アーノルド舌

円写像の2つのパラメータ（x軸のΩとy軸のK）の異なる値に対する回転数。舌状部分が見える。

数学、特に力学系において、アーノルド・タン（ウラジミール・アーノルドにちなんで名付けられた）^{[ 1 ] [ 2 ]}は、力学系の回転数、あるいはそれに関連する不変特性が、その2つ以上のパラメータに応じてどのように変化するかを視覚的に表現した際に生じる図的現象である。一部の力学系では、回転数が一定である領域がタンに似た幾何学的形状を形成することが観察されており、その場合、アーノルド・タンと呼ばれる。^{[ 3 ]}

アーノルド・タングは、生物学的プロセスにおける酵素や基質の濃度^{[ 4 ]}や心臓の電波など、振動量が関与するさまざまな自然現象で観測されています。振動の周波数は、ある量によって左右されたり、制約されたり（位相同期やモード同期など）、することがあり、この関係を研究することはしばしば興味深いことです。例えば、腫瘍の発生は、その領域で一連の物質（主にタンパク質）振動を引き起こし、それらが相互作用します。シミュレーションでは、これらの相互作用によってアーノルド・タングが出現すること、つまり一部の振動の周波数が他の振動を制約することが示されており、これを利用して腫瘍の成長を制御できます。^{[ 3 ]}

アーノルド・タングが見られる他の例としては、楽器の不調和性、軌道を周回する衛星の軌道共鳴と潮汐ロック、光ファイバーや位相同期回路などの電子発振器のモードロック、心臓のリズム、不整脈、細胞周期などがあります。^{[ 5 ]}

モード同期を示す最も単純な物理モデルの一つは、弱いバネで接続された2枚の回転円板で構成されます。一方の円板は自由に回転し、もう一方の円板はモーターで駆動されます。モード同期は、自由に回転する円板が駆動される回転子の周波数の有理数倍の周波数で回転するときに発生します。

モードロックを示す最も単純な数学モデルは円マップであり、これは回転するディスクの動きを離散的な時間間隔で捉えようとするものです。

標準円形地図

に固定されたの分岐図。は下から上へと進み、軌道は ではなく の区間内に表示されます。黒い領域はアーノルド舌状部に対応します。${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle [-0.5,0.5]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

アーノルド・タングは、振動子間の相互作用、特に1つの振動子が別の振動子を駆動する場合を研究するときに最も頻繁に出現する。つまり、1つの振動子が他の振動子に依存しているが、その逆はないため、例えばクラモトモデルで起こるように、振動子同士が相互に影響を及ぼし合うことはない。これは駆動振動子の特殊なケースであり、駆動力は周期的な挙動を示す。実際の例として、心臓細胞（外部振動子）は周期的な電気信号を生成して心臓の収縮（駆動振動子）を刺激する。この場合、振動子の周波数間の関係を決定することは、より優れた人工ペースメーカーを設計するのに役立つ可能性がある。円写像族は、この生物学的現象だけでなく、他の多くの現象に対しても有用な数学モデルとして機能する。^{[ 6 ]}

円写像の族は、円のそれ自身への写像（または自己準同型）である。円上の点を、実数直線上の点として捉え、その点が円上で位置する角度を法として解釈する方が数学的には単純である。法を 以外の値でとった場合も、結果は角度を表すが、範囲全体を表現できるように正規化する必要がある。これを念頭に置くと、円写像の族は次のように与えられる。^{[ 7 ]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \theta_{i+1}=g(\theta_{i})+\Omega }$

ここで、 は振動子の「固有」振動数であり、は外部振動子によって引き起こされる影響を表す周期関数です。に対して の場合、粒子は円周を単位ずつ移動するだけであることに留意してください。特に、が無理数の場合、写像は無理数回転に簡約されます。 ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(\theta )=\theta }$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \オメガ}$

^{アーノルドによって最初に研究され、 [ 8 ]}現在でも有用であることが証明されている 特定の円地図は次のとおりです。

${\displaystyle \theta_{i+1}=\theta_{i}+\Omega +{\frac{K}{2\pi}}\sin(2\pi \theta_{i})}$

ここでは結合強度と呼ばれ、を法として解釈されるべきである。この写像はパラメータ と に依存して非常に多様な挙動を示す。を固定し、 を変化させると、この段落の周囲に分岐図が得られ、周期軌道、周期倍分岐、そしてカオス的挙動が観察される。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta_{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \Omega =1/3}$ ${\displaystyle K}$

円地図の導出

円地図が「自然に」生じる単純なモデルの描写。赤い線はゼロに達するたびに正弦波状の黒い線にリセットされます。${\displaystyle y(t)}$

円地図の別の見方は次のとおりです。傾き で線形に減少する関数を考えます。関数がゼロに達すると、その値は関数 で表される特定の振動値にリセットされます。ここで注目するのは、y(t) がゼロに達する 時刻の系列です。${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z(t)=c+b\sin(2\pi t)}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}}$

