Perles構成
点と線の非合理的なシステム
Perles構成

幾何学において、パールズ配置とは、ユークリッド平面上の9点と9直線からなる系であり、その組み合わせ的に同値なすべての実現は、その座標の一つとして少なくとも1つの無理数を持つ。パールズ配置は、正五角形の対角線と対称線、およびそれらの交点から構成できる。射影平面におけるパールズ配置のすべての実現は、射影変換によって互いに同値となる。

パールズ配置は、有理座標では実現できない点と直線の最小の配置です。ミカ・パールズにちなんで名付けられました。彼はパールズ配置を用いて、有理座標を与えることができず、既知の無理多面体の中で最も頂点数が少ない（12）8次元凸多面体を構築しました。パールズ配置は、可視グラフ理論やグラフ描画における反例としても応用されています。

工事

パールズ配置を構築する一つの方法は、正五角形とその5つの対角線から始めることです。これらの対角線は、外側の五角形の中に入れ子になった、より小さな内側の五角形の辺を形成します。外側の五角形の各頂点は、内側の五角形の頂点と向かい合っています。配置の9つの点は、各五角形の5つの頂点のうち4つと、2つの五角形の共通の中心で構成されます。それぞれの五角形から1つずつ、反対側の2つの頂点は省略されます。[1]

9本の線は、外側の五角形の対角線と内側の五角形の辺となる5本の線と、2つの五角形の中心と反対側の頂点を通る4本の線から構成されます。[1]

射影不変性と無理数

パールズ配置の実現は、交差パターンが同じ 9 個の点と 9 個の直線で構成されると定義される。つまり、点と直線が実現において交差するのは、正五角形から構成される配置において交差する場合に限ります。ユークリッド平面、またはより一般的には実射影平面におけるこの配置のすべての実現は、射影変換により、正五角形から構成される実現と等価です。 [2]この事実の 1 つの証明では、4 点直線上の 2 つの外側の点、配置の中心点、および残りの 2 つの外側の点の 1 つに任意の射影座標を割り当てます。これらの点は、4 点直線上の 1 つの中心点の位置を決定し、次にこれらの座標に関してこの直線上の 4 番目の点の位置を指定するパラメーターを定義します。このパラメータは任意に選択することはできませんが、その値を用いて残りの点の射影座標を計算すると、点の共線性により二次方程式に従うことが制約されます。この方程式は黄金比によって満たされます。この方程式の2つの解はどちらも、点が再配置された同じタイプの配置を生成します。したがって、このパラメータ化を正五角形実現とその他の実現の両方に適用すると、2つの実現は同じ射影座標になり、射影的に同値になります。[1]

任意の4つの共線点から定義される複比は射影変換によって変化しないため、すべての実現において、正五角形から導かれる実現における4つの共線点の複比と同じ複比を持つ4つの点が存在します。しかし、これらの4点の複比は、黄金比であり、無理数です。有理座標を持つすべての4つの共線点は有理複比を持つため、パールズ配置は有理点で実現することはできません。[2] 1 + φ {\displaystyle 1+\varphi } φ {\displaystyle \varphi }

ブランコ・グリュンバウムの質問に答えて、[2] ヨージェフ・ソリモシはパールズ配置が点と直線の可能な限り最小の無理数配置であることを証明しました。ユークリッド平面上の8点以下の点とこれらの点の部分集合を通る直線の配置はすべて、座標として有理数を持つ点との組み合わせ的に同等な配置を持ちます。[3]

アプリケーション

多面体組合せ論では

パールズはこの配置を用いて、実座標では同様に実現できるが有理座標では実現できない12頂点を持つ8次元凸多面体を構築した。これはパールズ多面体と呼ばれる。配置の点のうち3点は2倍になっており、各点に正、負、またはゼロの符号が割り当てられており、この多面体のアフィン・ゲール図を形成し、そこから多面体自体を復元することができる。[4]

