ベクトル射影
Concept in linear algebra

ベクトルaの非零ベクトルbへの（またはベクトルb上への）ベクトル射影（ベクトル成分またはベクトル分解とも呼ばれる）は、ベクトルaをベクトルbに平行な直線に直交射影することです。ベクトルaのベクトルbへの射影は、しばしばまたはベクトルa‖bと 表記されます proj b ⁡ a {\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }

aの bに垂直なベクトル成分またはベクトル分解は、aのbからのベクトル除去（またはa ⊥ bと表記）とも呼ばれ、[1]は、 aをbに直交する平面（または一般に超平面）に直交投影したものです。 と はどちらもベクトルであり、それらの和はaに等しいため、 aのbからの除去は次のように表されます。 oproj b ⁡ a {\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} } proj b ⁡ a {\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} } oproj b ⁡ a {\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} } oproj b ⁡ a = a − proj b ⁡ a . {\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\mathbf {a} -\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}

aをbに投影する( a 1 )、およびaをbから排除する( a 2 )
90° < θ ≤ 180°の場合、a 1はbに対して反対方向になります。

表記を簡略化するために、この記事では次のように定義します。 したがって、ベクトルはベクトルに平行であり、ベクトルはベクトルに直交し、 a 1 := proj b ⁡ a {\displaystyle \mathbf {a} _{1}:=\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} } a 2 := oproj b ⁡ a . {\displaystyle \mathbf {a} _{2}:=\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .} a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{1}} b , {\displaystyle \mathbf {b} ,} a 2 {\displaystyle \mathbf {a} _{2}} b , {\displaystyle \mathbf {b} ,} a = a 1 + a 2 . {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}.}

aからbへの射影は、次のように書くことで方向とスカラー量に分解できます。 ここではスカラーであり、aからbへのスカラー射影と呼ばれ、b̂はbの方向の単位ベクトルです。スカラー射影は次のように定義されます[2]。 ここで、演算子⋅はドット積、 ‖ a ‖ はaの長さ、θはaとbの間の角度です。スカラー射影の絶対値はベクトル射影の長さに等しく、射影の方向がbの方向と反対の場合、つまりベクトル間の角度が 90 度を超える場合はマイナス符号が付きます。 a 1 = a 1 b ^ {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} } a 1 {\displaystyle a_{1}} a 1 = ‖ a ‖ cos ⁡ θ = a ⋅ b ^ {\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} }

ベクトル投影は、と のドット積を使用して次のように計算できます。 a {\displaystyle \mathbf {a} } b {\displaystyle \mathbf {b} } proj b ⁡ a = ( a ⋅ b ^ ) b ^ = a ⋅ b ‖ b ‖ b ‖ b ‖ = a ⋅ b ‖ b ‖ 2 b = a ⋅ b b ⋅ b b   . {\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}

表記

この記事では、ベクトルは太字フォント（例： a 1）で表記し、スカラーは通常のフォント（例：a 1） で表記するという規則を使用します

ベクトルaとbのドット積はと表され、 aのノルムは ‖ a ‖と表され、 aとbの間の角度はθ と表されます。 a ⋅ b {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }

角度に基づく定義アルファ

スカラー射影

aからbへのスカラー射影は、 aとbの間の角度θと 等しいスカラーです a 1 = ‖ a ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}

スカラー投影は、対応するベクトル投影を計算するための スケール係数として使用できます。

ベクトル射影

aからbへのベクトル射影は、その大きさがbと同じ方向を持つaからbへのスカラー射影であるベクトルです。つまり、次 のように定義されます。 ここで、 は上記で定義した対応するスカラー射影であり、はbと同じ方向を持つ単位ベクトルです a 1 = a 1 b ^ = ( ‖ a ‖ cos ⁡ θ ) b ^ {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} } a 1 {\displaystyle a_{1}} b ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {b}} } b ^ = b ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}

ベクトル拒絶

定義により、 aからbへのベクトル拒絶は次のようになります a 2 = a − a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}

したがって、 a 2 = a − ( ‖ a ‖ cos ⁡ θ ) b ^ {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}} }

aとbによる定義

θが不明な場合、 θのコサインは、ドット積a⋅bの次の性質により、aとbに関して計算できます。 a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta }

スカラー射影

前述のドット積の性質により、スカラー射影の定義は次のようになります。[2] a 1 = ‖ a ‖ cos ⁡ θ = a ⋅ b ‖ b ‖ . {\displaystyle {\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}}

2次元では、これは a 1 = a x b x + a y b y ‖ b ‖ . {\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}

