ピンポン補題
Aspect of group theory in mathematics

数学において、ピンポン補題、または卓球補題とは、集合に作用する群 の複数の要素がその群の 自由部分群を自由に生成することを保証する数学的記述のいずれかである。

歴史

ピンポン論証は19世紀後半に遡り、一般的にはフェリックス・クラインの功績とされている[1]。彼はこの論証を使ってクライン群の部分群、つまり双曲的3次元空間の等長変換の離散群、あるいはリーマン球面のメビウス変換の研究をした。ピンポン補題は、ジャック・ティッツが1972年の論文[2]で使った重要な道具で、この論文にはティッツの代替として現在知られている有名な結果の証明が含まれていた。この結果は、有限生成線型群は事実上解けるか、階数2の自由部分群を含むかのどちらかであると述べている。ピンポン補題とそのバリエーションは、幾何学的位相幾何学や幾何学的群論で広く使われている。

ピンポン補題の現代版は、Lyndon & Schupp、[3] de la Harpe、[1] Bridson & Haefliger [4]などの多くの書籍に掲載されています。

正式な声明

いくつかの部分群に対するピンポン補題

このバージョンのピンポン補題は、集合に作用する群の複数の部分群が自由積を生成することを保証する。以下の記述はOlijnyk and Suchchansky (2004) [5]に見られ、証明はde la Harpe (2000) [1]による。

G を集合Xに作用する群とし、H 1、H 2、...、H kをk ≥ 2であるGのサブグループとし、これらのサブグループの少なくとも 1 つは位数が 2 より大きいものとします。Xの互いに素な空でないサブセットX 1、X 2、...、X kが存在し、次の式が成り立つものと します。

  • 任意のi ≠ sおよびH i内の任意のh、h ≠ 1に対して、 h ( X s ) ⊆ X iが成立します。

それから ⟨ H 1 , … , H k ⟩ = H 1 ∗ ⋯ ∗ H k . {\displaystyle \langle H_{1},\dots ,H_{k}\rangle =H_{1}\ast \dots \ast H_{k}.}

証拠

自由積の定義により、与えられた（空でない）簡約語が の非自明な元を表すことを確認すれば十分です。が長さ のそのような語であるとし、 がある に対してであるとします。 が簡約されているため、任意の に対して が成り立ち、それぞれは の単位元と異なります。次に、 がいずれかの集合 の元に作用するようにします。少なくとも 1 つのサブグループの位数が 3 以上であると仮定すると、一般性を失うことなく の位数が 3 以上であると仮定できます。まず、と が両方とも 1 であると仮定します（これは を意味します）。ここから への作用について考えます。次の包含の連鎖が得られます。 G {\displaystyle G} w {\displaystyle w} m ≥ 2 {\displaystyle m\geq 2} w = ∏ i = 1 m w i , {\displaystyle w=\prod _{i=1}^{m}w_{i},} w i ∈ H α i {\textstyle w_{i}\in H_{\alpha _{i}}} α i ∈ { 1 , … , k } {\textstyle \alpha _{i}\in \{1,\dots ,k\}} w {\textstyle w} α i ≠ α i + 1 {\displaystyle \alpha _{i}\neq \alpha _{i+1}} i = 1 , … , m − 1 {\displaystyle i=1,\dots ,m-1} w i {\displaystyle w_{i}} H α i {\displaystyle H_{\alpha _{i}}} w {\displaystyle w} X i {\textstyle X_{i}} H i {\displaystyle H_{i}} H 1 {\displaystyle H_{1}} α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} α m {\displaystyle \alpha _{m}} m ≥ 3 {\displaystyle m\geq 3} w {\displaystyle w} X 2 {\displaystyle X_{2}} w ( X 2 ) ⊆ ∏ i = 1 m − 1 w i ( X 1 ) ⊆ ∏ i = 1 m − 2 w i ( X α m − 1 ) ⊆ ⋯ ⊆ w 1 ( X α 2 ) ⊆ X 1 . {\displaystyle w(X_{2})\subseteq \prod _{i=1}^{m-1}w_{i}(X_{1})\subseteq \prod _{i=1}^{m-2}w_{i}(X_{\alpha _{m-1}})\subseteq \dots \subseteq w_{1}(X_{\alpha _{2}})\subseteq X_{1}.}

異なるは互いに素であるという仮定により、は の何らかの要素に対して非自明に作用し、したがって の非自明な要素を表すと結論付けられます。 X i {\displaystyle X_{i}} w {\displaystyle w} X 2 {\displaystyle X_{2}} w {\displaystyle w} G {\displaystyle G}