エルンスト・シュタイニッツによるシュタイニッツの定理の証明は、あらゆる3次元多面体が有理座標で実現できることを示すのに用いることができる。しかし、4次元には無理多面体が存在する。したがって、パールズ多面体は無理多面体の中で最小の次元を持つわけではない。しかし、パールズ多面体は既知の無理多面体の中で最も頂点数が少ない。[4]

離散幾何学では

パールズ配置のような無理数配置の存在は、点と直線の間の点-直線の交差の最大数に関する 2021 年の M. Mirzaei と A. Suk の予想に対する反例となる。制限がない場合、この最大数は に比例する。Mirzaei と Suk は、より小さな点-直線配置の出現を禁じれば交差数が漸近的に減少すると予想した。しかし、彼らの予想は、禁じられた配置がパールズ配置のような無理数配置である場合は誤りである。整数グリッドに配置された点と、それらの点を通る直線のシステムが存在し、その交差数は に比例する。これらのシステムは、点がグリッド上にあるためパールズ配置や無理数配置を回避し、予想に反する。[3] n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n 4 / 3 {\displaystyle n^{4/3}} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n 4 / 3 {\displaystyle n^{4/3}}

有限点集合の可視グラフを認識することが実数の存在理論にとって困難であることの証明の一環として、Cardinal & Hoffmann (2017) は、擬似直線配置を直線化できるかどうかをテストする問題を、可視グラフの認識という同等の問題に変換する方法を示した。Perles配置に同じ変換を適用すると、同じ可視グラフを持つ他の点集合は必ず無理座標を含まなければならない有限点集合が生成される。これらの無理可視グラフのため、十分に大きな整数グリッド内のすべての点配置をチェックするだけでは、グラフが可視グラフであるかどうかをテストすることはできない。[5]

他の

マトロイドはパールズ配置から定義することができ、 パールズマトロイドと呼ばれる。配置の点を要素とする。配置の直線のいずれか上に3点を含まない場合、最大で3つの要素のサブセットは独立である。このマトロイドとその双対マトロイドは、有限体上および十分に大きい体全体にわたる線型マトロイドである特定のクラスのマトロイドを特徴付ける際に適用されてきた。パールズマトロイドにはこの特性がなく、有理数上では線型であるが、有理数上では線型ではない。有理数上での非線型性は、パールズマトロイドがマトロイドマイナーとして現れる他のマトロイドに継承される。[6]熱帯幾何学では、このマトロイドは行列の階数の異なる類似体を互いに区別するために使用されてきた。 [7] F 4 {\displaystyle \mathbb {F} _{4}} F 4 {\displaystyle \mathbb {F} _{4}}

グラフ描画において、パールズ配置は、最小の線被覆数（描画のすべての辺を覆うのに必要な線の数）で平面グラフを描画するには無理座標が必要になる場合があることを示すために使用されている。特に、そのようなグラフの1つは、正五角形の対角線と対称線からこれらの線のうち1本を除去してパールズ配置を形成することで形成される場合がある。このグラフの頂点はこれらの線の16個の交差点（パールズ配置の9点を含む）であり、その辺は各線に沿って連続する点のペアを接続する。このグラフの辺をわずか10本の線で覆うと、描画にはパールズ配置のコピーが含まれ、したがって無理頂点が存在することになる。[8]

符号理論では、パールズ構成は有限体上の最大距離分離可能な符号を数えるために使用される9点構成の列挙に現れる。 [9]

パールズ配置は、1960年代にミカ・パールズによって導入されました。 [10]これは、点と直線の無理配置の最初の例ではありません。マクレーン（1936）は、フォン・シュタウトのスロー代数を適用して2の平方根に対応する配置を構築することで得られた11点の例を説明しています。[11]

