プレイフェアの公理
ユークリッドの平行線公理の現代的な定式化
プレイフェアの公理の前件：直線とその直線上にない点
プレイフェアの公理の帰結：最初の直線に平行な2番目の直線は、

幾何学において、プレイフェアの公理はユークリッドの第 5 公理(平行線公理) の代わりに使用できる公理です。

平面上で、直線とその上にない点が与えられた場合、その点を通る直線に平行な直線は最大で1本しか引くことができない。[1]

これはユークリッド幾何学におけるユークリッドの平行線公理[2]に相当し、スコットランドの数学者 ジョン・プレイフェアにちなんで名付けられました。最初の4つの公理から、直線LとL上にない点Pが与えられた場合、少なくとも1本の平行線が存在することが次のように証明できるため、「最大で」という句だけで十分です。

  1. 垂線を引く: 公理と以前に確立された定理を使用して、直線Lに垂直で、直線Pを通る直線を引くことができます。
  2. 別の垂線を描きます。点Pから始めて、最初の垂線に対して 2 番目の垂線を描きます。
  3. 平行線: この 2 番目の垂直線は、平行線の定義によりLに平行になります(つまり、交互の内角は第 4 公理に従って一致します)。

この記述はしばしば「平行線はただ一つだけ」という表現と共に用いられます。ユークリッドの『原論』では、二本の直線が決して交わらない場合、その直線は平行であるとされ、平行線の他の特徴づけは用いられていません。[3] [4]

この公理はユークリッド幾何学だけでなく、平行性の概念が中心となるアフィン幾何学のより広範な研究にも用いられています。アフィン幾何学においては、存在証明を与える中立幾何学の公理が存在しないため、プレイフェアの公理のより強い形（「最大で1つ」を「唯一の1つ」に置き換えたもの）が必要となります。プレイフェア版の公理は非常に人気があり、ユークリッド版ではないにもかかわらず 、しばしばユークリッドの平行線公理[5]と呼ばれることがあります。

歴史

プロクロス（410-485年）はユークリッド注釈I.31（第一巻、命題31）の中で明確にこのことを述べています。[6]

1785年にウィリアム・ラドラムは平行公理を次のように表現した。[7]

2 本の直線が 1 点で交わる場合、その 2 本の直線は 3 本目の直線と平行にはなりません。

このユークリッド平行性の簡潔な表現は、プレイフェアの教科書『幾何学原論』（1795年）に採用され、その後何度も再版された。彼は次のように書いている[8]。

交差する 2 本の直線は、両方が同じ直線に平行になることはできません。

プレイフェアは、ユークリッドの主張を簡略化したラドラムらの功績を認めた。その後の展開では、まず二直線の交点が提示され、二本の平行線の否定は、与えられた点を通る唯一の平行線として表現されるようになった。[9]

1883年、アーサー・ケイリーは英国協会の会長を務め、協会への演説で次のような意見を述べた。[10]

私の見解は、プレイフェアの形式でのユークリッドの第 12 公理は、証明を必要とせず、私たちの空間の概念、つまり私たちの経験の物理的空間の一部であり、すべての外部経験の根底にある表現であるということです。

デイヴィッド・ヒルベルトが著書『幾何学の基礎』（1899年）[11]でユークリッド幾何学の新しい公理を提示したとき、彼は平行線を議論するために元のユークリッド版ではなくプレイフェアの公理の形を使用しました[12] 。

ユークリッドの第五公準との関係

内角 α と β の合計が 180° 未満の場合、無限に作られた 2 本の直線はその側で交わります。

ユークリッドの平行線公理は次のように述べています。

線分が2本の直線と交差し、同じ側に2つの内角を形成し、その合計が2直角未満である場合、2本の線を無限に延長すると、その辺の角度の合計が2直角未満になる辺で交わる。[13]

プレイフェアの定式化と比較した場合のこの声明の複雑さは、平行線公理の議論でプレイフェアの公理を引用することが一般的になった主な要因であることは間違いありません。

絶対幾何学の文脈において、これら二つの命題は同値である。つまり、幾何学の残りの公理が存在する限り、一方を仮定することで、他方を証明できる。これは、これらの命題が論理的に同値である（つまり、論理の形式的な操作のみを用いて、一方から他方を証明できる）という意味ではない。例えば、楕円幾何学の球面モデルで解釈した場合、一方の命題は真であり、もう一方は偽である。[14]論理的に同値な命題は、解釈可能なすべてのモデルにおいて同じ真理値を持つ。

以下の証明では、絶対（中立）幾何学のすべての公理が有効であると仮定しています。

ユークリッドの第五公準はプレイフェアの公理を示唆する

これを示す最も簡単な方法は、三角形の内角の和が 2 直角になるというユークリッドの定理（第 5 公準に相当）を使用することです。直線と、その直線上にない点Pが与えられている場合、点Pを通る、与えられた直線に垂直な直線tを描き、次に点Pでこの垂線に垂線を引きます。この直線は、交わって三角形を形成できないため平行であり、これはユークリッドの『原論』第 1 巻の命題 27 に述べられています。[15]ここで、他の平行線は存在しないことがわかります。nがP を通る 2 番目の直線である場合、n はtと鋭角をなします（垂線ではないため）。第 5 公準の仮定が成り立ち、したがってnは と交わります。[16] ℓ {\displaystyle \ell} ℓ {\displaystyle \ell} ℓ {\displaystyle \ell}