このモデルによれば、時刻 においてが成り立つことがわかります。この時点から は線形に減少し、 で関数 がゼロとなるため、次の式が得られます。 ${\displaystyle t_{n-1}}$ ${\displaystyle y(t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{aligned}}}$

と を選択すると、前述の円地図が得られます。 ${\displaystyle \Omega =c/a}$ ${\displaystyle K=2\pi b/a}$

${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi t_{n-1}).}$

Glass, L. (2001)は、この単純なモデルは、細胞や血液中の物質濃度の調節など、一部の生物学的システムに適用可能であり、上記は特定の物質の濃度を表していると主張しています。 ${\displaystyle y(t)}$

このモデルでは、位相同期とは、正弦波の周期ごとに正確に倍にリセットされることを意味します。回転数は の商となります。^{[ 7 ]}${\displaystyle N:M}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle z(t)}$ ${\displaystyle N/M}$

プロパティ

円準同型の一般的な族を考えてみましょう。

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

ここで、標準的な円写像の場合、 となります。円写像を写像 で表すと便利な場合もあります。 ${\displaystyle g(\theta )=\theta +(K/2\pi )\sin(2\pi \theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle \theta _{i+1}=f(\theta _{i})=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

ここで、これらの円準同型性のいくつかの興味深い特性を列挙してみましょう。

P1. は に対して単調増加なので、 のこれらの値に対しては、反復は円内を前方にのみ移動し、後方には決して移動しません。これを確認するには、 の導関数が次の式であることに注目してください。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K<1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(\theta )=1+K\cos(2\pi \theta )}$

これは である限り正です。 ${\displaystyle K<1}$

P2.再帰関係を展開すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \theta _{n}}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n-1}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

P3.と仮定すると、これらは周期 の周期的な固定点である。正弦波は周波数 1 Hz で振動するため、 の周期あたりの正弦波の振動数はとなり、の位相同期を特徴付ける。^{[ 7 ]}${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}{\bmod {1}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle M=(\theta _{n}-\theta _{0})\cdot 1}$ ${\displaystyle n:M}$

P4.任意の に対してが真であり、これは が成り立つことを意味します。そのため、多くの目的において、反復を法として行うかどうかは問題になりません。 ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta )+p}$ ${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta ){\bmod {1}}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle 1}$

P5（並進対称性）^{[ 9 ] [ 7 ]}与えられた に対して、系に位相同期が存在すると仮定する。すると、整数に対して、位相同期が存在する。これはまた、 がパラメータ に対して周期軌道である場合、任意の に対しても周期軌道であることを意味する。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n:M}$ ${\displaystyle \Omega '=\Omega +p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n:(M+np)}$ ${\displaystyle \theta _{0},\dots ,\theta _{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega '=\Omega +p,p\in \mathbb {N} }$

これを確認するには、特性 2 の再帰関係が次のようになることに注意してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n}'&=\theta _{0}+n\Omega '+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{0}+n(\Omega +p)+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{n}+np,\end{aligned}}}$

したがって、元の位相ロックにより、次のようになります。${\displaystyle \theta _{n}-\theta _{0}=M}$ ${\displaystyle \theta _{n}'-\theta _{0}=\theta _{n}+np-\theta _{0}=M+np}$

P6.が有理数であるとき、位相同期が必ず起こる。さらに、 とすると、位相同期は である。 ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =p/q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle q:p}$

性質2の再帰関係を考慮すると、有理数は次を意味します。 ${\displaystyle \Omega =p/q}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n{\frac {p}{q}}}$

そして、等式係数はが整数の場合にのみ成立し、これを満たす最初のものは です。したがって、 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n(p/q)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=q}$

${\displaystyle \theta _{q}=\theta _{0}+p}$

${\displaystyle (\theta _{q}-\theta _{0})=p}$

位相ロックを意味します。 ${\displaystyle q:p}$

無理数（無理数回転につながる）の場合、整数およびに対してとなる必要がありますが、その場合および は有理数となり、最初の仮説と矛盾します。${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n\Omega =k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega =k/n}$ ${\displaystyle \Omega }$

モードロック

標準円写像のアーノルド舌のいくつか、ε  = ⁠K/2π​⁠

K  = 1で一定に保たれたΩの関数としての回転数

Kが小さい値から中程度の値（つまりK  = 0 からK = 1 程度の範囲）まで、および Ω が特定の値の場合、このマップはモード同期または位相同期 と呼ばれる現象を示します。位相同期領域では、θ _{n の}値は基本的にnの有理数倍として進みますが、小規模なスケールではカオス的に進むこともあります。