正則射影配置、すなわち各点が同数直線に接し、各直線が同数点に接する有限の点および直線系については、長い研究の歴史がある。しかし、これらの配置と似た名前が付けられているにもかかわらず、パールズ配置は正則ではない。ほとんどの点は 3 本の直線に接し、ほとんどの直線も 3 点に接するが、4 点の直線が 1 本、4 本の直線上に 1 点がある。この点で、同じく 9 点と 9 本の直線があるが、各直線上に 3 点があり、各点を通る直線が 3 本あるパップス配置とは異なる。 [12]抽象的に記述されたすべての点および直線系が平面実現されるわけではない。8点と 8 本の直線のメビウス–カントール配置は平面実現されない。点ごとに 3 本の直線、直線ごとに 3 点、最大 13 点の正則配置は、ユークリッド平面で実現可能であれば、有理座標で実現できる。グリュンバウムは、これはすべての点の数に対して成り立つと予想したが、これは未解決の問題である。[3]

注記

  1. ^ abc Ziegler (2008).
  2. ^ abc Grünbaum (2003).
  3. ^ abc ソリモシ (2025).
  4. ^ ab Grünbaum (2003)、p.96a。
  5. ^ カーディナル＆ホフマン（2017年）。
  6. ^ グレース (2021年).
  7. ^ シトフ (2023).
  8. ^ Chaplick et al. (2023)、472–477ページ、第4節。
  9. ^ Iampolskaia、Skorobogatov、Sorokin（1995年）。
  10. ^ Grünbaum (2003); Ziegler (2008); Berger (2010)
  11. ^ マック・レーン（1936年）；ジーグラー（2008年）
  12. ^ バーガー (2010).

参考文献

  • ベルガー、マルセル（2010）「I.4 アフィン平面の3つの構成とそれらに起こったこと：パップス、デザルグ、ペルル」『幾何学の解明』ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp.  17– 23、doi：10.1007/978-3-540-70997-8、ISBN 978-3-540-70996-1、MR  2724440
  • Cardinal, Jean; Hoffmann, Udo (2017)、「点可視グラフの認識と複雑性」、Discrete & Computational Geometry、57 (1): 164– 178、arXiv : 1503.07082、doi :10.1007/s00454-016-9831-1、MR  3589061
  • チャップリック、スティーブン; フレザー、クリストフ; リップ、ファビアン; ラヴスキー、アレクサンダー; ヴェルビツキー、オレグ; ウォルフ、アレクサンダー (2023)「少数の線と少数の平面上にグラフを描くことの複雑さ」、Journal of Graph Algorithms and Applications、27 (6): 459– 488、arXiv : 1607.06444、doi :10.7155/jgaa.00630、MR  4631653
  • グレース、ケビン（2021）、「いくつかの四元マトロイドのクラスのテンプレート」、Journal of Combinatorial Theory、シリーズB、146：286– 363、arXiv：1902.07136、doi：10.1016/j.jctb.2020.09.011、MR  4155284
  • Grünbaum, Branko (2003), Convex polytopes , Graduate Texts in Mathematics, vol. 221 (Second ed.), New York: Springer-Verlag, pp.  93– 95, ISBN 978-0-387-00424-2、MR  1976856
  • Iampolskaia, Anna V.; Skorobogatov, Alexei N.; Sorokin, Evgenii A. (1995)、「[9,3] MDSコードの数の公式」、IEEE Transactions on Information Theory、41 (6): 1667– 1671、doi :10.1109/18.476239; パールズ構成は「タイプ11」過剰決定9点構成としてリストされている。
  • マック・レーン、サンダース（1936）、「射影幾何学による抽象線型従属関係のいくつかの解釈」、アメリカ数学誌、58（1）：236-240、doi：10.2307/2371070、JSTOR  2371070、MR  1507146
  • シトフ、ヤロスラフ（2023）、「熱帯行列ランク間の分離」、アメリカ数学会紀要、151（2）：489–499、arXiv：1712.03071、doi：10.1090/proc/16156、MR  4520003
  • Solymosi、József (2025)、「Perles の構成について」、SIAM Journal on Discrete Mathematics、39 (2): 912–920、arXiv : 2408.09370、doi :10.1137/24M1686851、MR  4898682
  • ジーグラー、ギュンター・M. (2008)、「非有理配置、多面体、そして曲面」、数学インテリジェンサー、30 (3): 36– 42、arXiv : 0710.4453、doi :10.1007/BF02985377、MR  2437198
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