等価半径

応用科学において、等価半径（または平均半径）とは、円形または球形ではない物体と同じ周長、面積、または体積を持つ円または球の半径です。等価直径（または平均直径）（）は、等価半径の2倍です。 ${\displaystyle D}$

周囲相当長

胸高における樹木の周囲長の測定。直径を表示するように目盛りが付けられています。測定テープは円形です。

半径Rの円の周長はである。円形でない物体Pの周長が与えられれば、その周長相当半径は次のように 計算できる。${\displaystyle 2\pi R}$

${\displaystyle P=2\pi R_{\text{eq}}}$

または、代わりに：

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\frac {P}{2\pi }}}$

例えば、辺Lの正方形の周囲の長さは である。この周囲の長さを円の周囲の長さと等しくすると、 ${\displaystyle 4L}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\frac {4L}{2\pi}}={\frac {2L}{\pi}}\approx 0.6366L}$

用途:

• アメリカの帽子のサイズは、頭囲をインチで測定し、円周率で割り、最も近い1/8インチに丸めたものです。これは1D平均直径に相当します。^[1]
• 胸高直径とは、樹高4.5フィートで測定した樹幹の円周を円周率で割った値です。これは1次元平均直径に相当します。これは胴回り測定テープで直接測定できます。^[2]

面積換算

2次元オブジェクトの面積相当半径は、オブジェクトと同じ面積を持つ円の半径です。

台形開水路の断面積。赤線は水が水路に接する濡れ周長を示しています。水力直径は、濡れ周長と同じ円周を持つ等価円形状です。

半径Rの円の面積はである。円形でない物体Aの面積が与えられれば、その面積相当半径は次のように 計算できる。${\displaystyle \pi R^{2}}$

${\displaystyle A=\pi R_{\text{eq}}^{2}}$

または、代わりに：

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

多くの場合、考慮される領域は断面の領域です。

例えば、辺の長さがLの正方形の面積は である。この面積を円の面積と等しくすると、 ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {L^{2}}{\pi }}}={\sqrt {\frac {1}{\pi }}}L\approx 0.5642L}$

同様に、長半径と短半径を持つ楕円の面積はなので、 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \pi ab}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {\pi ab}{\pi }}}={\sqrt {ab}}}$ 。

用途:

• 水力直径も同様に、管の断面積Aの4倍を「濡れた」周囲長 Pで割ったものとして定義されます。半径Rの円形管の場合、全流量時には、これは

${\displaystyle D_{\text{H}}={\frac {4\pi R^{2}}{2\pi R}}=2R}$

予想通りです。これは上記の2次元平均直径の定義と同じです。しかし、歴史的な理由から、水力半径はパイプの断面積Aをその濡れ周囲長Pで割ったものとして定義され、水力半径は2次元平均半径の半分になります。 ^[3]${\displaystyle D_{\text{H}}=4R_{\text{H}}}$

• 骨材分類において、等価直径とは「等しい骨材断面積を持つ円の直径」であり、次のように計算されます。これは多くのデジタル画像処理プログラムで使用されています。^[4]${\displaystyle D=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

体積換算値

球体（上）、回転楕円体（左）、三軸楕円体（右）

半径Rの球の体積はである。球体でない物体の体積Vが与えられれば、その体積相当半径は次のように 計算できる。${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R_{\text{eq}}^{3}}$

または、代わりに：

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}}$

例えば、辺の長さがLの立方体の体積は である。この体積を球体の体積と等しくすると、 ${\displaystyle L^{3}}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3L^{3}}{4\pi }}}={\sqrt[{3}]{\frac {3}{4\pi }}}L\approx 0.6204L}$

同様に、軸、 、を持つ三軸楕円体の体積は であり、したがって^[5]${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3{\frac {4}{3}}\pi abc}{4\pi }}}={\sqrt[{3}]{abc}}}$ 。

回転楕円体の式は、${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{a^{2}\cdot c}}}$ . ^[6]

用途:

• 地球は、半径が6 378.1 kmと6 356 .8 km、3次元平均半径は である。^[6]${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6378.1^{2}\cdot 6356.8}}=6371.0{\text{km}}}$

その他の同等性

表面積相当半径

半径Rの球の表面積はである。球形ではない物体Aの表面積が与えられれば、その表面積相当半径は次のように計算できる。 ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$

${\displaystyle 4\pi R_{\text{eq}}^{2}=A}$

または同等

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}}$

例えば、長さLの立方体の表面積は である。したがって、立方体の表面積相当半径は ${\displaystyle 6L^{2}}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {6L^{2}}{4\pi }}}\approx 0.6910L}$

曲率相当半径

接触円

接触円と接触球は、それぞれ平面図形と立体図形 の特定の接点における曲率等価半径を定義します。

参照

• アンテナ等価半径
• 雲滴有効半径
• 立方平均
• 地球楕円体
• 地球の半径
• 銀河の有効半径
• ジオイド
• 幾何平均
• 半径

参考文献

1. ベロ, イグナシオ; ブリトン, ジャック・ロルフ (1993). 『現代数学の話題』（第5版）. レキシントン, マサチューセッツ州: DC Heath. p. 512. ISBN 978-0-669-28957-2。
2. West, PW (2004). 「幹の直径」.樹木と森林の測定. ニューヨーク: Springer. pp. 13ff. ISBN 978-3-540-40390-6。
3. Wei, Maoxing; Cheng, Nian-Sheng; Lu, Yesheng (2023年10月). 「水力半径の概念の再考」. Journal of Hydrology . 625 (Part B) 130134. Bibcode :2023JHyd..62530134W. doi :10.1016/j.jhydrol.2023.130134.
4. 孫 立軍 (2016). 「アスファルト混合物の均質性」.アスファルト舗装の構造挙動. pp.  821– 921. doi :10.1016/B978-0-12-849908-5.00013-4. ISBN 978-0-12-849908-5。
5. Leconte, J.; Lai, D.; Chabrier, G. (2011). 「歪んだ非球形のトランジット惑星：トランジット深度と半径測定への影響」（PDF） . Astronomy & Astrophysics . 528 A41. arXiv : 1101.2813 . Bibcode :2011A&A...528A..41L. doi :10.1051/0004-6361/201015811.
6. Chambat, F.; Valette, B. (2001). 「地球モデル参照のための平均半径、質量、慣性」(PDF) .地球惑星内部の物理学. 124 ( 3–4 ): 4. Bibcode :2001PEPI..124..237C. doi :10.1016/S0031-9201(01)00200-X.