トポロジカル絶縁体とトポロジカル超伝導体の周期表

トポロジカル絶縁体とトポロジカル超伝導体の周期表は、トポロジカル絶縁体とトポロジカル超伝導体の10分類とも呼ばれ、凝縮物質物理学への位相幾何学の応用である。次元と離散対称性クラスを与えられた、トポロジカル絶縁体とトポロジカル超伝導体の位相不変量の数学的群を示す。 ^[1] 10個の可能な離散対称性ファミリーは、粒子-正孔対称性、時間反転対称性、およびカイラル対称性の3つの主要な対称性に従って分類される。この表は、2008年から2010年の間に^{[1] Andreas P. Schnyder、} Shinsei Ryu、Akira Furusaki、Andreas WW Ludwigの共同作業によって、 ^{[2] [3]および}Alexei Kitaevによって独立して作成された。^[4]

概要

トポロジカル絶縁体と超伝導体の周期表（1次元から3次元まで）^[1]

対称性クラス	手術			寸法
	${\displaystyle T^{2}}$	${\displaystyle C^{2}}$	${\displaystyle S^{2}}$	1	2	3
あ	X	X	X	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$
AIII	X	X	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
人工知能	1	X	X	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
BDI	1	1	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
D	X	1	X	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$
DIII	-1	1	1	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
すべて	-1	X	X	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
CII	-1	-1	1	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
C	X	-1	X	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$
CI	1	-1	1	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$

この表は、エネルギーギャップを持つトポロジカル絶縁体およびトポロジカル超伝導体において、粒子間相互作用を除外した場合に適用されます。粒子間相互作用を考慮すると、この表は有効ではなくなります。^[1]

トポロジカル絶縁体と超伝導体は、ここではアルトランド・ツィルンバウアー分類にちなんで名付けられた10個の対称性クラス（A、AII、AI、BDI、D、DIII、AII、CII、C、CI）に分類されます。これらのクラスは、時間反転演算子、電荷共役、およびカイラル対称性の3つの演算子に関する系の特性によって定義されます。対称性クラスは、ボット時計（下記参照）に従って順序付けられ、対角線上で同じ値が繰り返されます。^[5]${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$

「対称性」の表にあるXは、与えられた演算子に関してハミルトニアンの対称性が破れていることを示します。±1の値は、その系における演算子の2乗値を示します。 ^[5]

次元はシステムの次元数を示します。1次元（鎖）、2次元（平面）、3次元の格子です。任意の正の整数次元まで拡張できます。以下では、与えられたクラスと次元に対して、4つのグループ値が表形式で示されています。^[5]

• 値 0 は、そのクラスと次元にトポロジ フェーズが存在しないことを示します。
• このグループは、位相不変量が整数値 (例: ±0、±1、±2、...) を取ることができることを示します。${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• のグループは、位相不変量が偶数値 (例: ±0、±2、±4、...) をとれることを示します。${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$
• のグループは、位相不変量が 2 つの値 (例: ±1) を取ることができることを示します。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

物理的な例

非カイラルなSu-Schrieffer-Heeger模型( )は、ゲージ不変性による整数位相不変量を持つ対称性クラスBDIに関連付けることができる。^{[6] [7]この問題は、整数}チャーン数を持つAクラスの整数量子ホール効果と量子異常ホール効果（両方とも）に似ている。^[8]${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

対照的に、キタエフ鎖（）もBDIクラスに属しますが、磁場が存在すると、2元位相不変量を持つ対称性クラスDの例になります。^[7]同様に、超伝導体（）もDクラスに属しますが、位相不変量を持ちます。^[7]${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle p_{x}+ip_{y}}$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

ケイン・メレ模型によって記述される量子スピンホール効果（）は、位相不変量を持つAIIクラスの例である 。^[9]${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

工事

離散対称性クラス

位相絶縁体と超伝導体には10個の離散対称性類があり、これらはランダム行列の10個のアルトランド・ツィルンバウアー類に対応している。これらはハミルトニアン の3つの対称性によって定義される（ここで、 、、 は任意の空間基底におけるモード の消滅演算子と生成演算子である）。すなわち、時間反転対称性、粒子-正孔（または電荷共役）対称性、およびカイラル（または部分格子）対称性である。 ${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i,j}H_{ij}c_{i}^{\dagger }c_{j}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle i}$

• カイラル対称性は、 に対してユニタリ回転 ( ,)として作用し、 を満たすユニタリ演算子 です。ハミルトニアンは、 のある選択に対して のときカイラル対称性を持ちます(第一量子化ハミルトニアンのレベルでは、これはと が反交換行列であることを意味します)。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle Sc_{i}S^{-1}=(U_{S})_{ij}c_{j}}$ ${\displaystyle S^{2}=1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S{\hat {H}}S^{-1}=-{\hat {H}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U_{S}}$ ${\displaystyle H}$

