持続ベッティ数

パーシステントホモロジーにおいて、パーシステントベッティ数は、濾過において複数のスケールパラメータにわたって持続する位相的特徴の数を追跡するベッティ数のマルチスケール類似体である。古典的なベッティ数はホモロジー群の階数に等しいが、パーシステントベッティ数はパーシステントホモロジー群の階数である。パーシステントベッティ数の概念は、パーシステントホモロジーと位相的データ解析の分野における重要な論文の1つである2002年の論文「トポロジカル持続性と単純化」で、 Herbert Edelsbrunner 、David Letscher、およびAfra Zomorodianによって導入された。[1] [2]パーシステントベッティ数の応用は、データ分析、 [3]機械学習、[4] [5] [6]および物理学を含むさまざまな分野に見られる。[7] [8] [9] n t h {\displaystyle n^{th}} n t h {\displaystyle n^{th}} n t h {\displaystyle n^{th}} n t h {\displaystyle n^{th}}

意味

を単体複体とし、を単調関数、すなわち非減少関数とします。単調性を条件とすることで、すべての に対して部分集合が の部分複体となることが保証されます。パラメータ を変化させることで、これらの部分複体を入れ子にした列を、ある自然数に対して配置することができます。この列は複体 上のフィルトレーションを定義します。 K {\displaystyle K} f : K → R {\displaystyle f:K\to \mathbb {R} } K （ 1つの ） := f − 1 （ − ∞ 、 1つの ] {\displaystyle K(a):=f^{-1}(-\infty ,a]} K {\displaystyle K} 1つの ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 1つの {\displaystyle a} ∅ ＝ K 0 ⊆ K 1 ⊆ ⋯ ⊆ K n ＝ K {\displaystyle \emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K} n {\displaystyle n} K {\displaystyle K}

パーシステントホモロジーは、フィルトレーションを介した位相的特徴の発展を扱います。この目的のため、フィルトレーション内の各複体のホモロジー群をとることで、フィルトレーション内の包含写像によって誘導される準同型写像によって連結されたホモロジー群の列が得られます。体にホモロジーを適用すると、一般にパーシステンス加群として知られるベクトル空間と線型写像の列が得られます。 p t h {\displaystyle p^{th}} 0 ＝ H p （ K 0 ） → H p （ K 1 ） → ⋯ → H p （ K n ） ＝ H p （ K ） {\displaystyle 0=H_{p}(K_{0})\to H_{p}(K_{1})\to \cdots \to H_{p}(K_{n})=H_{p}(K)}

個々のインデックスにおける静的なトポロジカル情報ではなく、ホモロジー特性の進化を追跡するには、フィルタリングで存続する、つまり複数のスケールパラメータにわたって非自明なままである非自明なホモロジークラスの数だけをカウントする必要があります。

各 に対して、誘導準同型写像 を と表記する。すると、各誘導写像 の像としてパーシステントホモロジー群が定義される。すなわち、すべての に対して が成り立つ。 私 ≤ j {\displaystyle i\leq j} f p 私 、 j {\displaystyle f_{p}^{i,j}} H p （ K 私 ） → H p （ K j ） {\displaystyle H_{p}(K_{i})\to H_{p}(K_{j})} p t h {\displaystyle p^{th}} H p 私 、 j := 私は ⁡ f p 私 、 j {\displaystyle H_{p}^{i,j}:=\operatorname {im} f_{p}^{i,j}} 0 ≤ 私 ≤ j ≤ n {\displaystyle 0\leq i\leq j\leq n}

古典的なベッティ数と並行して、永続ベッティ数は定義によって与えられる永続ホモロジー群の階数と正確に等しい。[10] p t h {\displaystyle p^{th}} p t h {\displaystyle p^{th}} β p 私 、 j := ランク ⁡ H p 私 、 j {\displaystyle \beta _{p}^{i,j}:=\operatorname {rank} H_{p}^{i,j}}

参考文献

  1. ^ Perea, Jose A. (2018-10-01). 「持続性の簡潔な歴史」. arXiv : 1809.03624 [math.AT].
  2. ^ Edelsbrunner; Letscher; Zomorodian (2002). 「位相的持続性と単純化」.離散幾何学と計算幾何学. 28 (4): 511– 533. doi : 10.1007/s00454-002-2885-2 . ISSN  0179-5376.
  3. ^ Yvinec, M., Chazal, F., Boissonnat, J. (2018). 幾何学的および位相的推論. pp. 211. 米国: Cambridge University Press.
  4. ^ Conti, F., Moroni, D., & Pascali, MA (2022). 分類のためのトポロジカル機械学習パイプライン.数学, 10 (17), 3086. https://doi.org/10.3390/math10173086
  5. ^ Krishnapriyan, AS, Montoya, J., Haranczyk, M., Hummelshøj, J., & Morozov, D. (2021年3月31日). 持続的ホモロジーと化学語埋め込みを用いた機械学習は、金属有機構造体における予測精度と解釈可能性を向上させる. arXiv. http://arxiv.org/abs/2010.00532. 2023年10月28日閲覧
  6. ^ 機械学習と知識抽出：第一回IFIP TC 5、WG 8.4、8.9、12.9国際クロスドメイン会議、CD-MAKE 2017、イタリア、レッジョ、2017年8月29日～9月1日、議事録。Andreas Holzinger、 Peter Kieseberg、A. Min Tjoa、Edgar R. Weippl。Cham. 2017。pp.  23– 24。ISBN 978-3-319-66808-6. OCLC  1005114370.{{cite book}}: CS1 メンテナンス: 場所の発行元がありません (リンク) CS1 メンテナンス: その他 (リンク)
  7. ^ 凝縮物質の形態学：空間複雑系の物理学と幾何学クラウス・R・メッケ、ディートリッヒ・ストヤン. ベルリン：シュプリンガー. 2002年. pp.  261– 274. ISBN 978-3-540-45782-4. OCLC  266958114。{{cite book}}: CS1 メンテナンス: その他 (リンク)
  8. ^ Makarenko, I., Bushby, P., Fletcher, A., Henderson, R., Makarenko, N., & Shukurov, A. (2018). 圧縮性磁気流体乱流のトポロジカルデータ解析と診断．Journal of Plasma Physics , 84 (4), 735840403. https://doi.org/10.1017/S0022377818000752
  9. ^ Pranav, P., Edelsbrunner, H., van de Weygaert, R., Vegter, G., Kerber, M., Jones, BJT, & Wintraecken, M. (2017). 永続ベッティ数による宇宙ウェブのトポロジー．王立天文学会月報, 465 (4), 4281–4310. https://doi.org/10.1093/mnras/stw2862
  10. ^ エデルスブルンナー、ハーバート (2010).計算トポロジー入門. J. ハラー. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会. pp.  178– 180. ISBN 978-1-4704-1208-1. OCLC  946298151.
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