証明を終えるには、次の 3 つのケースを考慮する必要があります。

  • ならば、 とします（仮定により は少なくとも 3 の位数を持つため、このような は存在します）。 α 1 = 1 , α m ≠ 1 {\displaystyle \alpha _{1}=1,\,\alpha _{m}\neq 1} h ∈ H 1 ∖ { w 1 − 1 , 1 } {\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{w_{1}^{-1},1\}} h {\displaystyle h} H 1 {\displaystyle H_{1}}
  • ならばとします。 α 1 ≠ 1 , α m = 1 {\displaystyle \alpha _{1}\neq 1,\,\alpha _{m}=1} h ∈ H 1 ∖ { w m , 1 } {\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{w_{m},1\}}
  • そして ならばとします。 α 1 ≠ 1 , α m ≠ 1 {\displaystyle \alpha _{1}\neq 1,\,\alpha _{m}\neq 1} h ∈ H 1 ∖ { 1 } {\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{1\}}

いずれの場合も、簡約後の は、 の最初と最後の文字を含む簡約語になります。最後に、は の非自明な元を表し、 も同様です。これは主張を証明しています。 h w h − 1 {\displaystyle hwh^{-1}} H 1 {\displaystyle H_{1}} h w h − 1 {\displaystyle hwh^{-1}} G {\displaystyle G} w {\displaystyle w}

巡回部分群のピンポン補題

G を集合Xに作用する群とする。a 1 , ... , a kをGの無限位数の元とする（ただしk ≥ 2）。互いに素な空でない部分集合が存在するとする。

X 1 +、...、X k +およびX 1 –、...、X k –

Xには次の特性があります:

  • a i ( X − X i – ) ⊆ X i +（ i = 1, ..., k ）；
  • a i −1 ( X − X i + ) ⊆ X i –（ i = 1, ..., k ）です。

すると、 a 1 , ..., a kによって生成される部分群H = ⟨ a 1 , ... , a k ⟩ ≤ Gは自由基底{ a 1 , ..., a k }を持つ自由群となる。

証拠

この記述は、X i = X i + ∪ X i −およびH i = ⟨ a i ⟩とすれば、一般部分群のバージョンの系として成り立ちます。

例

特殊線型群の例

ピンポン補題[1]を用いて、 H = ⟨ A , B ⟩ ≤ SL 2 ( Z )という部分群が行列 によって生成され、ランク2 を持たないことを証明することができる。 A = ( 1 2 0 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}} B = ( 1 0 2 1 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}

証拠

実際、H 1 = ⟨ A ⟩とH 2 = ⟨ B ⟩をそれぞれAとBによって生成されるSL 2 ( Z )の巡回部分群とします。AとB がSL 2 ( Z )の無限位数の元であり 、 かつ H 1 = { A n ∣ n ∈ Z } = { ( 1 2 n 0 1 ) : n ∈ Z } {\displaystyle H_{1}=\{A^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\left\{{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \right\}} H 2 = { B n ∣ n ∈ Z } = { ( 1 0 2 n 1 ) : n ∈ Z } . {\displaystyle H_{2}=\{B^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}

SL 2 ( Z )のR 2への標準作用を線形変換によって 考える 。 X 1 = { ( x y ) ∈ R 2 : | x | > | y | } {\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}} X 2 = { ( x y ) ∈ R 2 : | x | < | y | } . {\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}.}

H 1とH 2の上記の明示的な記述を用いて、任意の非自明なg ∈ H 1に対してg ( X 2 ) ⊆ X 1が成り立ち、任意の非自明なg ∈ H 2に対してg ( X 1 ) ⊆ X 2が成り立つことを確認するのは難しくありません。ピンポン補題の代替形を用いて、上記の2つの部分群について、H = H 1  ∗  H 2と結論付けます。群H 1とH 2は無限巡回群であるため、 Hは階数2の自由群であることがわかります。

単語双曲群の例

G を捩れのない、つまり有限位数の非恒等元を持たない語双曲群とする。g , h ∈ Gを2つの非可換元、つまりgh ≠ hgを満たす元とする。すると、任意の整数n ≥ M、m ≥ Mに対して、部分群H = ⟨ g n , h m ⟩ ≤ Gが階数2を持たない ようなM ≥ 1が存在する。

証明のスケッチ

出典: [6]

