周期進行波

数学において、周期進行波（または波列）とは、一定速度で移動する一次元空間の周期関数である。したがって、これは空間と時間の両方の周期関数である特殊な時空間振動の一種である。

周期進行波は、自励振動系[ 1 ]、[ 2 ] 、興奮性系[ 3 ]、 反応拡散移流系[ 4 ]など、多くの数学方程式において基本的な役割を果たしている。 これらのタイプの方程式は、生物学、化学、物理学の数学的モデルとして広く使用されており、周期進行波に似た現象の例が経験的に数多く見つかっている。

周期進行波の数学的理論は偏微分方程式において最も発展しているが、これらの解は積分微分方程式[ 5 ] [ 6 ] 積分差分方程式[ 7 ] 結合写像格子[ 8 ]セルオートマトン[ 9 ] [ 10 ] など他の多くの種類の数学システムにも現れる。

周期的な進行波は、それ自体が重要であるだけでなく、2 次元空間の 螺旋波やターゲット パターン、および 3 次元空間のスクロール波の 1 次元版として重要です。

研究の歴史

周期進行波は18世紀から波動方程式の解として知られていましたが、非線形システムにおけるその研究は1970年代に始まりました。初期の重要な研究論文はナンシー・コペルとルー・ハワードによる論文[ 1 ]で、反応拡散方程式における周期進行波に関するいくつかの基本的な結果を証明しました。これに続いて1970年代から1980年代初頭にかけて重要な研究活動が続きました。その後、研究が停滞した時期がありましたが、周期進行波の発生に関する数学的研究[ 11 ] [ 12 ]や、生態学における周期的個体群の時空間データセットでの検出[ 13 ] [ 14 ]によって、周期進行波への関心が再燃しました。 2000年代半ば以降、周期進行波の研究は、その安定性と絶対安定性を調べるための新しい計算手法の恩恵を受けています。[ 15 ] [ 16 ]

家族

周期進行波の存在は、通常、数式中のパラメータ値に依存します。周期進行波の解が存在する場合、通常、異なる波の速度を持つそのような解の族が存在します。偏微分方程式の場合、周期進行波は通常、波の速度が連続する範囲で発生します。[ 1 ]

安定性

重要な問題は、周期進行波が元の数学体系の解として安定か不安定かである。偏微分方程式の場合、波族は安定部分と不安定 部分に細分されるのが典型的である。[ 1 ] [ 17 ] [ 18 ] 不安定な周期進行波の場合、重要な副次的な問題は、それらが絶対的に不安定か対流的に不安定か、つまり定常成長線形モードが存在するかどうかである。[ 19 ]この問題は、いくつかの偏微分方程式についてのみ解決されている。[ 2 ] [ 15 ] [ 16 ]

世代

周期的な進行波の発生メカニズムはいくつか確立されており、その中には以下のようなものがあります。

これらすべての場合において、周期進行波族のどのメンバーが選択されるかが重要な問題となります。ほとんどの数学体系において、これは未解決の問題です。

時空間の混沌

捕食者による獲物への侵入を模擬した際の周期的な進行波とカオス

波動生成機構から生じる周期進行波は、いくつかのパラメータ値において不安定になることがよくあります。このような場合、解は通常、時空間カオスへと発展します。[ 11 ] [ 27 ]つまり、解は周期進行波を介してカオスへの時空間遷移を伴うことになります。

ラムダ・オメガ系と複素ギンツブルグ・ランダウ方程式

周期進行波の原型として機能し、数学的理解と理論の発展の基礎となってきた2つの数学体系があります。これらは「ラムダ-オメガ」クラスの反応拡散方程式です[ 1 ]。∂あなた∂t＝∂2あなた∂×2+λ（r）あなた−ω（r）v{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\lambda (r)u-\omega (r)v}∂v∂t＝∂2v∂×2+ω（r）あなた+λ（r）v{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\omega (r)u+\lambda (r)v}

（）と複素ギンツブルグ・ランダウ方程式。[ 2 ]r＝あなた2+v2{\textstyle r={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}

∂あ∂t＝あ+（1+私b）∂2あ∂×2−（1+私c）|あ|2あ{\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=A+(1+ib){\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}-(1+ic)|A|^{2}A}

（Aは複素数値です）。λ ( r ) = 1 − r 2、ω ( r ) = − c r 2、b = 0の場合、これらのシステムは同じであることに注意してください。 両方のシステムとも、振幅（rまたは | A |）と位相（arctan( v / u ) または arg A ）で式を書き直すことで簡略化できます。 このように式を書き直すと、一定振幅の解は周期的な進行波であり、位相は空間と時間の線形関数であることが簡単にわかります。 したがって、uとv、または Re( A ) と Im( A ) は、空間と時間の 正弦関数です。