ベクトル射影

同様に、 aからbへのベクトル射影の定義は次のようになります。[2] これは [3]のいずれ かと等価です a 1 = a 1 b ^ = a ⋅ b ‖ b ‖ b ‖ b ‖ , {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},} a 1 = ( a ⋅ b ^ ) b ^ , {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,} a 1 = a ⋅ b ‖ b ‖ 2 b = a ⋅ b b ⋅ b b   . {\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}

スカラー拒絶

2次元では、スカラー拒絶はaを90°左に回転した aへの射影に相当します。したがって、 b ⊥ = ( − b y b x ) {\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}} b = ( b x b y ) {\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}} a 2 = ‖ a ‖ sin ⁡ θ = a ⋅ b ⊥ ‖ b ‖ = a y b x − a x b y ‖ b ‖ . {\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}

このようなドット積は「直交ドット積」と呼ばれます。

ベクトル拒絶

定義により、 a 2 = a − a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}

したがって、 a 2 = a − a ⋅ b b ⋅ b b . {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}

直交ドット積を用いたスカラー拒絶を用いると、次の式が得られます

a 2 = a ⋅ b ⊥ b ⋅ b b ⊥ {\displaystyle \mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }}

性質

この場合のように、0° ≤ θ ≤ 90°の場合、 aのbへのスカラー射影はベクトル射影の長さと一致します

スカラー射影

スカラー射影aからbへの射影は、 90 度< θ ≤ 180 度の場合に負の符号を持つスカラーです。角度が90°未満の場合は、ベクトル射影の 長さ ‖ c ‖と一致します。より正確には、

  • 0° ≤ θ ≤ 90°の場合、 a 1 = ‖ a 1 ‖
  • 90° < θ ≤ 180°の場合、 a 1 = −‖ a 1 ‖となります。

ベクトル射影

aからbへのベクトル射影は、bとゼロまたは平行であるベクトルa 1です。より正確には、

  • θ = 90°の場合、 a 1 = 0、
  • 0° ≤ θ < 90°の場合、 a 1とb は同じ方向を持ちます。
  • 90° < θ ≤ 180°の場合、 a 1とb は反対方向になります。

ベクトル拒絶

aのbに対するベクトル拒絶は、bに対してゼロまたは直交するベクトルa 2である。より正確には、

  • θ = 0°またはθ = 180°の場合、 a 2 = 0、
  • 0 < θ < 180°の場合、 a 2はbに直交する。

行列表現

直交射影は射影行列で表すことができます。ベクトルを単位ベクトルa = ( a x , a y , a z )に射影するには、次の射影行列を掛ける必要があります

用途

ベクトル射影は、ベクトル空間基底のグラム・シュミット 直交化における重要な演算です。また、 2つの凸形状が交差するかどうかを検出する 分離軸定理でも使用されます

一般化

ベクトルの長さとベクトル間の角度の概念は、任意のn次元内積空間に一般化できるため、ベクトルの直交射影、ベクトルから別のベクトルへの射影、ベクトルから別のベクトルへの棄却の概念についても当てはまります

平面上のベクトル投影

場合によっては、内積はドット積と一致する。一致しない場合は、射影と拒絶の正式な定義でドット積の代わりに内積が使用される。3次元の内積空間では、ベクトルの別のベクトルへの射影とベクトルの別のベクトルからの拒絶の概念は、ベクトルの平面への射影と平面からのベクトルの拒絶の概念に一般化できる。[4]平面へのベクトルの射影は、その平面へのベクトルの直交射影である。平面からのベクトルの拒絶は、その平面に直交する直線へのベクトルの直交射影である。どちらもベクトルである。前者は平面に平行で、後者は直交する。

与えられたベクトルと平面に対して、射影と拒絶の和は元のベクトルに等しい。同様に、3次元以上の内積空間において、ベクトルへの射影とベクトルからの拒絶の概念は、超平面への射影と超平面からの拒絶の概念に一般化できる。幾何代数においては、これらはさらに、任意の可逆k-ブレード上への、または任意の可逆k-ブレードからの、一般多重ベクトルの射影と拒絶の概念に一般化できる。

参照

参考文献

  1. ^ Perwass, G. (2009). 幾何代数とその工学への応用. Springer. p. 83. ISBN 9783540890676。
  2. ^ abc 「スカラー射影とベクトル射影」www.ck12.org . 2020年9月7日閲覧。
  3. ^ “Dot Products and Projections”. 2016年5月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年9月5日閲覧。
  4. ^ MJ Baker, 2012. ベクトルの平面への投影。www.euclideanspace.com に掲載。
  • ベクトルの平面への投影
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_projection&oldid=1309591508"