垂直軸定理

垂直軸定理（または平面図形定理）は、平面状の薄板において、その薄板の平面に垂直な軸の周りの慣性モーメントは、その薄板の平面内で互いに垂直な2つの軸の周りの慣性モーメントの和に等しいことを述べています。これらの2つの軸は、垂直軸が通過する点で交差します。この定理は平面状の物体にのみ適用され、物体全体が単一の平面内にある場合にのみ有効です。

物体が平面上にあり、軸が物体の平面に垂直になるように、垂直軸、、（原点 で交わる）を定義する。I x、I y、I zをそれぞれ軸x、y、zの周りの慣性モーメントとする。このとき、垂直軸定理は[ 1 ]を述べる。×{\displaystyle x}y{\displaystyle y}z{\displaystyle z}お{\displaystyle O}×y{\displaystyle xy}z{\displaystyle z}

私z＝私×+私y{\displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}

この規則は、平行軸の定理および伸張規則と組み合わせて適用し、さまざまな形状の極慣性モーメントを求めることができます。

平面物体が回転対称性を持ち、かつが等しい場合、[ 2 ] 、垂直軸定理は次の関係を与える。 私×{\displaystyle I_{x}}私y{\displaystyle I_{y}}

私z＝2私×＝2私y{\displaystyle I_{z}=2I_{x}=2I_{y}}

導出

直交座標系で考えると、平面体の軸周りの慣性モーメントは次のように表される。[ 3 ]z{\displaystyle z}

私z＝∫（×2+y2）dメートル＝∫×2dメートル+∫y2dメートル＝私y+私×{\displaystyle I_{z}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm=\int x^{2}\,dm+\int y^{2}\,dm=I_{y}+I_{x}}

平面上では、これら2つの項はそれぞれ軸と軸周りの慣性モーメントであり、垂直軸定理が成り立ちます。この定理の逆も同様に導出されます。 z＝0{\displaystyle z=0}×{\displaystyle x}y{\displaystyle y}

では、回転軸からの距離を測定するので、 y軸回転の場合、点の回転軸からの偏差距離はそのx座標に等しくなることに注意してください。 ∫×2dメートル＝私y≠私×{\displaystyle \int x^{2}\,dm=I_{y}\neq I_{x}}∫r2dメートル{\displaystyle \int r^{2}\,dm}r{\displaystyle r}

参考文献

  1. ^ Tipler, Paul A. (1976). 「第12章 固定軸を中心とした剛体の回転」.物理学. Worth Publishers Inc. ISBN 0-87901-041-X。
  2. ^オブレゴン、ホアキン (2012).機械的対称性. Author House. ISBN 978-1-4772-3372-6。
  3. ^ KF Riley、MP Hobson、SJ Bence (2006). 「第6章 多重積分」.物理学と工学のための数学的手法. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-67971-8。

参照

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