モード同期領域における限界動作は回転数によって与えられます。

${\displaystyle \omega =\lim _{n\to \infty }{\frac {\theta _{n}}{n}}.}$ ^{[ 10 ]}

これは地図巻き数とも呼ばれることがあります。

位相同期領域、すなわちアーノルド・タングは、右の図に黄色で示されています。このようなV字型の領域はそれぞれ、有理値Ω =  ⁠に接しています。p/q⁠ K → 0の極限で。これらの領域の 1 つにおける ( K ,Ω) の値はすべて、回転数ω  =  ⁠となるような運動をもたらします。p/q例えば、図の中央下部の大きなV字型の領域内の（ K 、Ω）のすべての値は、回転数ω  =  ⁠に対応します。1/2⁠。「ロック」という用語が使用される理由の一つは、個々の値θ _{n が、}限界回転数に影響を与えることなく、かなり大きなランダム外乱（ Kの値が与えられた場合、舌状部の幅まで）によって変動し得ることである。つまり、系列θ _nに大きなノイズが加わっても、系列は信号に「ロックオン」したままである。ノイズの存在下でも「ロックオン」できるこの能力は、位相同期回路（PLL）の有用性において中心的な役割を果たしている。

すべての有理数にはモード同期領域が存在する⁠p/q⁠ 。円写像は、 K = 0における測度ゼロの集合である有理数を、 K ≠ 0 における測度ゼロでない集合に写すと言われることがあります。 大きさの順に並べられた最大の舌は、ファレー分数で発生します。Kを固定し、この像の断面をとって、ω がΩ の関数としてプロットされると、「悪魔の階段」が得られます。これは、カントール関数と一般的に類似した形状です。K < 1の場合、円写像は微分同相写像であり、安定解は1つしか存在しないことが示せます。しかし、 K > 1の場合、これはもはや成り立たず、2つの重なり合う同期領域を持つ領域が見つかります。円写像の場合、この領域では2つ以上の安定モード同期領域が重なり合うことはできないことが示せますが、一般的な同期システムにおける重なり合うアーノルド舌の数に制限があるかどうかは分かっていません。

円マップは、カオスへのサブハーモニックルート、つまり 3、6、12、24、... の形式の周期倍増 も示します。

チリコフ標準地図

チリコフ標準写像は円写像と関連しており、同様の再帰関係を持ち、次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n+1}&=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})\\p_{n+1}&=\theta _{n+1}-\theta _{n}\end{aligned}}}$

両方の反復は1を法として行われます。本質的に、標準写像は運動量p _nを導入します。これは、円写像のように固定されるのではなく、動的に変化することが許されます。標準写像は、物理学においてキック回転子ハミルトニアンを用いて研究されます。

アプリケーション

アーノルド舌は、

• 心臓リズム- Glass, L. et al. (1983)およびMcGuinness, M. et al. (2004)を参照
• 共鳴トンネルダイオード発振器の同期^{[ 11 ]}

ギャラリー

モード同期領域、あるいはアーノルド・タングを黒で示す円図。Ωはx軸に沿って0から1まで変化し、Kは下端の0から上端の4πまで変化する。色が赤いほど、繰り返し時間が長い。

回転数。黒が0、緑が⁠1/2⁠から赤まで 1 です。Ω はx軸に沿って 0 から 1 まで変化し、K は下部の 0 から上部の2 πまで変化します。

参照

• 位相同期回路
• 倉本モデル
• シュトゥルム語

注記

1. アーノルド、VI (1961)。「分母が小さい。I. 円をそれ自体にマッピングする」。イズベスティア・ロシイスコイ・アカデミ・ナウク。セリヤ・マテマチェスカヤ。25 (1): 21-86 .78 ページのセクション 12 には、アーノルドの舌を示す図があります。
2. アーノルドの論文の英語への翻訳: S. Adjan; VI アーノルド; SPデムスキン。ジュウ。 S.グレビッチ。 SSケムハーゼ。 NIクリモフ。ジュウ。 V.リンニック。 AVマリシェフ; PS ノヴィコフ; DA スププルネンコ。 VA タルタコフスキー。 V.タシュバエフ。数論、代数、複素変数の関数に関する 11 冊の論文。 Vol. 46. アメリカ数学協会翻訳シリーズ 2。
3. Jensen, MH; Krishna, S. (2012). 「駆動刺激の変調による細胞振動子の位相同期とカオスの誘発」. FEBS Letters . 586 (11): 1664– 1668. arXiv : 1112.6093 . doi : 10.1016/ j.febslet.2012.04.044 . PMID 22673576. S2CID 2959093 .  
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8. 彼は正弦の代わりに余弦を使って研究しました。Arnol'd , VI (1961)の78ページを参照してください。
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参考文献

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外部リンク

• インタラクティブな Java アプレットを使用した円形マップ