フェーズフィールドモデル

フェーズフィールドモデルは、界面問題を解くための数学モデルです。主に凝固ダイナミクス[ 1 ]に適用されていますが、粘性フィンガリング[ 2 ] 、破壊力学[3]、[ 4 ] 、 [ 5 ] 、 [ 6 ] 、水素脆化[ 7 ] 、ベシクルダイナミクス[ 8 ]、[ 9 ] 、[ 10 ] 、[ 11 ]などにも適用されています。

この手法では、界面における境界条件を、秩序パラメータの役割を果たす補助場（位相場）の発展に対する偏微分方程式で置き換えます。この位相場は、各相において2つの異なる値（例えば+1と-1）を取り、界面周辺の領域では両値間で滑らかに変化し、界面は有限の幅で拡散します。界面の離散的な位置は、位相場が特定の値（例えば0）を取るすべての点の集合として定義できます。

フェーズフィールドモデルは通常、界面幅が無限小の極限（いわゆるシャープ界面極限）において正しい界面ダイナミクスが回復されるように構築されます。このアプローチでは、系全体に対する偏微分方程式を積分することで問題を解くことができ、界面における境界条件を明示的に扱う必要がなくなります。

フェーズフィールドモデルはFix [ 12 ]とLanger [ 13 ]によって初めて導入され、凝固をはじめとする様々な分野で関心が高まっています。Langer [ 13 ]は手書きのメモで、Cahn-Hilliard方程式とAllen-Cahn方程式を結合して凝固問題を解くことができることを示しました。George Fixはプログラミング問題に取り組みました。Langerは当時、界面の厚さが典型的な微細構造のサイズに比べて非常に小さいため、この手法は実用的ではないと考え、公表することはありませんでした。

フェーズフィールドモデルの方程式

フェーズフィールドモデルは通常、与えられた界面ダイナミクスを再現するために構築されます。例えば、凝固問題では、界面ダイナミクスはバルク内の濃度または温度に関する拡散方程式と界面におけるいくつかの境界条件（局所平衡条件と保存則）によって与えられ、[ 14 ]シャープ界面モデルを構成します。

二相の微細構造と秩序パラメータプロファイルが、領域を横切る線上に示されている。ある相から別の相への秩序パラメータの漸進的な変化は、界面の拡散特性を示している。φ{\displaystyle \varphi }

フェーズフィールドモデルの多くの定式化は、秩序パラメータ（フェーズフィールド）と拡散場（変分定式化）に依存する自由エネルギー関数に基づいています。モデルの方程式は、統計物理学の一般関係を用いて得られます。このような関数は物理的な考察から構築されますが、界面幅に関連するパラメータ、またはパラメータの組み合わせを含みます。モデルのパラメータは、この幅がゼロになるモデルの極限を調べることで選択され、この極限を意図した鋭い界面モデルと同一視することができます。

他の定式化では、熱力学汎関数（非変分定式化）を参照することなく、フェーズフィールド方程式を直接記述することから始まります。この場合、参照されるのはシャープインターフェースモデルのみであり、これはフェーズフィールドモデルの微小界面幅極限を実行する際に回復されるという意味です。

フェーズフィールド方程式は、界面幅が問題における最小の長さスケールに比べて小さい場合、原理的に界面ダイナミクスを再現します。凝固においては、このスケールは毛細管長であり、これは微視的スケールです。計算の観点からは、このような小さなスケールを解く偏微分方程式の積分は困難です。しかし、KarmaとRappelは薄い界面限界[ 15 ]を導入し、この条件を緩和して、フェーズフィールドモデルによる実用的な定量的シミュレーションへの道を拓きました。コンピュータの性能向上とフェーズフィールドモデリングの理論的進歩により、フェーズフィールドモデルは界面問題の数値シミュレーションに有用なツールとなっています。 do{\displaystyle d_{o}}

変分定式化

系の自由エネルギーを明示的に表すことができれば、物理的な議論によって位相場のモデルを構築することができます。凝固問題の簡単な例を以下に示します。

F[e、φ]＝∫dr[K|∇φ|2+h0f（φ）+e0あなた（φ）2]{\displaystyle F[e,\varphi ]=\int d{\mathbf {r} }\left[K|{\mathbf {\nabla } }\varphi |^{2}+h_{0}f(\varphi )+e_{0}u(\varphi )^{2}\right]}

