永続モジュール

パーシスタンスモジュールは、パーシスタンスホモロジーおよび位相データ解析における数学的構造であり、オブジェクトの位相的特徴の持続性を、さまざまなスケールパラメータにわたって正式に捉えるものである。パーシスタンスモジュールは、位相空間のフィルタリングに対応するホモロジー群（または体係数を使用する場合はベクトル空間）の集合と、フィルタリングの包含によって誘導される線型写像の集合から構成されることが多い。パーシスタンスモジュールの概念は、2005 年に多項式環上の次数付きモジュールの応用として初めて導入され、古典的な可換代数理論からパーシスタンスホモロジーの設定に、十分に開発された代数的アイデアが取り入れられた。 ^[1]それ以来、パーシスタンスモジュールは応用位相幾何学の分野で研究される主要な代数的構造の 1 つとなっている。^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]}

意味

単一パラメータ永続モジュール

を全順序集合とし、を体とする。集合は添え字集合と呼ばれることもある。このとき、単一パラメータ持続モジュールはの posetカテゴリからおよび線型写像上のベクトル空間のカテゴリへの関手である。^[8]整数などの離散posetで添え字付けされた単一パラメータ持続モジュールは、空間の図として直感的に表すことができる。使用されている添え字集合を強調するため、 で添え字付けされた持続モジュールは-持続モジュール、または単に-モジュールと呼ばれることもある。^[9]添え字集合の一般的な選択肢にはなどがある。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M:T\to \mathbf {Vec} _{K}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \cdots \to M_{-1}\to M_{0}\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots }$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {N} }$

あるいは、カテゴリカルな観点と同等の、持続モジュールの集合論的な定義を使用することもできます。持続モジュールとは、 が-ベクトル空間の集合であり、が各 に対して となる線型写像の集合であるようなペアです。任意のに対して となります（つまり、すべての写像は と可換です）。^[4]${\displaystyle (V,\pi )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{V_{z}\}_{z\in T}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{\pi _{y,z}\}_{y\leq z\in T}}$ ${\displaystyle \pi _{y,z}:V_{y}\to V_{z}}$ ${\displaystyle y\leq z\in T}$ ${\displaystyle \pi _{y,z}\circ \pi _{x,y}=\pi _{x,z}}$ ${\displaystyle x\leq y\leq z\in T}$

マルチパラメータ永続モジュール

を全順序集合の積、すなわち、全順序集合 に対して とします。このとき、のすべての に対してが成り立つ場合にのみ、 の積の半順序を に付与することで、でインデックス付けされたマルチパラメータ持続モジュールを関数 として定義できます。これは単一パラメータ持続モジュールの一般化であり、特に の場合には単一パラメータ定義と一致します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P=T_{1}\times \dots \times T_{n}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{n})\leq (t_{1},\dots ,t_{n})}$ ${\displaystyle s_{i}\leq t_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M:P\to \mathbf {Vec} _{K}}$ ${\displaystyle n=1}$

この場合、 -持続性モジュールは、-次元または-パラメータ持続性モジュールと呼ばれます。あるいは、パラメータの数が文脈からすでに明らかな場合は、単にマルチパラメータまたは多次元モジュールと呼ばれます。^[10]${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

有限 poset として考慮される、5x5 グリッド上にインデックス付けされた 2 つのパラメータの永続性モジュールの例。

多次元持続モジュールは、2009年にカールソンとゾモロディアンによって初めて導入されました。^[11]それ以来、多次元モジュールはデータの形状を研究するためのより構造的な手段を提供することから、その理論と実践に関する研究が盛んに行われてきました。^{[12] [13] [14]}具体的には、多パラメータモジュールは単一パラメータモジュールよりも密度感度と外れ値に対する堅牢性が高く、データ分析に有用なツールとなる可能性があります。^{[15] [16] [17]}

多パラメータ持続性の欠点の一つは、その固有の複雑さです。そのため、多パラメータ持続性モジュールに関連する計算の実行が困難になります。最悪の場合、多次元持続ホモロジーの計算複雑さは指数関数的に増大します。^[18]

2つのマルチパラメータ持続モジュールの類似性を測定する最も一般的な方法は、ボトルネック距離の拡張であるインターリーブ距離を使用することです。 ^[19]

例

相同性モジュール

体 の係数を持つホモロジーを用いると、ホモロジー群はベクトル空間の構造を持つ。したがって、空間 のフィルタリングが与えられた場合、各インデックスにおけるホモロジー関数を適用することで、 の（次元）ホモロジー加群と呼ばれる各 に対する持続加群が得られる。ホモロジー加群のベクトル空間は、すべての に対してインデックスごとに と定義でき、線型写像は の包含写像によって誘導される。^[1]${\displaystyle F:P\to \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle H_{i}(F):P\to \mathbf {Vec} _{K}}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H_{i}(F)_{z}=H_{i}(F_{z})}$ ${\displaystyle z\in P}$ ${\displaystyle F}$

ホモロジーモジュールは、オブジェクトの位相的特徴の数とスケールに関する情報（通常はポイントクラウドのフィルタリングから得られる）を純粋に代数的な構造でエンコードし、可換代数や表現論などの数学の高度な分野から取り入れた代数的手法でデータの形状を理解できるようにするため、最も普遍的な永続性モジュールの例です。^{[5] [20] [21]}