プレイフェアの公理はユークリッドの第五公準を示唆する

第五公準は「見かけ上」このように証明できる。ユークリッド作図において、直線が内角の和が2直角よりも大きい辺で交わると、2つの角の和が2直角よりも大きい三角形ができてしまうが、これは命題1.17に反する。したがって、直線は内角の和が2直角よりも小さい辺で交わる必要がある。

しかし、これは直線が交わることを前提としています。ここで証明したのは、「直線が交わる場合、内角の和が2直角未満となる側で交わる必要がある」ということです。プレイフェアの公理は、与えられた点（つまり、垂線の垂線）から平行な直線は1本しかないと事前に仮定することで、直線が必ず交わることを保証します。Pを通る他のすべての直線は平行ではないため、必ず交わります。

三角形の合同性の重要性

プレイフェアの公理とユークリッドの第五公理との古典的な同値性は、三角形の合同性がない場合には破綻する。[17]これは、ヒルベルトの入射公理、順序公理、合同公理（辺角辺合同（SAS）を除く）を尊重する方法で角度を再定義する幾何学を構築することによって示される。この幾何学は古典的なプレイフェアの公理をモデル化しているが、ユークリッドの第五公理はモデル化していない。

平行性の推移性

ユークリッドの命題30は、「それぞれが第三の直線に平行な二直線は、互いに平行である」というものである。オーガスタス・ド・モルガン は、この命題がプレイフェアの公理と論理的に同値であると指摘した[18] 。この指摘は1908年にTL・ヒースによって再述された[19] 。ド・モルガンの議論は以下の通りである。Xを互いに交わる異なる直線の組の集合とし、Yをそれぞれが単一の共通直線に平行な異なる直線の組の集合とする。zを異なる直線の組とすると、

すべてのzについて、zがXに含まれる場合、zはYに含まれません。

はプレイフェアの公理（ド・モルガンの用語では、XはYではない）であり、その論理的に等価な逆説である。

すべてのzについて、zがYに含まれる場合、zはXに含まれません。

ユークリッド I.30、平行性の推移性（YがXでない）です。

最近では、この含意は平行線で表される二項関係という観点から別の言い方で表現されています。アフィン幾何学では、この関係は同値関係とみなされ、直線はそれ自身と平行であると見なされます。アンディ・リュー[20]は、「Pを直線2上にない点とする。直線1と直線3の両方がPを通り、直線2に平行であるとする。推移性により、それらは互いに平行であるため、正確にPを共有することはできません。したがって、それらは同じ直線であり、これはプレイフェアの公理です。」と書いています。

注記

  1. ^ プレイフェア 1846年、29ページ
  2. ^より正確には、 絶対幾何学の文脈において。
  3. ^ ユークリッドの原論、第1巻、定義23
  4. ^ ヒース 1956年、第1巻、190ページ
  5. ^ 例えば、ラファエル・アルツィ（1965）『線形幾何学』202ページ、アディソン・ウェズリー
  6. ^ ヒース 1956年、第1巻、220ページ
  7. ^ ウィリアム・ラドラム(1785) 『数学の基礎』 145ページ、ケンブリッジ
  8. ^ プレイフェア 1846年、11ページ
  9. ^ プレイフェア 1846年、291ページ
  10. ^ ウィリアム・バレット・フランクランド（1910）『平行主義の理論：歴史的批判』31ページ、ケンブリッジ大学出版局
  11. ^ ヒルベルト、デイヴィッド（1990）[1971]、幾何学の基礎[Grundlagen der Geometrie]、ドイツ語第10版（英語第2版）からレオ・ウンガー訳、イリノイ州ラサール：オープンコート出版、ISBN 0-87548-164-7
  12. ^ イブス 1963、385-7ページ
  13. ^ ジョージ・フィリップス (1826) 『幾何学原論』（ユークリッドの最初の6巻を含む）、3ページ、ボールドウィン、クラドック、ジョイ
  14. ^ ヘンダーソン、デイビッド・W.; タイミニャ、ダイナ（2005年）、幾何学を体験する：ユークリッドと非ユークリッドの歴史（第3版）、アッパーサドルリバー、ニュージャージー：ピアソン・プレンティス・ホール、p. 139、ISBN 0-13-143748-8
  15. ^ この議論は、結果を証明するために必要な以上のことを前提としている。平行線の存在を証明する証明の中には、第五公準に​​相当するものを前提としないものもある。
  16. ^ グリーンバーグ 1974、107ページ
  17. ^ Brown, Elizabeth T.; Castner, Emily; Davis, Stephen; O'Shea, Edwin; Seryozhenkov, Edouard; Vargas, AJ (2019-08-01). 「プレイフェアの公理と平行線公理の同値性について」. Journal of Geometry . 110 (2): 42. arXiv : 1903.05233 . doi :10.1007/s00022-019-0496-9. ISSN  1420-8997.
  18. ^ ユークリッドの『原論』最初の6巻についての補足説明、1849年の『年鑑のコンパニオン』より。
  19. ^ ヒース 1956年、第1巻、314ページ
  20. ^ カレッジ数学ジャーナル42(5):372

参考文献

（全3巻）：ISBN 0-486-60088-2（第1巻）、ISBN 0-486-60089-0（第2巻）、ISBN 0-486-60090-4（第3巻）。
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