群Gは、その双曲的境界∂ Gに同相写像によって作用する。Gのaが非恒等元である場合、 a は∂ Gにおいてちょうど2つの異なる不動点a ∞とa −∞を持ち、 a ∞は吸引不動点であり、 a −∞は反発不動点であることが知られている。

gとh は可換ではないので、語双曲群に関する基本事実から、 g ∞、g −∞、h ∞、h −∞は∂ Gの4つの異なる点であることがわかる。∂ Gにおいて、 g ∞、g −∞、h ∞、h −∞のそれぞれ互いに交わらない近傍 U +、U −、V +、V −をとる。すると、 gとhの不動点の吸引/反発特性から、任意の整数n ≥ M、m ≥ Mに対して、 M ≥ 1が存在することがわかる。

  • g n (∂ G – U – ) ⊆ U +
  • g − n (∂ G – U + ) ⊆ U –
  • h m (∂ G – V – ) ⊆ V +
  • h − m (∂ G – V + ) ⊆ V –

ピンポン補題は、H = ⟨ g n , h m ⟩ ≤ Gがランク2を持たないことを意味します。

ピンポン補題の応用

参考文献

  1. ^ abcd ピエール・ド・ラ・ハルプ著『幾何学群論の話題』シカゴ数学講義集、シカゴ大学出版局、シカゴ。ISBN 0-226-31719-6; 第II章B節「卓球の補題（クラインの基準）と自由積の例」; pp. 25–41.
  2. ^ ab J. Tits. 線型群の自由部分群. Journal of Algebra , vol. 20 (1972), pp. 250–270
  3. ^ ab ロジャー・C・リンドンとポール・E・シュップ。組み合わせ群理論。 Springer-Verlag、ニューヨーク、2001 年。「Classics in Mathematics」シリーズ、1977 年版の再版。ISBN 978-3-540-41158-1;第 II 章、セクション 12、167 ～ 169 ページ
  4. ^ マーティン・R・ブリッドソン、アンドレ・ヘフリガー。非正の曲率の計量空間。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、319。Springer-Verlag、ベルリン、1999。ISBN 3-540-64324-9; 第III章 Γ、467～468ページ
  5. ^ Andrij Olijnyk と Vitaly Suchchansky. 有限体上の無限単位三角行列による自由積の表現. International Journal of Algebra and Computation. 第14巻 (2004年), 第5-6号, pp. 741-749; 補題2.1
  6. ^ ab M. Gromov.双曲群.群論エッセイ集, pp. 75–263, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 8, Springer, New York, 1987; ISBN 0-387-96618-8; 第8.2章、211～219ページ。
  7. ^ Alexander Lubotzky . 局所体上の階数1のリー群の格子. Geometric and Function Analysis , vol. 1 (1991), no. 4, pp. 406–431
  8. ^ リチャード・P・ケント、クリストファー・J・レイニンガー著「幾何学的観点から見た写像類群の部分群」アルフォース＝ベルスの伝統に則ってIV、pp. 119–141、現代数学シリーズ、432、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、2007年、 ISBN 978-0-8218-4227-0; 0-8218-4227-7
  9. ^ M. Bestvina、M. Feighn、M. Handel. 自由群のラミネーション、ツリー、および既約自己同型. Geometric and Functional Analysis、第7巻（1997年）、第2号、pp. 215–244.
  10. ^ ピエール・ド・ラ・ハルプ。線形グループ内のフリーグループ。 L'Enseignement Mathématique (2)、vol. 29 (1983)、いいえ。 1-2、129–144ページ
  11. ^ バーナード・マスキット。 クライン派のグループ。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、287。Springer-Verlag、ベルリン、 1988。ISBN 3-540-17746-9; 第7章C節と第7章E節 149～156ページと160～167ページ
  12. ^ ピエール・ド・ラ・アルプ著『幾何学的群論の話題』シカゴ数学講義、シカゴ大学出版局、シカゴ。ISBN 0-226-31719-6; 第II章B節「卓球の補題（クラインの基準）と自由積の例」187～188ページ。
  13. ^ Alex Eskin, Shahar Mozes, Hee Oh. 線形群の一様指数関数的増加について. Inventiones Mathematicae . vol. 60 (2005), no. 1, pp.1432–1297; 補題2.2
  14. ^ Roger C. AlperinとGuennadi A. Noskov. 均一成長、木への作用、GL2. 計算群論と統計群論：AMS特別セッション幾何学群論、2001年4月21日～22日、ネバダ州ラスベガス、AMS特別セッション計算群論、2001年4月28日～29日、ニュージャージー州ホーボーケン。（Robert H. Gilman、Vladimir Shpilrain、Alexei G. Myasnikov編）。アメリカ数学会、2002年。ISBN 978-0-8218-3158-8; 2ページ、補題3.1
  15. ^ Yves de Cornulier と Romain Tessera. 準等長的に埋め込まれた自由部分半群. Geometry & Topology , vol. 12 (2008), pp. 461–473; 補題2.1

参照

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