• 時間反転対称性（TRS）は反ユニタリー演算子 で、（は任意の複素係数、 は複素共役を表す） に として作用します。は複素共役演算子、はユニタリー行列と書くことができます。 またはです。時間反転対称性を持つハミルトニアンは、あるいは第一量子化行列のレベルで（ の何らかの選択に対して）を満たします。${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \alpha c_{i}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle T\alpha c_{i}T^{-1}=\alpha ^{*}{(U_{T})}_{ij}c_{j}}$ ${\displaystyle T=U_{T}{\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle U_{T}}$ ${\displaystyle T^{2}=1}$ ${\displaystyle T^{2}=-1}$ ${\displaystyle T{\hat {H}}T^{-1}={\hat {H}}}$ ${\displaystyle U_{T}H^{*}U_{T}^{-1}=H}$ ${\displaystyle U_{T}}$

• 電荷共役または粒子空孔対称性（PHS）もまた反ユニタリー演算子であり、 に作用し、と書くことができます。ここではユニタリーです。ここでも、が何であるかによって、または のいずれかになります。粒子空孔対称性を持つハミルトニアンは を満たすか、第一量子化ハミルトニアン行列のレベルで を満たすか、 のある特定の に対して を満たします。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha c_{i}}$ ${\displaystyle C\alpha c_{i}C^{-1}=\alpha ^{*}(U_{C}^{\dagger })_{ji}c_{j}}$ ${\displaystyle C=U_{C}{\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle U_{C}}$ ${\displaystyle C^{2}=1}$ ${\displaystyle C^{2}=-1}$ ${\displaystyle U_{C}}$ ${\displaystyle C{\hat {H}}C^{-1}=-{\hat {H}}}$ ${\displaystyle U_{C}H^{*}U_{C}^{-1}=-H}$ ${\displaystyle U_{C}}$

結晶構造に対するブロッホハミルトニアン形式においては、ハミルトニアンが結晶運動量のモードに作用し、カイラル対称性、TRS、およびPHS条件は ${\displaystyle H(k)}$ ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle U_{S}H(k)U_{S}^{-1}=-H(k)}$ （カイラル対称性）

• ${\displaystyle U_{T}H(k)^{*}U_{T}^{-1}=H(-k)}$ （時間反転対称性）、

• ${\displaystyle U_{C}H(k)^{*}U_{C}^{-1}=-H(-k)}$ （粒子-正孔対称性）。

これらの 3 つの対称性のうち 2 つが存在する場合、関係により 3 番目も存在することが明らかです。 ${\displaystyle S=TC}$

前述の離散対称性は、ランダム行列のアルトランド-ツィルンバウアー類と一致する 10 個の異なる離散対称性クラスに分類されます。

対称性クラス	時間反転対称性	粒子ホール対称性	カイラル対称性
あ	いいえ	いいえ	いいえ
AIII	いいえ	いいえ	はい
人工知能	はい、${\displaystyle T^{2}=1}$	いいえ	いいえ
BDI	はい、${\displaystyle T^{2}=1}$	はい、${\displaystyle C^{2}=1}$	はい
D	いいえ	はい、${\displaystyle C^{2}=1}$	いいえ
DIII	はい、${\displaystyle T^{2}=-1}$	はい、${\displaystyle C^{2}=1}$	はい
すべて	はい、${\displaystyle T^{2}=-1}$	いいえ	いいえ
CII	はい、${\displaystyle T^{2}=-1}$	はい、${\displaystyle C^{2}=-1}$	はい
C	いいえ	はい、${\displaystyle C^{2}=-1}$	いいえ
CI	はい、${\displaystyle T^{2}=1}$	はい、${\displaystyle C^{2}=-1}$	はい

ハミルトニアンの同値類

特定の対称群におけるバルクハミルトニアンは、その群の対称性制約を満たす、ゼロエネルギー固有値を持たないエルミート行列（すなわち、スペクトルが「ギャップ」を持ち、系がバルク絶縁体となる行列）に制限される。次元の場合、このハミルトニアンはブリルアンゾーンにおける ブロッホ運動量ベクトルのパラメータの連続関数であり、その場合、対称性制約はすべての に対して成立する必要がある。 ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle H(k)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$