周期進行波族のこれらの厳密解は、さらなる解析的研究を可能にする。周期進行波の安定性に関する厳密な条件は[ 1 ] [ 2 ]で見出され、絶対安定性の条件は単純な多項式の解に還元される。 [ 15 ] [ 16 ]また、侵入によって生成される波の選択問題[ 22 ] [ 33 ]およびゼロディリクレ境界条件[ 34 ] [ 35 ]についても厳密な解が得られている 。 後者の場合、複素ギンツブルグ・ランダウ方程式の全体解は定常なノザキ・ベッキ・ホールとなる。[ 34 ] [ 36 ]

複素ギンツブルグ-ランダウ方程式の周期的な進行波に関する研究の多くは物理学の文献に記載されており、そこではそれらは通常平面波として知られています。

周期進行波の数値計算とその安定性

ほとんどの数学方程式では、周期進行波解の解析計算は不可能であるため、数値計算を行う必要があります。偏微分方程式では、xとtをそれぞれ (1 次元の) 空間変数と時間変数とします。周期進行波は、進行波変数z = x - c tの関数です。この解の形を偏微分方程式に代入すると、進行波方程式と呼ばれる常微分方程式系が得られます。周期進行波はこれらの方程式の限界サイクルに対応し、数値計算の基礎となります。標準的な計算手法は、進行波方程式の数値接続です。まず、定常状態の継続を実行してホップ分岐点を見つけます。これが、数値接続によってたどることができる周期進行波解のブランチ (ファミリ) の開始点です。いくつかの（珍しい）ケースでは、周期進行波解の枝（族）の両端の点がホモクリニック解であり、[ 37 ]その場合には偏微分方程式の数値解などの外部開始点を使用する必要があります。

周期進行波の安定性は、スペクトルを計算することで数値的に計算することもできる。偏微分方程式の周期進行波解のスペクトルは、本質的にスペクトルのみで構成されるため、この計算は容易になる。[ 38 ] 数値的アプローチとしては、ヒル法[ 39 ]やスペクトルの数値接続[ 15 ]などが挙げられる。後者のアプローチの利点の一つは、安定波と不安定波の間のパラメータ空間における境界を計算するために拡張できることである[ 40 ]。

ソフトウェア:無料のオープンソースソフトウェアパッケージWavetrain http://www.ma.hw.ac.uk/wavetrainは、周期進行波の数値的研究のために設計されています。[ 41 ]数値接続 を使用して、Wavetrainは偏微分方程式の周期進行波解の形と安定性、および波が存在し安定しているパラメータ空間の領域を計算することができます。

アプリケーション

経験的に発見された周期進行波に似た現象の例には以下のものがあります。

  • 多くの自然個体群は、複数年にわたる個体群の個体数変動を経験する。場合によっては、これらの個体群変動は空間的に周期的な移動波として組織化される。この行動は、フェノスカンジアのハタネズミ[ 13 ]と英国北部のハタネズミ[ 14 ] 、フェノスカンジア北部のシャクガ[ 42 ] 、ヨーロッパアルプスのカラマツノキガ[ 21 ]、スコットランドのアカライチョウ[ 43 ]で確認されている。
  • 半砂漠では、植生は空間パターンに自己組織化することが多い。[ 44 ]斜面では、これは通常、等高線に平行に走る植生の縞で構成され、裸地の縞で区切られています。このタイプの縞状の植生は、タイガーブッシュと呼ばれることもあります。多くの観察研究は、上り方向への縞模様のゆっくりとした移動を報告しています。[ 45 ]しかし、他の多くの場合、データは明らかに静止したパターンを示しており、[ 46 ]移動の問題は依然として議論の余地があります。利用可能なデータと最も一致する結論は、一部の縞状の植生パターンは移動し、他のものは移動しないということです。[ 47 ] 前者のカテゴリのパターンは、周期的な進行波の形をとります。
  • 移動バンドは振動性化学反応および興奮性化学反応において発現する。1970年代にベロウソフ・ジャボチンスキー反応において観測され[ 48 ]、当時の周期進行波に関する数学的研究の重要な動機となった。近年の研究では、実験的に観測されたバンドと周期進行波の詳細なモデル化による数学理論との関連性も明らかにされている[ 49 ] 。
  • 太陽では、太陽活動周期の一環として周期的な進行波が発生します。[ 50 ] [ 51 ]これらは、太陽ダイナモによる太陽磁場の生成の結果です。そのため、太陽黒点と関連しています。
  • 流体力学では、対流パターンには周期的な進行波が伴うことが多い。具体的な例としては、二成分流体対流[ 52 ]や加熱線対流[ 53 ]などが挙げられる。
  • 周期的な進行波形のパターンは「プリンターの不安定性」で発生し、回転する2つの非中心シリンダー間の細い隙間にオイルが充填されます。[ 54 ]

参照

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