順列分散分析

順列多変量分散分析（PERMANOVA）^{[ 1 ]}は、ノンパラメトリックな多変量統計的順列検定である。PERMANOVAは、オブジェクトのグループを比較し、測定空間によって定義されたグループの重心と分散がすべてのグループで等しいという帰無仮説を検定するために使用される。帰無仮説が棄却されるということは、オブジェクトの重心または分散、あるいはその両方がグループ間で異なることを意味する。したがって、検定は、実験に含まれる任意の2つのオブジェクト間の距離の事前計算に基づく。PERMANOVAは、グループ内およびグループ間の平方和を測定し、グループ内分散とグループ間分散を比較するためにF検定を使用する点で、ANOVAと類似している。ただし、ANOVAが結果の有意性を正規性の仮定に基づいているのに対し、PERMANOVAは、実際のF検定結果をグループ間のオブジェクトのランダム順列から得られた結果と比較することによって有意性の検定を行う。さらに、PERMANOVA は選択された距離尺度に基づいて類似性をテストしますが、ANOVA はグループ平均の類似性をテストします。

統計の計算

p個のグループと各グループ内のn 個のオブジェクトを持つ単一の因子の単純なケースでは、総二乗和は次のように決定されます。

${\displaystyle SS_{T}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^{N}d_{ij}^{2}}$

ここで、 はオブジェクトの総数、 はオブジェクトiとj間の距離の 2 乗です。 ${\displaystyle N=pn}$ ${\displaystyle d_{ij}^{2}}$

同様に、グループ内の平方和は次のように決定されます。

${\displaystyle SS_{W}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^{N}d_{ij}^{2}\delta _{ij}}$

ここで、観測値iとjが同じグループに属する場合は1、そうでない場合は0です。そして、グループ間の平方和（）は、全体の平方和とグループ内の平方和の差として計算できます。 ${\displaystyle \delta_{ij}}$ ${\displaystyle SS_{A}}$

${\displaystyle SS_{A}=SS_{T}-SS_{W}}$

最後に、疑似F統計量が計算されます。

${\displaystyle F={\frac {\left({\dfrac {SS_{A}}{p-1}}\right)}{\left({\dfrac {SS_{W}}{Np}}\right)}}}$

ここで、pはグループの数です。

描画の重要性

最後に、PERMANOVA法は、データの複数の順列を実行することで、実際のF統計量の有意性を判定します。各順列において、項目はグループ間でシャッフルされ、それに対するF値が計算されます。そして、 P値は以下のように計算されます。${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F^{\pi}}$

${\displaystyle P={\frac {{\text{F^{\pi }\geq F の順列の数}{\text{順列の総数}}}}$

実装と使用

PERMANOVAは生態学の分野で広く使用されており、PERMANOVA ^{[ 2 ]}ソフトウェア、PRIMER、R（プログラミング言語） Vegan、lmPerm ^{[ 3 ]}、Python（プログラミング言語） skbio ^{[ 4 ]}パッケージなど、いくつかのソフトウェアパッケージに実装されています。

参考文献

1. アンダーソン、マーティ・J. (2001). 「ノンパラメトリック多変量分散分析のための新しい手法」.オーストラル・エコロジー. 26 (1): 32– 46. doi : 10.1111/j.1442-9993.2001.01070.pp.x .
2. Anderson, Marti J. (2005). 「Permutational Analysis of Variance」（PDF） . 2016年7月5日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2016年11月5日閲覧。
3. Wheeler, Bob; Torchiano, Marco (2016). 「lmPerm: 線形モデルの順列検定」 . 2019年2月8日閲覧。
4. "skbio.stats.distance.permanova" . 2024年5月18日閲覧。