2つのハミルトニアンとが与えられた場合、対称性制約とギャップを維持しながら、連続的にに変形することが可能です（つまり、すべてのハミルトニアンに対して零固有値が存在せず、対称性条件が維持され、 および となるような連続関数が存在する）。このとき、 とは同値であると言える。 ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H(t,{\vec {k}})}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle H(0,{\vec {k}})=H_{1}({\vec {k}})}$ ${\displaystyle H(1,{\vec {k}})=H_{2}({\vec {k}})}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

しかし、そのような連続的な変形が存在しない可能性もある。この場合、物理的には、それぞれバルクハミルトニアンとを持つ2つの物質が、その間にエッジを介して隣接している場合、エッジを連続的に移動すると、ゼロ固有値に遭遇する（これを回避する連続的な変換は存在しないため）。これは、ギャップレスゼロエネルギーエッジモード、またはエッジに沿ってのみ流れる電流として現れる可能性がある。 ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

興味深い問いは、対称性類とブリルアンゾーンの次元が与えられたとき、ハミルトニアンの同値類は一体何なのか、という問いです。それぞれの同値類は位相不変量でラベル付けできます。位相不変量が異なる2つのハミルトニアンは互いに変形できず、異なる同値類に属します。

ハミルトニアンの空間の分類

それぞれの対称性クラスについて、ハミルトニアンを「射影的」ハミルトニアンに変形し、そのようなハミルトニアンが属する対称空間を考えることで、この問題は簡略化される。これらの分類空間は、それぞれの対称性クラスについて示されている。^[4]

対称性クラス	空間の分類	${\displaystyle \pi _{0}}$ 空間の分類
あ	${\displaystyle \bigcup _{n}\mathrm {U} (N)/(\mathrm {U} (N-n)\times \mathrm {U} (n))}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
AIII	${\displaystyle \mathrm {U} (N)}$	${\displaystyle 0}$
人工知能	${\displaystyle \bigcup _{n}\mathrm {O} (N)/(\mathrm {O} (N-n)\times \mathrm {O} (n))}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
BDI	${\displaystyle \mathrm {O} (N)}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
D	${\displaystyle \mathrm {O} (2N)/\mathrm {U} (N)}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
DIII	${\displaystyle \mathrm {U} (N)/\mathrm {Sp} (N)}$	${\displaystyle 0}$
すべて	${\displaystyle \bigcup _{n}\mathrm {Sp} (N)/(\mathrm {Sp} (N-n)\times \mathrm {Sp} (n))}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
CII	${\displaystyle \mathrm {Sp} (N)}$	${\displaystyle 0}$
C	${\displaystyle \mathrm {Sp} (2N)/\mathrm {U} (N)}$	${\displaystyle 0}$
CI	${\displaystyle \mathrm {U} (N)/\mathrm {O} (N)}$	${\displaystyle 0}$

例えば、対称性クラスAIの（実対称）ハミルトニアンは、正の固有値が+1に変形され、負の固有値が-1に変形される。結果として得られるこのような行列は、実グラスマン行列の和集合によって記述される。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle \bigcup _{n=0}^{\infty }\mathrm {Gr} (n,N)=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathrm {O} (N)/\mathrm {\mathrm {O} } (n)\times \mathrm {\mathrm {O} } (N-n)}$

不変量の分類

次元多バンド系の強い位相不変量は、対称空間の - 次ホモトピー群の元で表すことができます。これらの群は、位相絶縁体の周期表と呼ばれる以下の表に示されています。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

対称性クラス	${\displaystyle d=0}$	${\displaystyle d=1}$	${\displaystyle d=2}$	${\displaystyle d=3}$	${\displaystyle d=4}$	${\displaystyle d=5}$	${\displaystyle d=6}$	${\displaystyle d=7}$	${\displaystyle d=8}$
あ	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
AIII	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$
人工知能	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
BDI	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
D	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
DIII	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$
すべて	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$
CII	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
C	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
CI	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle 0}$

弱い位相不変量（ブリルアンゾーンの懸架が実際には低次元球で楔形化された球面と等価であるという事実に関連する）も存在する可能性があるが、これらはこの表には含まれていない。さらに、この表はバンド数が無限個の極限、すなわち に対するハミルトニアンを仮定している。 ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$

この表は、次元不変量の群が次元不変量の群と同じであるという意味で周期的でもある。反ユニタリー対称性がない場合、不変量群は次元2で周期的となる。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+8}$

非自明な対称性クラスの場合、実際の不変量は、ブリルアンゾーンの全体または一部にわたる次の積分のいずれかによって定義できます：チャーン数、ウェス・ズーミノ 巻き数、チャーン・サイモンズ不変量、フー・ケイン不変量。

