パウル・エルリッヒ

ポール・エルリッヒ（1972年生まれ）は、マサチューセッツ州ボストン近郊在住のギタリスト兼音楽理論家です。彼は、パハラ音律^[¹^]^[²^]とその22-ETにおけるデカトニック音階^[³^]を初めて定義するなど、規則音律理論の発展において重要な役割を果たしたことで知られています。彼はイェール大学で物理学の理学士号を取得しています。

彼の倍音エントロピーの定義は、エルンスト・テルハルト^{[ 4 ]}の影響を受けたファン・エックのモデルを改良したもので、ウィリアム・セサレス^{[ 5 ]}などの音楽理論家から注目を集めている。これは、不協和音の要素の1つを、2つ以上の音高のセットによって呼び起こされる仮想音高（「欠落した基音」）の不確実性の尺度としてモデル化することである。これは、音高を単一の倍音列に当てはめるのがどれほど容易か、困難かを測定する。例えば、ほとんどのリスナーは、倍音七和音を和音よりもはるかに協和的であると評価する。どちらも転回形の下では音符間の音程のセットはまったく同じであるが、最初のものは単一の倍音列（基音ではなく倍音）に当てはめやすい。倍音列では、倍音七和音の整数は、その逆数に比べてはるかに小さい。この理論でモデル化されない不協和音の要素には、臨界帯域の粗さや音調のコンテキストが含まれます (たとえば、12-ETのように、増二度と短三度を同じサイズに調整できる場合でも、増二度は短三度よりも不協和音が大きくなります)。 ${4:5:6:7}$ ${\tfrac {1}{4:5:6:7}}$ ${4:5:6:7}$ ${105:120:140:168}$

ファレイ図の番目の反復では、番目の要素と次に高い要素の間の中線は次のようになります。 $n$ $j$ $f_{j}=a_{j}/b_{j}$

{\frac {a_{j}+a_{j+1}}{b_{j}+b_{j+1}}}

^[あ]

要素と次に低い要素の間の中線が引かれます。

{\frac {a_{j-1}+a_{j}}{b_{j-1}+b_{j}}}

ここから、調和エントロピーを計算するプロセスは次のようになります: (a) 上部の通常の (ガウス) ベル曲線と側面の中央値によって定義される領域を計算します (b) それぞれが確率を表すように、領域の合計を 1 に正規化します (c) その確率セットのエントロピーを計算します調和エントロピーモデルの詳細な説明については、外部リンクを参照してください。

注

^ 2つの比との中線はです ${\tfrac {a}{b}}$ ${\tfrac {c}{d}}$ ${\tfrac {a+c}{b+d}}$

参考文献

^「パハラ」、 Xenharmonic Wiki。2013年10月29日アクセス
^ 「Alternate Tunings Mailing List」、Yahoo!グループ。 2013年11月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年5月3日閲覧{{cite web}}：CS1メンテナンス：ボット：元のURLステータス不明（リンク）。
^ポール・エルリッヒ (1998). 「調律、調性、そして22音平均律」(PDF) .クセンハーモニコン. 17
^ Sethares, William A. (2004).調律、音色、スペクトル、スケール(PDF) . pp. 355– 357.
^セサレス、ウィリアム (2005).『チューニング、音色、スペクトル、スケール』p.371. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 9781852337971。「倍音エントロピーは、音高知覚における不確実性の尺度であり、調性（「複合音の部分音の倍音列への近さ」）の物理的な相関関係を提供します。調性は、不協和音という心理音響学的概念の一側面です。…調性が高いほどエントロピーは低くなり、調性が低いほどエントロピーは高くなります。」

外部リンク

「パウル・エルリッヒの音楽理論」、Lumma.org
「中道：純正律と平均律の間」、DKeenan.com。
「Xenharmonic Wiki の Harmonic Entropy」、en.xen.wiki

[6] 2つの比との中線はです ${\tfrac {a}{b}}$ ${\tfrac {c}{d}}$ ${\tfrac {a+c}{b+d}}$

[xenwiki-1] 「パハラ」、 Xenharmonic Wiki。2013年10月29日アクセス

[tuning-2] 「Alternate Tunings Mailing List」、Yahoo!グループ。 2013年11月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年5月3日閲覧{{cite web}}：CS1メンテナンス：ボット：元のURLステータス不明（リンク）。

[twentytwo-3] ポール・エルリッヒ (1998). 「調律、調性、そして22音平均律」(PDF) .クセンハーモニコン. 17

[harmonicentropy-4] Sethares, William A. (2004).調律、音色、スペクトル、スケール(PDF) . pp. 355– 357.

[5] セサレス、ウィリアム (2005).『チューニング、音色、スペクトル、スケール』p.371. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 9781852337971。「倍音エントロピーは、音高知覚における不確実性の尺度であり、調性（「複合音の部分音の倍音列への近さ」）の物理的な相関関係を提供します。調性は、不協和音という心理音響学的概念の一側面です。…調性が高いほどエントロピーは低くなり、調性が低いほどエントロピーは高くなります。」

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