ピライの算術関数

数論において、GCD和関数^{[ 1 ]}はピライの算術関数 とも呼ばれ、^{[ 1 ]}は任意の に対して次のように定義される。${\displaystyle n}$

${\displaystyle P(n)=\sum _{k=1}^{n}\gcd(k,n)}$

または同等の^{[ 1 ]}

${\displaystyle P(n)=\sum _{d\mid n}d\varphi (n/d)}$

ここでは の約数であり、はオイラーのトーティエント関数です。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi }$

^{[ 2 ]}とも書くことができる。

${\displaystyle P(n)=\sum _{d\mid n}d\tau (d)\mu (n/d)}$

ここで、は除数関数、 はメビウス関数です。 ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \mu}$

この乗法演算関数は、 1933年にインドの数学者スバヤ・シヴァサンカラナラヤナ・ピライによって導入されました^{。[ 3 ]}

^{[ 4 ]}

参考文献

1. Lászlo Tóth (2010). 「GCD和関数の概観」J. Integer Sequences . 13 .
2. GCD(k,n)の合計
3. SS Pillai (1933). 「算術関数について」.アンナマライ大学ジャーナル. II : 242–248 .
4. Broughan, Kevin (2002). 「GCD和関数」. Journal of Integer Sequences . 4 (Article 01.2.2): 1– 19.

（OEISの配列A018804）