ここでは相場、は単位体積あたりの局所エンタルピー、は の特定の多項式関数、（ここでは潜熱、は融点、は比熱）である。 の項は界面エネルギーに対応する。 関数は通常、各相のバルクの自由エネルギー密度を記述する二重井戸型ポテンシャルとして取られ、それ自体が関数 の2つの極小値に対応する。 定数および は、それぞれ単位長さあたりのエネルギーと単位体積あたりのエネルギーの次元を持つ。 界面幅は で与えられる。 相場モデルは、次の変分関係から得られる。[ 16 ]φ{\displaystyle \varphi }あなた（φ）＝e/e0+h（φ）/2{\displaystyle u(\varphi )=e/e_{0}+h(\varphi )/2}e{\displaystyle e}h{\displaystyle h}φ{\displaystyle \varphi }e0＝L2/TMcp{\displaystyle e_{0}={L^{2}}/{T_{M}c_{p}}}L{\displaystyle L}TM{\displaystyle T_{M}}cp{\displaystyle c_{p}}∇φ{\displaystyle \nabla \varphi }f（φ）{\displaystyle f(\varphi )}f（φ）{\displaystyle f(\varphi )}K{\displaystyle K}h0{\displaystyle h_{0}}W＝K/h0{\displaystyle W={\sqrt {K/h_{0}}}}

∂tφ＝−1τ（δFδφ）+η（r、t）{\displaystyle \partial _{t}\varphi =-{\frac {1}{\tau }}\left({\frac {\delta F}{\delta \varphi }}\right)+\eta ({\mathbf {r} },t)}
∂te＝De0∇2（δFδe）−∇⋅qe（r、t）。{\displaystyle \partial _{t}e=De_{0}\nabla ^{2}\left({\frac {\delta F}{\delta e}}\right)-{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {q} }_{e}(\mathbf {r} ,t).}

ここで、Dは変数 の拡散係数であり、と は熱揺らぎを考慮した確率項である（その統計的性質は揺らぎ散逸定理から得られる）。最初の式は位相場の発展を表す式であり、2番目の式は拡散方程式であり、通常は温度または濃度（合金の場合）について書き直される。これらの式は、空間を、時間を でスケーリングすると、以下のようになる。 e{\displaystyle e}η{\displaystyle \eta}qe{\displaystyle \mathbf {q} _{e}}l{\displaystyle l}l2/D{\displaystyle l^{2}/D}

αε2∂tφ＝ε2∇2φ−f′（φ）−e0h0h′（φ）あなた+η〜（r、t）{\displaystyle \alpha \varepsilon ^{2}\partial _{t}\varphi =\varepsilon ^{2}\nabla ^{2}\varphi -f'(\varphi )-{\frac {e_{0}}{h_{0}}}h'(\varphi )u+{\tilde {\eta }}({\mathbf {r} },t)}
∂tあなた＝∇2あなた+12h′（φ）∂tφ−∇⋅qあなた（r、t）{\displaystyle \partial _{t}u=\nabla ^{2}u+{\frac {1}{2}}h'(\varphi )\partial _{t}\varphi -\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)}

ここで、 は無次元界面幅、、 およびは無次元化ノイズです。 ε＝W/l{\displaystyle \varepsilon =W/l}α＝Dτ/W2h0{\displaystyle \alpha ={D\tau }/{W^{2}h_{0}}}η〜（r、t）{\displaystyle {\チルダ {\eta }}({\mathbf {r} },t)}qあなた（r、t）{\displaystyle \mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)}

代替エネルギー密度関数

自由エネルギー関数の選択は、界面の物理的挙動に大きな影響を与える可能性があるため、注意して選択する必要があります。二重井戸関数は、臨界点付近のファンデルワールス状態方程式の近似値を表し、歴史的には、フェーズフィールドモデルが界面追跡の目的にのみ使用される場合に実装が簡単なため使用されてきました。しかし、これは頻繁に観察される自発的な液滴収縮現象につながっています。この現象では、臨界点付近の状態方程式によって予測される高い相混和性により、相の大幅な相互浸透が可能になり、最終的には半径がある臨界値を下回る液滴が完全に消失する可能性があります。[ 17 ] シミュレーションの期間中の認識される連続性損失を最小限に抑えるには、移動度パラメーターに制限を設ける必要があり、対流による界面の汚れ、自由エネルギー最小化による界面再構築（つまり、移動度ベースの拡散）、および移動度に依存する相の相互浸透の間で微妙なバランスが必要になります。界面追跡アプリケーションにおける代替エネルギー密度関数に関する最近のレビューでは、自発的な液滴収縮現象と移動度の制限を回避する、二重障害関数の修正版が提案されている[ 18 ]。この関数との比較結果は、二重井戸関数と流体体積鋭い界面法を用いた多くのベンチマークシミュレーションに提供されている。提案された実装は、二重井戸関数よりもわずかに計算量が多いだけであり、シミュレーション現象の持続時間や性質によって相連続性が懸念されるフェーズフィールドモデルの界面追跡アプリケーション（例えば、小さな液滴、拡張シミュレーション、複数の界面など）に有用であることが証明される可能性がある。 f（φ）{\displaystyle f(\varphi )}

