになります。 ${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$

${\displaystyle \displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K}$ 。

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（ 5 ）の形の制約はホロノミック制約およびスクレロノミック制約と呼ばれる。ニュートン力学系（3 ）の動径ベクトルを用いて、これらは次のように表される。 ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} )=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K}$ 。

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このような制約はそれぞれ、ニュートン力学系の自由度を1つずつ減少させる（3）。したがって、制約された系は自由度を持つ。 ${\displaystyle \displaystyle n=3\,N-K}$

定義. 制約方程式( 6 )は、ニュートン力学系( 3 )の配置空間内に次元多様体を定義する。この多様体は制約系の配置空間と呼ばれる。その接束は制約系の位相空間と呼ばれる。 ${\displaystyle \displaystyle n}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle TM}$

を の点の内部座標とします。これらの用法はラグランジアン力学において典型的です。動径ベクトルはの何らかの定関数として表されます。 ${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$

${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q^{1},\,\ldots ,\,q^{n})}$ 。

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ベクトル関数( 7 )は制約方程式( 6 )を、( 7 )を( 6 )に代入すると方程式( 6 )が同様に満たされるという意味で解決する。 ${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$

速度ベクトルの内部表現

制約ニュートン力学系の速度ベクトルはベクトル関数（7）の偏微分で表される。

${\displaystyle \displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}}$ 。

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これらの量は速度ベクトルの内部成分と呼ばれる。これらは別の記号で表記されることもある。 ${\displaystyle \displaystyle {\dot {q}}^{1},\,\ldots ,\,{\dot {q}}^{n}}$

${\displaystyle \displaystyle {\dot {q}}^{i}=w^{i},\qquad i=1,\,\ldots ,\,n}$

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そして独立変数として扱われる。

${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n},\,w^{1},\,\ldots ,\,w^{n}}$

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制約付きニュートン力学系の 位相空間の点の内部座標として使用されます。${\displaystyle \displaystyle TM}$

埋め込みと誘導リーマン計量

幾何学的には、ベクトル関数( 7 )は、制約付きニュートン力学系の配置空間を、制約なしニュートン力学系( 3 )の次元平坦配置空間に埋め込むことを実現する。この埋め込みにより、周囲空間のユークリッド構造は多様体上にリーマン計量を誘導する。この誘導計量の計量テンソルの成分は、次式で与えられる。 ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle 3\,N}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$

${\displaystyle \displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)}$ 、

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ここで、はユークリッド構造（ 4 ）に関連付けられたスカラー積である。 ${\displaystyle \displaystyle (\ ,\ )}$

制約付きニュートン力学系の運動エネルギー

制約のない粒子系のユークリッド構造は粒子の運動エネルギーを通じて導入されるため、制約のある系の配置空間に誘導されたリーマン構造は運動エネルギーとのこの関係を保存します。 ${\displaystyle \displaystyle N}$ ${\displaystyle \displaystyle N}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}}$ 。

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式（12 ）は、式（ 8）を式（4 ）に代入し、式（ 11） を考慮することによって導かれる。

拘束力

制約付きニュートン力学系の場合、式( 6 )で記述される制約は通常、何らかの力学的枠組みによって実現される。この枠組みは、系をその配置多様体内に維持する力を含むいくつかの補助的な力を生み出す。このような維持力は に垂直であり、法線力と呼ばれる。 ( 6 )からの力は2つの成分に分割される。 ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{\parallel }+\mathbf {F} _{\perp }}$ 。

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( 13 )の最初の成分は配置多様体 に接しています。2番目の成分は に垂直です。 は法線力と一致します。 速度ベクトル ( 8 ) と同様に、接線力は 内部表現を持ちます。 ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$

${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}}$ 。

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（１４ ）の量は力ベクトルの内部成分と呼ばれる。 ${\displaystyle F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}}$

曲がった空間におけるニュートンの第二法則

制約方程式（6 ）によって配置多様体に制約されたニュートン力学系（3 ）は、微分方程式によって記述される。 ${\displaystyle \displaystyle M}$

${\displaystyle {\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {dw^{s}}{dt}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\Gamma _{ij}^{s}\,w^{i}\,w^{j}=F^{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n}$ 、

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ここで、リーマン計量( 11 )によって生成される計量接続のクリストッフェル記号である。 ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{s}}$

ラグランジュ方程式との関係

制約のある機械システムは通常、ラグランジュ方程式で記述されます。

${\displaystyle {\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n}$ 、

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ここで、運動エネルギーは式( 12 )で与えられる制約力学系におけるエネルギーである。( 16 )の量は接線力ベクトルの内部共変成分である（( 13 )および( 14 )参照）。これらは、計量( 11 )を用いた標準的な指数低下手順によって、ベクトルの内部反変成分から生成される。 ${\displaystyle T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})}$ ${\displaystyle Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$ ${\displaystyle F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$

${\displaystyle Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n}$ 、

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式( 16 )は式( 15 )と等価である。しかし、計量( 11 )や配置多様体のその他の幾何学的特徴は式( 16 )では明示されていない。計量( 11 )は、運動エネルギーから次の式を用い て求めることができる。${\displaystyle \displaystyle M}$ ${\displaystyle \displaystyle T}$

${\displaystyle g_{ij}={\frac {\partial ^{2}T}{\partial w^{i}\,\partial w^{j}}}}$ 。

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参照

• 修正ニュートン力学

参考文献

1. フィッツパトリック、リチャード (2021年12月22日).ニュートン力学入門. CRC Press . 序文. ISBN 978-1-000-50957-1。
2. Kasdin, N. Jeremy; Paley, Derek A. (2011-02-22).エンジニアリングダイナミクス：包括的入門.プリンストン大学出版局. p. 11. ISBN 978-1-4008-3907-0。
3. バーバー、ジュリアン・B. (2001). 『力学の発見：マキアン的観点から見た力学理論の発見と構造の研究』オックスフォード大学出版局. p. 19. ISBN 978-0-19-513202-1。