次元削減とボットクロック

周期表には特異な性質もある。次元における不変群は、異なる対称性クラスに属する次元における不変群と同一である。複素対称性クラスのうち、次元Aの不変群は次元AIIIの不変群と同一であり、その逆もまた同様である。また、8つの実対称性クラスをそれぞれ直交座標平面上に、時間反転対称性が存在する場合は座標が、存在しない場合は座標が、粒子空孔対称性が存在する場合は座標が、存在しない場合は座標がとなるように配置することも考えられる。すると、ある実対称性クラスの次元における不変群は、時計回りに1空間だけ離れた対称性クラスの次元における不変群と同一になる。この現象は、アレクセイ・キタエフによってボット周期性定理にちなんでボット時計と名付けられた。^{[1] [10]}${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-1}$

八重ボット時計（太字のクラスはカイラル）

PHS TRS	-1	X	1
-1	CII	すべて	DII
X	C		D
1	CI	人工知能	BDI

ボット時計は、クリフォード代数の拡張の問題を考えることで理解できる。^[1] 2つの非等価なバルク物質間の界面近傍では、ハミルトニアンはギャップ閉合に近づく。ギャップ閉合からわずかに離れた運動量における最低次の展開では、ハミルトニアンはディラックハミルトニアンの形をとる。ここで、はクリフォード代数 の表現であり、は追加された「質量項」であり、 と はハミルトニアンの残りの部分と反交換し、界面で消滅する（したがって、界面は においてギャップレスエッジモードとなる）。界面の片側のハミルトニアンの項は、界面の反対側のハミルトニアンの項に連続的に変形することはできない。したがって（を任意の正のスカラーとする）、位相不変量の分類問題は、対称性制約を維持しながら、クリフォード代数を1次元高い次元に拡張するための のあらゆる可能な非等価な選択肢を分類する問題に帰着する。 ${\displaystyle H_{\text{Dirac}}({\vec {k}})=\sum _{j=1}^{d}\Gamma _{j}v_{j}k_{j}+m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2},\ldots ,\Gamma _{d}}$ ${\displaystyle \lbrace \Gamma _{i},\Gamma _{j}\rbrace =2\delta _{ij}}$ ${\displaystyle m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$

参照

• 対称性保護された位相秩序

参考文献

• Altland, Alexander; Zirnbauer, Martin R. (1997). 「メソスコピック常伝導-超伝導ハイブリッド構造における新たな対称性クラス」. Physical Review B. 55 ( 2): 1142. arXiv : cond-mat/9602137 . Bibcode :1997PhRvB..55.1142A. doi :10.1103/PhysRevB.55.1142. S2CID:  96427496.

1. Chiu, C.; J. Teo; A. Schnyder; S. Ryu (2016). 「対称性を持つトポロジカル量子物質の分類」Rev. Mod. Phys . 88 (35005) 035005. arXiv : 1505.03535 . Bibcode :2016RvMP...88c5005C. doi :10.1103/RevModPhys.88.035005. S2CID  119294876.
2. Schnyder, Andreas P.; Ryu, Shinsei; Furusaki, Akira; Ludwig, Andreas WW (2008-11-26). 「3次元空間におけるトポロジカル絶縁体と超伝導体の分類」. Physical Review B. 78 ( 19) 195125. arXiv : 0803.2786 . Bibcode :2008PhRvB..78s5125S. doi :10.1103/PhysRevB.78.195125.
3. リュウ・シンセイ; シュナイダー・アンドレアス・P; 古崎明; ルートヴィヒ・アンドレアス・WW (2010-06-17). 「トポロジカル絶縁体と超伝導体：10倍の道と次元階層」. New Journal of Physics . 12 (6) 065010. arXiv : 0912.2157 . Bibcode :2010NJPh...12f5010R. doi :10.1088/1367-2630/12/6/065010. ISSN  1367-2630.
4. Kitaev, Alexei (2009). 「トポロジカル絶縁体と超伝導体の周期表」AIP会議論文集. 第1134巻. AIP. pp.  22– 30. arXiv : 0901.2686 . Bibcode :2009AIPC.1134...22K. doi :10.1063/1.3149495. {{cite book}}:|journal=無視されました (ヘルプ)
5. トポロジーコースチーム (2021). 「10対称性クラスとトポロジカル絶縁体の周期表」.凝縮物質におけるトポロジーに関するオンラインコース - デルフト工科大学. 2024年9月13日閲覧。
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9. Stanescu, Tudor D. (2024-07-02). トポロジカル量子物質と量子計算入門. CRC Press. ISBN 978-1-040-04191-8。
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外部リンク

• Baez, John C. (2014-07-19). 「十倍の道（パート1）」. n-Category Café . 2018年10月26日閲覧。