フェーズフィールド方程式のシャープインターフェース極限

フェーズフィールドモデルは、シャープインターフェースモデルで表される特定の界面ダイナミクスを意図的に再現するように構築できます。このような場合、提案されたフェーズフィールド方程式のセットのシャープインターフェース極限（つまり、インターフェース幅がゼロになる極限）を実行する必要があります。この極限は通常、モデルのフィールドをインターフェース幅のべき乗で漸近展開することによって取られます。これらの展開は、界面領域（内部展開）とバルク（外部展開）の両方で実行され、次に次数ごとに漸近的に一致させます。その結果、拡散場の偏微分方程式とインターフェースでの一連の境界条件が得られます。これはシャープインターフェースモデルに対応する必要があり、シャープインターフェースモデルと比較することで、フェーズフィールドモデルのパラメータの値が得られます。 ε{\displaystyle \varepsilon }

初期のフェーズフィールドモデルでは、このような展開は低次の段階までしか行われていなかったが、近年のモデルでは、不要な偽効果を打ち消したり、モデルに新しい物理特性を取り入れたりするために、高次の漸近線（薄い界面の極限）が用いられる。例えば、この手法により、運動学的効果を打ち消すこと、[ 15 ]、相間で拡散率が等しくない場合を扱うこと、[ 19 ] 、粘性フィンガリング[ 2 ]や二相ナビエ・ストークス流[ 20 ]をモデル化すること、 [ 21 ]などが 可能になった。ε{\displaystyle \varepsilon }

多相場モデル

多重次パラメータは多結晶材料の微細構造を記述します。

マルチフェーズフィールドモデルでは、ミクロ組織は一連の秩序パラメータによって記述され、各パラメータは特定の相または結晶方位と関連している。このモデルは主に、複数の結晶粒が発達する固体相変態（例えば、粒成長、再結晶、あるいは鉄合金におけるオーステナイトからフェライトへの一次相変態）に用いられる。マルチフェーズフィールドモデルは、ミクロ組織における複数の結晶粒の記述を可能にするだけでなく、特に工業用合金グレードにおいて発生する複数の熱力学的相を考慮することを可能にする。[ 22 ]

グラフ上のフェーズフィールドモデル

連続体フェーズフィールドモデルの結果の多くには、微積分をグラフ上の微積分に置き換えるだけでグラフの離散類似物があります。

破壊力学におけるフェーズフィールドモデリング

固体の破壊は、離散的または拡散的亀裂表現を用いた有限要素法のコンテキスト内で数値解析されることが多い。有限要素表現を用いるアプローチでは、要素内レベルに埋め込まれた強い不連続性を利用することが多く、亀裂経路を決定するために、応力、ひずみエネルギー密度、エネルギー解放率などに基づく追加の基準や、仮想亀裂閉口法やリメッシュといった特別な処理が必要となる。一方、拡散的亀裂表現を用いるアプローチでは、連続体損傷モデルやフェーズフィールド破壊理論のように、変位場の連続性を維持する。フェーズフィールド破壊理論は、グリフィスの原理を変分形式で再定式化したものから派生したものであり、勾配強調型損傷モデルとの類似性を持つ。フェーズフィールド破壊アプローチの最も魅力的な特徴は、弾性エネルギーと破壊エネルギーを連成する最小化問題から、亀裂の発生と亀裂経路が自動的に得られる点にあると言えるだろう。多くの場合、き裂核形成は、弾性解に関連する臨界点の分岐を、それらが安定性を失うまで追跡することで適切に説明できます。特に、破壊のフェーズフィールドモデルでは、弾性ひずみエネルギー密度が空間的に一定であっても、核形成を許容することができます。[ 23 ] このアプローチの限界は、核形成が応力ではなくひずみエネルギー密度に基づいていることです。この問題に対処するために、核形成の駆動力を導入する別の考え方があります。[ 24 ]

集団細胞移動のフェーズフィールドモデル

多相場アプローチに基づくCeladro-3Dソフトウェアを使用した 3D 集団細胞相互作用のシミュレーション例。

生物細胞群は、アデノシン三リン酸の消費により、複雑な方法で自走することができます。細胞間の凝集力や複数の化学的刺激などの相互作用は、協調的な動きを生み出し、「集団細胞移動」と呼ばれる現象を引き起こします。これらの現象の理論モデルはフェーズフィールドモデル[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]であり、各細胞種に対するフェーズフィールドと、走化性因子の濃度などの追加のフィールド変数を組み込んでいます。このようなモデルは、癌、細胞押し出し[ 28 ]、創傷治癒、形態形成、エクトプラズム現象などの現象に使用できます。

ソフトウェア

参考文献

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