インターバルモジュール

持続モジュールの研究における主要な関心事は、モジュールを大まかに言えば「より単純な部分」に分解できるかどうかである。特に、持続モジュールを区間モジュールと呼ばれるより小さなモジュールの直和として表現できれば、代数的にも計算的にも都合が良い。^[1]

を半集合 の空でない部分集合とする。すると はの 区間である。${\displaystyle J}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle P}$

• あらゆる場合において${\displaystyle x,z\in J}$ ${\displaystyle x\leq y\leq z\in P}$ ${\displaystyle y\in J}$
• 任意の に対して、、 、 がすべての に対して比較可能な要素のシーケンスが存在します。${\displaystyle x,z\in J}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\in J}$ ${\displaystyle p_{1}=x}$ ${\displaystyle p_{n}=z}$ ${\displaystyle p_{i},p_{j}}$ ${\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$

ここで、間隔が与えられれば、次のようにインデックスごとに 永続モジュールを定義できます。${\displaystyle J\subseteq P}$ ${\displaystyle \mathbb {I} ^{J}}$

${\displaystyle \mathbb {I} _{z}^{J}:={\begin{cases}K&{\text{if }}z\in J\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$ ; 。 ${\displaystyle \mathbb {I} _{y,z}^{J}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{if }}y\leq z\in J\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

このモジュールはインターバルモジュールと呼ばれます。^{[9] [22]}${\displaystyle \mathbb {I} ^{J}}$

無料モジュール

とする。すると、空間が次のよう に与えられる場合の持続モジュールを定義することができる。${\displaystyle a\in P}$ ${\displaystyle Q^{a}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle Q_{z}^{a}:={\begin{cases}K&{\text{if }}z\geq a\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$ 、および を介して定義されたマップ。 ${\displaystyle Q_{y,z}^{a}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{if }}z\geq a\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

これはフリー（永続）モジュールと呼ばれます。^[23]${\displaystyle Q^{a}}$

自由加群は、区間加群への分解によって定義することもできます。各 に対して区間（「自由区間」と呼ばれることもあります）を定義します。^[9]すると、となる多重集合が存在する場合、持続加群は自由加群となります。^[22]言い換えれば、加群が自由区間加群の直和として分解できる場合、それは自由加群となります。 ${\displaystyle a\in P}$ ${\displaystyle a^{\llcorner }:=\{b\in P\mid b\geq a\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}(F)\subseteq P}$ ${\displaystyle F=\bigoplus _{a\in {\mathfrak {J}}(F)}\mathbb {I} ^{a^{\llcorner }}}$

プロパティ

有限型条件

上でインデックス付けされた永続モジュールは、次の条件がすべてに当てはまる場合、有限型であると言われます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

1. 各ベクトル空間は有限次元です。${\displaystyle M_{n}}$
2. 写像がすべての に対して同型となるような整数が存在する。${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M_{N,n}}$ ${\displaystyle n\geq N}$

が最初の条件を満たす場合、は一般に点単位有限次元（pfd）であると言われます。^{[24] [25] [26]}点単位有限次元の概念は、任意のインデックスセットにすぐに拡張されます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

有限型の定義は連続添字集合にも適用できる。つまり、が pfd であり、有限個の一意のベクトル空間を含む場合、 は有限型である。 ^[27]正式には、これは有限個を除くすべての点に対して、すべての に対してとなるの近傍が存在し、またすべての に対してとなる が存在することを要求する。^[4]前者の性質のみを満たすモジュールは本質的に離散的 と呼ばれることがあるが、両方の性質を満たすモジュールは本質的に有限と呼ばれる。^{[28] [23] [29]}${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M_{y}\cong M_{z}}$ ${\displaystyle y,z\in N}$ ${\displaystyle w\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{v}=0}$ ${\displaystyle v\leq w}$

-持続加群が半連続であるとは、任意の とに十分近い任意の に対して、写像が同型となることを言う。この条件は、上記の他の有限型条件が満たされる場合には冗長であるため、通常は定義には含まれないが、特定の状況では関連することに注意されたい。^[4]${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M_{y,x}:M_{y}\to M_{x}}$

構造定理

持続モジュール研究における主要な目標の一つは、モジュールを区間モジュールへの分解可能性に基づいて分類することです。区間モジュールの直和として分解可能な持続モジュールは、しばしば単に「区間分解可能」と呼ばれます。この方向における主要な結果の一つは、全順序集合を添字とする任意のpfd持続モジュールが区間分解可能であるというものです。これは「持続モジュールの構造定理」と呼ばれることもあります。^[24]

平面上の 2D 持続モジュールとその区間分解の例。

が有限である場合は、主イデアル領域上の有限生成加群に対する構造定理の直接的な適用である。 上で添字付けされた加群については、構造定理の最初の既知の証明は Webb によるものである。^[30]この定理は、 （または で順序位相を持つ稠密な可算部分集合を含む任意の全順序集合）の場合にCrawley - Boeveyによって2015 年に拡張された^。[31]構造定理の一般化バージョン、すなわち任意の全順序集合 上で添字付けされた pfd 加群に対するものは、2019 年に Botnan と Crawley-Boevey によって確立された。^[32]${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

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