ピオラ変換

ピオラ変換は、連続体力学におけるオイラー座標とラグランジアン座標間のベクトルの写像である。ガブリオ・ピオラにちなんで名付けられた。

意味

をアフィン変換 で表す。をリプシッツ境界を持つ領域 で 表す。写像は${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle F({\hat {x}})=B{\hat {x}}+b,~B\in \mathbb {R} ^{d,d},~b\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle K=F({\hat {K}})}$ ${\displaystyle {\hat {K}}}$

$${\displaystyle p:L^{2}({\hat {K}})^{d}\rightarrow L^{2}(K)^{d},\quad {\hat {q}}\mapsto p({\hat {q}})(x):={\frac {1}{|\det(B)|}}\cdot B{\hat {q}}({\hat {x}})}$$ はピオラ変換と呼ばれる。通常の定義では行列式の絶対値をとるが、行列式のみとする著者もいる。^{[ 1 ]}

注：テンソルと弾性の文脈におけるより一般的な定義、およびピオラ変換が境界を越えたテンソル場のフラックスを保存するという性質の証明については、Ciarletの本を参照してください。^{[ 2 ]}

参照

• ピオラ・キルヒホッフ応力テンソル
• ラヴィアート・トーマス基底関数
• ラヴィアート・トーマス要素

参考文献

1. Rognes, Marie E. ; Kirby, Robert C. ; Logg, Anders (2010). 「有限要素の効率的な組み立てと適合」. SIAM Journal on Scientific Computing . 31 (6): 4130– 4151. arXiv : 1205.3085 . doi : 10.1137/08073901X .${\displaystyle H(\mathrm {div} )}$ ${\displaystyle H(\mathrm {curl} )}$
2. Ciarlet, PG (1994).三次元弾性. 第1巻. エルゼビア・サイエンス. ISBN 9780444817761。